* PCSI * M5. Théorème du moment cinétique.
M5.1. Pendule conique.
On travaille dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On considère le point M de masse m. Les forces appliquées à ce système sont :
son poids Pmg ;
la tension T du fil.
Si le point M est animé d'un mouvement circulaire alors r et z sont des constantes.
On applique le théorème du moment cinétique au point M par rapport au point fixe O du référentiel galiléen d'étude.
Le moment de la tension du fil par rapport à O est nul car les vecteurs T et OM sont colinéaires. D'autre part :
Par identification on obtient :
Les équations (1) et (3) montrent que le mouvement est uniforme car la vitesse angulaire est constante.
L'équation (2) permet d'écrire : z2 g
Or :
On obtient pour expression pour la vitesse à communiquer :
M5.2. Gravimètre à ressort.
1. Longueur à l’équilibre.
A l’équilibre la tige OB est horizontale. On étudie la masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Elle est soumise à son poidsP, à la tension T du ressort et à la réaction Rde la tige.
A l’équilibre on a : MPo MTo MRo 0.
Comme la droite d’action de la réaction de la tige passe par le point O, son moment est nul.
En projection suivant le vecteur ex :
sin 0 or sin sin
éq
mgb Tb a
l
éq o
0 d'où :éq o
éq
mg k l l a l l kal
ka mg
Pour que l’équilibre existe il faut que ka > mg.
2. Période des oscillations.
On applique le théorème du moment cinétique :
P T RO
o o o
d L B
M M M
dt
Les expressions des différents termes sont :
2
2sin cos
2
sin sin
0
P
o x x
T
o x x
R o
O
O r r x x
M OB mg mgb e mgb e
M OB T Tb e Tb e
M
d L B
L B OB mv bu mb u mb e mb e
dt
La projection suivant expermet d’écrire que :
cos sin 1
mg T mb
Dans le triangle OBA, la relation des « sinus » s’écrit :
sin sin 2 cos sin acos
a l l l
D’autre part : T k l l
o
. La relation (1) s’écrit alors :
cos o acos
mg k l l mb
l
L’angle étant petit, on a en négligeant les infiniments petits d’ordre 2 : cos 1 et sin . L’équation différentielle s’écrit :
o
mg k l l a mb
l
La condition d’équilibre déterminée à la question 1 permet d’exprimer la grandeur mg sous la forme :
éq o
éq
l l mg ka
l
On obtient une nouvelle expression de l’équation différentielle du mouvement :
1 1 soit : (2)
éq o éq éq
o o o
o o
éq éq éq éq
l l l l l l
l l l l
ka ka kal mb kal mb
l l l l ll ll
D’autre part :
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 1 2
2 2
2 .
2 cos 2 sin 2 sin
2 2 sin 1
2 sin
1 1
éq
éq
éq
éq éq
éq éq
AB AO OB AB AO OB AO OB
l a b ab a b ab l ab
l l ab
l
ab ab
l l l
l l
On peut alors exprimer les termes intervenant dans l’équation différentielle (2) :
2 2
2
2 3
1
éq
éq
éq éq éq
éq éq
éq éq éq éq
l l ab
l
ll l ab l ab
l
l l ab ab
ll l l ab l
On obtient une nouvelle expression de l’équation différentielle (2) :
2
3o 0
éq
a l k
m l
La période Todes petites oscillations a pour expression :
3
2 2éq
o
o
m l T k a l
Comme éq
o
l ka mg
l ka
d’après la question 1 et que léq2 a2b2on obtient :
2 2
2
2 2
2
2
o
o
ka a b T m
k a ka mg m a b
T a ka mg
Lorsque ka est voisin de mg par valeur supérieure, la valeur de la période des oscillations devient grande ce qui en permet une mesure précise et ainsi donne une valeur de l’intensité de la pesanteur au lieu de l’expérience.
M5.3. Oscillations circulaires.
1. Equation différentielle.
On étudie le point M dans un référentiel posé galiléen. Ce système est soumis à son poidsmg, à la réaction Rdu support et à la tension Tdu ressort. On applique le théorème du moment cinétique au point O :
P R T
o
O O O
d L M M M
dt
On exprime les différents termes :
²
²
O r z
O
z
L OM mv Ru mR u mR u
d L mR u dt
MOP OMmg mgRsinuz
² sin 2
² cos
T O T
O z
T
O z
M OM T OM k AM OM k AO OM
M kOM AO kOM OA kR u
M kR u
MOR 0
La projection suivant uzdonne :
² sin ² cos
sin cos 0
mR mgR kR
g k
R m
2. Positions d’équilibre.
A l’équilibre 0, on a alors gsin e k cos e R m soit : tan e kR 0
mg 1
2 1
arctan e
e e
kR
mg
L’étude de la courbe ci-dessous montre que la première position d’équilibre se situe entre 0 et 2
et que la
deuxième se situe entreet3 2
.
On écarte le point M d’un angle 1de la position d’équilibre etel que e . On injecte cette expression de l’angle dans l’équation différentielle du mouvement :
sin e cos e 0
g k
R m
On développe cette expression :
sin cos sin cos cos cos sin sin 0
sin cos cos cos sin sin 0
Comme sin cos , on obtient :
cos sin sin 0
e e e e
e e e e
e e
e e
g g k k
R R m m
g k g k
R m R m
g k
R m
g k
R m
Comme 1, on a : sin . L’équation précédente s’écrit alors :
2
cos sin 0
cos 1 tan 0
cos 1 tan 0
cos 0
e e
e e
e e
e
g k
R m
g kR
R mg
g R
g R
Poure1, le terme
cos e g
R est positif, l’équation différentielle traduit l’évolution temporelle d’un oscillateur harmonique :e1est une position d’équilibre stable.
La période des oscillations autour de cette position d’équilibre est : cos 1
2 R e
T g
Poure2, le terme
cos e g
R est négatif, l’équation différentielle admet alors une solution divergente :
2
e est une position d’équilibre instable.
M5.4. Balance de Coulomb.
M5.5. Moulin à farine.
