I- Référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen

Référentiels non galiléens

Les points du cours à connaître

I- Référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen

1. Lois de composition des vitesses et des accélérations

Loi de composition des vitesses pour deux référentiels en translation

La vitesse ~ v _/R (M ) du point M dans le référentiel R est reliée à la vitesse ~ v _/R

(M ) du point M dans le référentiel R ⁰ par

~ v _/R (M) = ~ v _/R

(M ) + ~ v _e

où ~ v _e est la vitesse d'entraînement du référentiel R ⁰ par rapport à R .

~ v _e est la vitesse, dans R , du point coïncident P , qui se trouve au même endroit que M mais qui est xe dans R ⁰ .

Loi de composition des accélérations pour deux référentiels en translation L'accélération ~a _/R (M ) du point M dans le référentiel R est reliée à l'accélération ~a _/R

(M ) du point M dans le référentiel R ⁰ par

~a _/R (M ) = ~a _/R

(M ) + ~a _e

où ~a _e est l'accélération d'entraînement du référentiel R ⁰ par rapport à R .

~a e est l'accélération, dans R , du point coïncident P , qui se trouve au même endroit que M mais qui est xe dans R ⁰ .

2. Force d'inertie d'entraînement

Expression de la force d'inertie d'entraînement :

dans R ⁰ non galiléen, il faut ajouter aux forces F ~ la force d'inertie d'entraînement : f ~ _ie = −m.~a _e

3. Exemples de translations

Ensemble des référentiels galiléens

Tout référentiel R ⁰ en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel galiléen R est lui même galiléen.

Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une trans- lation uniformément accélérée

Dans le cas d'une translation uniformément accélérée ~a e = a 0 ~ u x , alors la force d'inertie d'en- traînement dérive de l'énergie potentielle E _p = m a ₀ x .

II- Référentiel en rotation par rapport à un référentiel galiléen

1. Lois de composition des vitesses et des accélérations

Loi de composition des vitesses pour deux référentiels en rotation

La vitesse ~ v _/R (M ) du point M dans le référentiel R est reliée à la vitesse ~ v _/R

(M ) du point M

dans le référentiel R ⁰ par

L'accélération ~a _/R (M ) du point M dans le référentiel R est reliée à l'accélération ~a _/R (M ) du point M dans le référentiel R ⁰ par

~a _/R (M ) = ~a _/R

+ ~a _e + ~a _C (M ) où l'accélération de Coriolis est

~a _C = 2 ~ Ω _R

_/R ∧ ~ v _/R

(M )

et l'accélération d'entraînement est l'accélération du point coïncident :

~a _e = ~a _/R (P )

Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen en rota- tion :

dans R ⁰ non galiléen, il faut ajouter aux forces f ~ →M la force d'inertie d'entraînement : f ~ _ie = −m ~a _e = −m ~a _/R (P )

et la force d'inertie de Coriolis :

f ~ _iC = −m ~a _C = −2 m ~ Ω _R

_/R ∧ ~ v _M/R

2. Force d'inertie d'entraînement axifuge

Force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une rotation à vitesse angulaire constante

Dans le cas d'un référentiel R ⁰ qui tourne à une vitesse angulaire ω constante par rapport à un référentiel galiléen R autour de son axe xe Oz , la force d'inertie est axifuge ( H est le projeté de M sur l'axe de rotation) :

f ~ _ie = m ω ² −−→

HM = m r ω ² ~ u _r en coordonnées cylindriques d'axe Oz .

Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une rotation à vitesse angulaire constante

Dans le cas d'un référentiel R ⁰ qui tourne à une vitesse angulaire ω constante par rapport à un référentiel galiléen R autour de son axe xe Oz , la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielle Ep = − ¹ ₂ m r ² ω ² en coordonnées cylindriques d'axe Oz .

3. Force d'inertie de Coriolis

III- Eets des forces d'inertie dans le référentiel terrestre

1. Eets de la force d'inertie d'entraînement dans le référentiel terrestre Le poids :

On dénit le poids comme la somme de deux forces :

- l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur l'objet f ~ _G ; - la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la Terre f ~ _ie .

2. Eets de la force d'inertie de Coriolis dans le référentiel terrestre Eets de la force d'inertie de Coriolis dans le référentiel terrestre La force d'inertie de Coriolis :

• dévie vers la droite un objet qui se déplace horizontalement dans l'hémisphère nord ;

• dévie vers la gauche un objet qui se déplace horizontalement dans l'hémisphère sud ;

• dévie vers l'est un objet qui se déplace verticalement vers le bas.

