Moment cinétique

Moment cinétique

Exercice Modèle atomique de Bohr

On considère le modèle atomique de Bohr : un électronM de massemeet de charge−etourne autour d'un noyauN de masse mn et de charge +ne. On considère que mn me et que le noyau est par conséquent immobile (approximation de Bohr - Oppenheimer). On rappelle que le champ crée par une charge poncutelleQvaut−→

E(−→r) = _4π¹

0

Q r²−→u_r.

1. Quelles forces s'appliquent sur l'électron ? Justiez qu'on puisse négliger le poids.

2. Montrez que la force subie par l'électron dérive d'un potentielEp(r)que l'on déterminera.

3. Montrez que le mouvement de l'électron est plan et déterminez une relation entreret θ˙.

4. On suppose que le mouvement de l'électron est circulaire. Montrez que l'accélération s'écrit alors

−

→a =−^v_r²−→u_r et en déduire la relation

Em=−_4π^Ze2

0

1 2r

5. L'hypothèse de Bohr consiste à quantier le moment cinétique : on suppose que ∃p∈N^∗ tel que

||σ||=p_2π^h =p~. En déduire une relation entreθ˙,retp.

6. Montrez que la distance de l'électron au noyau se met sous la forme r=p²r0 et que l'énergie de l'électron se met alors sous la forme En=−^E_p2⁰.

Applications

• Déterminez l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène.

• Un atome sur un état d'énergie élevé peut redescendre vers un niveau plus fondamental en émettant un photon.

A l'aide d'une loi de conservation, exprimez l'énergie du photon émis par un électron passant du niveaupau niveauq < p.

Déterminez la fréquence de ce photon.

Tracez l'allure du spectre obtenu par l'ensemble des transitionsp→1(série de Lyman).

Solution

1. Forces : poids mg ' 9.10⁻³¹×10 ' 10⁻²⁹N force électrique eE avec E = _4π¹

0

Ze

r² ' 9.10^{9 10}₁₀⁻¹⁹−20 = 10¹¹V m⁻¹,eE'10⁻⁸N

2. −→

F = −_4π¹

0

Ze²

r² −→ur donc −dEp = δW = −→ F .−→

dr = −_4π¹

0

Ze²

r² dr = _4π^Ze2

0d ¹_r

donc Ep = _4π^Ze2

0

1 r (avec Ep(+∞) = 0)

3. Seule force considérée : −e−→

E dont le moment par rapport à N vaut −e−−→

N M ∧−→

E =−erE−→ur∧ −→ur = 0 donc le TMC donne −→r ∧ −→v = −−→cste. Le fait que la direction de −→r ∧ −→v soit constante implique que ces deux vecteurs sont toujours contenus dans le même plan (car −→r ∧ −→v est othogonal au plan qui les contient tous les deux) donc le mouvement est plan. D'autre part, en coordonnées polaires, −→r ∧ −→v = (r−→ur)∧

˙

r−→ur+rθ˙−→uθ

=r²θ˙−u→z doncr²θ˙=cste. 4. −→a =

¨ r−rθ˙²

−→ ur+

rθ˙²+ 2 ˙rθ˙

−

→uθ. Pour un mouvement circulaire, r˙ = 0 donc θ˙ = cste d'après la relation r²θ˙=csteet −→v =rθ˙−→uθ. On a donc bien −→a =−^v_r²−→ur. Le PFD donne alors−m^v_r² =−_4π¹

0

Ze² r²

doncEc= ¹₂mv²=¹_24π¹

0

Ze²

r etEp=−_4π¹

0

Ze²

r doncEm=−_4π^Ze2

0

1 2r

1

5. mr²θ˙=p~⇔m²r⁴θ˙²=p²~²(moment cinétique) etmrθ˙²=_4π¹

0

Ze²

r² ⇔mr³θ˙²=_4π^Ze2

0 doncr=p^{2 4π}_Ze2⁰m^~2

etE_m=−_32π^Z22^e42₀^m~² 1 p²

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Exercice Conditions d'équilibre

Un point de massemest relié par un l de longueur a au point A immobile. Il est également relié au pointNde massem⁰au travers d'une poulie placée enB, à une distance a du point A. On considère que les ls sont inextensibles et sans masse. On considère que la poulie est parfaite et petite.

• Etablir un bilan des forces s'exerçant surM.

• Etablir un bilan des forces s'exerçant sur N et en déduire l'expression d'une des forces de tension exercées sur M à l'équilibre.

• Determinez le moment des forces appliques surM par rapport àAen fonction de l'angleθ.

• Déterminez une condition sur metm⁰ pour qu'un équilibre existe. Que vaut alors l'angleθ?

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2 Daniel Suchet - 2012