Opérateurs de moment cinétique
Quelques relations à retenir
Ici, les moments cinétiques seront notés ˆL, ˆS, ˆJ, mais les relations sont bien évidemment valides quel que soit le moment cinétique concerné ( ˆF, ˆI, etc...) Les ¯hpeuvent être absents si on travaille dans l’échelle des unités atomiques.
Valeur propre des opérateurs
Lˆ2|`;m`i=h¯2`(`+1)|`;m`i (1) Lˆz|`;m`i=hm¯ `|`;m`i −`6m`6` (2)
`etm`peuvent être soit des entiers ou des demi-entiers (mais pas les deux simultanément).
Valeurs de m
`possibles quand on fixe `
g(`) =
∑
` m`=−`1=2`+1 (3)
Relations de commutation
Pour avoir un signe +, les lettresx,y,zdoivent correspondre à une permutation circulaire des axes d’un trièdre direct :
[Lˆx, ˆLy] =LˆxLˆy−LˆyLˆx=i¯hLˆz [Lˆy, ˆLz] =i¯hLˆx [Lˆz, ˆLx] =i¯hLˆy (4)
[Lˆ2, ˆLx,y,z] =0 (5)
Ces deux propriétés de commutation sont nécessaires et suffisantes pour définir un opérateur de moment ciné- tique.
Opérateurs montée/descente
Lˆ+=Lˆx+i ˆLy (6)
Lˆ−=Lˆx−i ˆLy (7)
Lˆ+|`m`i=¯hq
`(`+1)−m`(m`+1)|`,m`+1i (8)
Lˆ−|`m`i=¯h q
`(`+1)−m`(m`−1)|`,m`−1i (9)
Lˆ+|`;m`=`i=|0i Lˆ−|`;m`=−`i=|0i (10) Lˆ2=Lˆ2x+Lˆ2y+Lˆ2z= 1
2 Lˆ+Lˆ−+Lˆ−Lˆ+
+Lˆ2z (11)
2
Vecteurs propres
En coordonnées sphériques, les harmoniques sphériques sont vecteurs propres des opérateurs de moment cinétique :
hθ,φ|`m`i=Y`,m`(θ,φ) =
s2(`−m`)! (`+m`) P
m`
` (cos(θ))eim`φ (12)
oùP`m`est un polynôme associé de Legendre.
Expression en coordonnées sphériques
Lˆz = −i¯h ∂
∂ φ (13)
Lˆ2= −¯h2 1
sinθ
∂
∂ θ
sinθ ∂
∂ θ
+ 1 sin2θ
∂2
∂φ2
(14)
Couplage de moments cinétiques
Pour ˆJ=Lˆ+S, si on couple des états de valeur propreˆ LetS, les valeurs propres deJpossibles sont :
|L−S|6J6L+S (15)
L,S,J,mJsont de bons nombres quantiques mais plusm`etms, les vecteurs propres de ˆL2, ˆS2, ˆJ2, ˆJzpeuvent donc s’exprimer dans la base|LS;JmJiIl est possible de décomposer les vecteurs propres de la nouvelle base (|LS;J MJi) sur ceux de l’ancienne base (|Lm`;Smsi) : les coefficients s’appellent les coefficients de Clebsh-Gordan.
Pour le calcul des valeurs propres d’un opérateur associé aux produit scalaire de deux moments cinétiques : Lˆ·Sˆ= 1
2
Jˆ2−Lˆ2−Sˆ2
= 1
2¯h2(J(J+1)−L(L+1)−S(S+1)) (16) Cette fiche mémo a pour but de rappeler des propriétés essentielles sur les opérateurs de moment cinétique. Il s’adresse aux étudiants de L3 de l’ENS de Lyon pour le cours « Atomes, molécules et liaisons dispensé » par Tommaso Roscilde. En tant que TD-man, je l’ai rédigé et il a aimablement accepté de le relire.
Martin Vérot http://agregationchimie.free.fr/