Exercice traité en n de cours

exo 8.1) La pesanteur articielle dans le vaisseau de "2001 - l'Odyssée de l'Espace"

A gauche : ache du lm où l'on voit le vaisseau spatial et schéma (à droite) du vaisseau.

Dans le lm "2001 l'odyssée de l'espace" de Stanley Kubrick, un vaisseau spatial constitué d'un tore de rayon R tourne autour de son axe Oz avec une vitesse angulaire Ω = ~ ω.~ e z constante dans un référentiel galiléen.

1) Alors qu'ils sont loin de toute planète, les astronautes vivent dans le tore comme sur Terre : ils sont soumis à une gravité articielle. Evaluer les valeurs numériques de R et de ω pour que les astronautes subissent une gravité articielle de valeur g = 9, 81 m · s ⁻² , à 10% près entre les pieds et la tête.

2) Dans une des scènes du lm, un astronaute (Poole) fait un jogging dans le tore. Expliquer pourquoi il

peut être très fatigant pour Poole de courir dans la station spatiale (on choisira des valeurs numériques pour

illustrer le raisonnement). Le sens choisi pour faire le footing est-il important ?

Techniques à maîtriser

I- Eet des forces d'inertie d'entraînement dans un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen

Relier les lois de composition des vitesses (transformation de Galilée) dans le cas d'un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre à la relation de Chasles et au caractère supposé absolu du temps.

Utiliser le point coïncident pour exprimer la vitesse d'entraînement et l'accélération d'entraînement dans le cas d'un référentiel en translation par rapport à un autre.

Dans le cas d'un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen, déterminer la force d'inertie d'entraînement. Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l'énergie cinétique dans un référentiel non galiléen en translation par rapport à un référentiel galiléen.

ce qu'il faut savoir faire capacités

dans R ⁰ non galiléen, il faut ajouter aux forces F ~ la force d'inertie d'entraînement : f ~ ie = −m.~a e (M )

et la force d'inertie de Coriolis :

f ~ _iC = −m.~a C (M ) = −2.m.~ Ω _R

/R ∧ ~ v _M/R

Principe fondamental de la dynamique et théorème du moment cinétique dans un référentiel non galiléen : méthode

Dans le cas d'une translation uniformément accélérée ~a e = a 0 ~ u x , alors la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielle E p = m a 0 x .

Application de théorèmes énergétiques dans un référentiel non galiléen en translation par rapport à un référentiel galiléen : méthode

II- Eet des forces d'inertie d'entraînement dans un référentiel en rotation par rapport à un référentiel galiléen

Utiliser le point coïncident pour exprimer la vitesse d'entraînement et l'accélération d'entraînement dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe xe.

Dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen, exprimer la force d'inertie axifuge. Associer la force d'inertie axifuge à l'expression familière force centrifuge .

Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l'énergie cinétique dans un référentiel non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen.

Distinguer le champ de pesanteur et le champ gravitationnel.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Associer les marées à un terme gravitationnel diérentiel et comparer l'inuence de la Lune et du Soleil pour analyser des documents scientiques.

Établir et utiliser l'expression de la force d'inertie d'entraînement volumique.

dans R ⁰ non galiléen, il faut ajouter aux forces F ~ la force d'inertie d'entraînement : f ~ ie = −m.~a e (M )

et la force d'inertie de Coriolis :

f ~ iC = −m.~a C (M ) = −2.m.~ Ω _R

_/R ∧ ~ v _M/R

Principe fondamental de la dynamique et théorème du moment cinétique dans un référentiel non galiléen : méthode

Dans le cas d'un référentiel R ⁰ qui tourne à une vitesse angulaire ω constante par rapport à un référentiel galiléen R autour de son axe xe Oz , la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielle Ep = − ¹ ₂ m r ² ω ² en coordonnées cylindriques d'axe Oz .

Application de théorèmes énergétiques dans un référentiel non galiléen en rotation par rapport à un référentiel galiléen : méthode

III- Eet des forces d'inertie de Coriolis dans un référentiel en rota- tion par rapport à un référentiel galiléen

Citer et utiliser l'expression de l'accélération de Coriolis.

Dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen, exprimer la la force d'inertie de Coriolis.

Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l'énergie cinétique dans un référentiel non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen.

