DM 23
Théorème du moment cinétique et révision de méca- nique du point
corrigé
Système : point matériel de massem, assujetti à glisser sans frot- tement sur un cerceau vertical de rayonRet de centreO.
Référentiel : lié au cerceau, supposé galiléen, notéRG. Bilan des forces extérieures :
• poidsP~=mg~ux=mg(cosθ~ur−sinθ~uθ) ;
• réaction normale du support→−
RN =RN~ur (RN peut être positif ou négatif ) ;
• force de rappel élastique~F= −k−−→
AM;
• frottements solides et fluides négligés.
Moments des forces projetés surOz: MOz
¡P~¢
= −mg Rsinθ; MOz
³→− RN
´
=0 (colinéaire à−−→
OM) ;
La longueurAMest la base du triangleAOMisocèle enO. Donc AM=2×Rsin
µπ/2−θ 2
¶
=2×Rsin µπ
4−θ 2
¶
Le bras de levier est la hauteur du triangleAOMissue deO d=Rcos
µπ 4−θ
2
¶
D’où
MOz¡~F¢
=2kR2sin µπ
4−θ 2
¶ cos
µπ 4−θ
2
¶
=kR2sin³π 2−θ´
=kR2cosθ
Vecteurs cinématiques :
• vecteur position−−→
OM=R~ur;
• vecteur vitesse~v=Rθ˙~uθ;
• vecteur accélération~a= −Rθ˙2~ur+Rθ¨~uθ. Moment cinétique projeté surOz: LOz(M)/Rg=mR2θ˙. Méthode 1, d’après le théorème du moment cinétique :
dLOz(M)/Rg
d t =MOz¡P~¢ +MOz
³−→ RN
´
+MOz¡~F¢
⇔ mR2θ¨= −mg Rsin(θ)+kR2cos(θ)
⇔ θ¨+g
Rsin(θ)− k
mcos(θ)=0 Méthode 2, d’après le principe fondamental de la dynamique :
m~a=P~+−→ RN+~F En projetant sur~uθ
mRθ¨= −mgsin(θ)+k AMcos µπ
4−θ 2
¶
⇔ θ¨+g
Rsin(θ)−2k msin
µπ 4−θ
2
¶ cos
µπ 4−θ
2
¶
=0
⇔ θ¨+g
Rsin(θ)− k
mcos(θ)=0
MPSI Devoir maison 23 - Mécanique du point 2017-2018 Méthode 3, d’après le théorème de l’énergie mécanique : le système n’est soumis qu’à des forces conservatives,
donc dEm
d t =0 Par définition de l’énergie mécanique
Em=Ec+Ep p+Epe
avec l’énergie cinétique
Ec=1 2mR2θ˙2 l’énergie potentiel de pesanteur
Ep p= −mg Rcos(θ) et l’énergie potentielle élastique
Epe=1
2k AM2=1 2kR2
µ
2×Rsin
µπ/2−θ 2
¶¶2
=kR2 µ1
2−cos³π 2−θ´¶
=kR2 µ1
2−sin (θ)
¶
D’où
dEm
d t =0 ⇔ d d t
µ1
2mR2θ˙2−mg Rcos(θ)+kR2 µ1
2−sin (θ)
¶¶
=0
⇔ mR2θ¨+mg Rθ˙sin(θ)−kR2θ˙cos(θ)=0
⇔ θ¨+g
Rsin(θ)− k
mcos(θ)=0 ou θ˙=0 Recherche des positions d’équilibre :
µdEp
dθ
¶
θ=θe
=0 ⇔ d dθ
µ
−mg Rcos(θ)+kR2 µ1
2−sin (θ)
¶¶
=0
⇔ mg Rsin(θe)−kR2cos(θe)=0
⇔ tanθe= kR mg
⇔ θe1=arctan µkR
mg
¶
ou θe2=π+arctan µkR
mg
¶
2/3 18 mai 2021
MPSI Devoir maison 23 - Mécanique du point 2017-2018
Stabilité des positions d’équilibre : Ãd2Ep
dθ2
!
θ=θe
= d dθ
¡mg Rsin(θe)−kR2cos(θe)¢
= mg Rcos(θe)+kR2sin(θe)
= mg Rcos(θe) µ
1+ kR
mgtan(θe)
¶
= mg Rcos(θe) µ
1+ µkR
mg
¶2¶
du signe de cos(θe)
Or cos(θe1)>0 et cos(θe2)<0.L’équilibre est stable autour deθe1, instable autour deθe2.
Mouvement autour de la position d’équilibre stable : posonsε=θ−θe1. L’énergie potentielle, autour deθe1s’écrit E˜p(ε)=Ep(θe1)+1
2 Ãd2Ep
dθ2
!
θe
×ε2
Les petites oscillations vérifient alors l’équation différentielle ε¨+ 1
mR2 Ãd2Ep
dθ2
!
θe
×ε=0 La période des petites oscillations vaut alors
T=2π v u u u u u t
mR2 Ãd2Ep
dθ2
!
θe
où
Ãd2Ep
dθ2
!
θe
=mg Rcos(θe) µ
1+ µkR
mg
¶2¶
=mg R 1 p1+tan2(θe)
µ 1+
µkR mg
¶2¶
=mg R s
1+ µkR
mg
¶2
Finalement, la période des oscillations vaut
T =2π v u u u t
R g
r 1+³
kR mg
´2
Si le poids est grand devant la force de rappel, on retrouve la période du pendule simpleTpendule=2πqR
g ; si le poids est négligeable devant la force de rappel, on retrouve la période du système masse-ressortTressort= 2πq
m k.
3/3 18 mai 2021