Utiliser l'expression de la force de Coriolis pour analyser des documents scientiques portant sur les eets de la force de Coriolis sur les vents géostrophiques ou les courants marins.

ce qu'il faut savoir faire ^capacités

dans R ⁰ non galiléen, il faut ajouter aux forces F ~ la force d'inertie d'entraînement : f ~ ie = −m.~a e (M )

et la force d'inertie de Coriolis :

f ~ iC = −m.~a C (M ) = −2.m.~ Ω _R

_/R ∧ ~ v _M/R

Principe fondamental de la dynamique et théorème du moment cinétique dans

un référentiel non galiléen : méthode

Les techniques mathématiques à connaître

Repère de Frénet

Vecteurs de base : ( T , ~ ~ N , ~ B) Position : repérée par l'abscisse s Vitesse : ~ v = ˙ s ~ T

Accélération : ~a = ¨ s ~ T + ^v _R

N ~ où R est le rayon de cour- bure de la trajectoire.

Repère cartésien

Vecteurs de base : (~ u _x , ~ u _y , ~ u _z ) Position : −−→

OM = x ~ u x + y ~ u y + z ~ u z

Vitesse : ~ v = ˙ x ~ u x + ˙ y ~ u y + ˙ z ~ u z

Accélération : ~a = ¨ x ~ u x + ¨ y ~ u y + ¨ z ~ u z

Elément de volume : d ³ τ = dx dy dz Repère cylindrique

Expression dans le repère cartésien : x = r sin θ

y = r cos θ z = z







⇒

d~ u

dθ = ~ u θ d~ u

dθ = −~ u r

Vecteurs de base : (~ u r , ~ u θ , ~ u z ) Position : −−→

OM = r ~ u r + z ~ u z

Vitesse : ~ v = ˙ r ~ u r + r θ ~ ˙ u θ + ˙ z ~ u z

Accélération : ~a =

¨ r − r θ ˙ ²

.~ u r +

2 ˙ r θ ˙ + r θ ¨

~ u θ + ¨ z ~ u z

Elément de volume : d ³ τ = dr (r dθ) dz Repère sphérique

Expression dans le repère cartésien :







x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ

Vecteurs de base : (~ u r , ~ u θ , ~ u ϕ ) Position : −−→

OM = r ~ u _r

Vitesse : ~ v = ˙ r ~ u _r + r θ ~ ˙ u _θ + r sin θ ϕ ~ ˙ u _ϕ

Elément de volume : d ³ τ = dr (r dθ) (r sin θ dϕ) Généralisation

Coordonnées ~ u 1 ~ u 2 ~ u 3 s 1 s 2 s 3 µ 1 µ 2 µ 3

cartésiennes ~ u x ~ u y ~ u z x y z 1 1 1 cylindriques ~ u r ~ u θ ~ u z r θ z 1 r 1

sphériques ~ u r ~ u θ ~ u ϕ r θ ϕ 1 r r sin θ Généralisation pour les repères

Déplacement élémentaire : − → d` = P

i

µ i ds i ~ u i

Elément de volume : d ³ τ = Q

i

µ i ds i .

Les repères utilisés par les physiciens méthode

Programmation en python

exo 8.2) Chute libre et déviation vers l'est

R est le référentiel géocentrique, lié au centre de la Terre, dont les axes pointent vers trois étoiles xes. R ⁰ est le référentiel terrestre, lié à la Terre. On suppose R galiléen.

On se place dans une région autour d'un point de la surface du globe de latitude λ et de longitude ϕ . (Oz) est l'axe vertical en ce point, (Ox) est orienté vers le sud et (Oy) vers l'est an que (Oxyz) soit orthonormé.

On supposera ~ g = −g.~ u z uniforme ( |~ g| = 9, 81m.s ⁻² ).

1) Exprimer la force d'inertie de Coriolis f ~ _iC = −2.m.~ Ω ∧ ~ v dans le repère (Oxyz) (la rotation de la Terre se fait en 24h, suivant le vecteur rotation ~ Ω dirigé du pôle sud vers le pôle nord).

2) Faire informatiquement une étude balistique en intégrant le mouvement pas à pas et montrer que le

projectile en chute libre est dévié vers l'est.

Résolution de problème

La ceinture de sécurité

Extrait d'un site de prévention suisse http: // www. prevention. ch

Le port de la ceinture de sécurité augmente les chances de survie lors d'une collision.

Selon le principe d'inertie, un corps qui n'est soumis à aucune force est en mouvement rectiligne uniforme. C'est pourquoi un automobiliste qui ne porte pas de ceinture lors d'une collision est pro- jeté contre le tableau de bord ou le pare-brise. Par contre, l'énergie acquise par le corps d'un conduc- teur attaché est évacuée par la ceinture de sécurité et la zone déformable du véhicule.

La force intervenant lors d'une collision à 30 km/h seulement représente à peu près 20 fois le poids de l'automobiliste (environ 1500 kg). Il est dès lors impossible de se retenir par les bras. Les meilleurs haltérophiles soulèvent tout au plus en- viron 250 kg.

exo 8.3) Enoncé

1) En utilisant les lois de la physique, estimer la force à laquelle est soumis le conducteur lors d'une collision

à 30 km/h.

Exercices d'oral pour s'entraîner

exo 8.4) Les bases de lancement des fusées

Les principales bases de lancement des fusées et leurs latitudes sont les suivantes :

- Cap Canaveral : λ = 28 ^◦ N ; - Baïkonour : λ = 49 ^◦ N ; - Kourou : λ = 5 ^◦ N .

1) Composition des vitesses :

R est le référentiel géocentrique, lié au centre de la Terre, dont les axes pointent vers trois étoiles xes. R ⁰ est le référentiel terrestre, lié à la Terre.

1.a) Calculer la vitesse d'entraînement en un point de la surface de la Terre de latitude λ et de longitude ϕ .

1.b) On lance, dans R ⁰ , verticalement la fusée. A quel endroit du globe la vitesse de la fusée sera-t-elle la plus grande dans R ?

2) Eets de la force d'inertie d'entraînement :

2.a) Calculer, en fonction de la latitude λ et de la longitude ϕ , la force d'inertie d'entraînement à prendre en compte dans R ⁰ .

2.b) En considérant le champ gravitationnel comme constant à la surface de la Terre, où vaut-il mieux lancer les fusées ?

3) Question subsidiaire :

Pourquoi deux des bases sont situées sur la côte est du continent américain (littoral atlantique) ? NB : Le site de Baïkonour n'est pas au bord de la mer, mais en plein désert.

exo 8.5) L'assiette au beurre

L'assiette au beurre est une attraction de foire : on s'assoie sur un manège qui se met à tourner de plus en plus vite. Au bout d'un certain moment, les gens se trouvent éjectés vers l'extérieur du manège. Cet exercice tente de modéliser ce qui se produit.

Oz est la verticale ascendante, axe de rotation d'un disque horizontal qui tourne à une vitesse angulaire ω autour de l'axe Oz .

On augmente très progressivement cette vitesse de rotation de sorte que l'on puisse se considérer en régime quasi-stationnaire à chaque instant.

Un objet M est placé à une distance d de l'axe de rotation du disque.

Les coecients de frottement statique et dynamique de la force de frottement solide exercée par le disque sur M sont respectivement notés f _s et f _d , et on admet que f _d = ³ ₄ f _s = 2, 5 .

1) Rappeler les lois de Coulomb du frottement solide.

2) Montrer que, dans le cas où M est xe par rapport au disque, ω < ω ₀ , dont on donnera l'expression.

3) Déterminer l'évolution de M lorsqu'il commence à glisser sur le disque.

exo 8.6) Déviation d'un tir d'obus vertical

En un point O de latitude 48 ^◦ Nord et de longitude 3 ^◦ Est, un canon tire un obus selon la direction verticale ascendante Oz avec une vitesse initiale V 0 = 900 km · h ⁻¹ dans le référentiel terrestre. Cette expérience a été réalisée au XVIIème siècle. Nous en proposons une modélisation.

On se munit d'un repère Oxyz orthonormé lié à la surface de la terre avec Ox dirigé vers l'est.

On néglige les frottements de l'obus (considéré comme un point matériel) avec l'air.

On considère le champ de pesanteur uniforme de norme g = 10 m · s ⁻² .

1) Dans un premier temps, on considère le référentiel terrestre comme galiléen.

1.a) Déterminer l'altitude maximale z max atteinte par l'obus.

1.b) Donner l'expression du vecteur vitesse à chaque instant.

2) On considère maintenant le référentiel terrestre comme non galiléen.

On pourra partir de l'expression précédente du vecteur vitesse, en première approximation.

2.a) Pourquoi ne faut-il ajouter dans le bilan des forces, que les forces de Coriolis ? 2.b) Exprimer ces forces de Coriolis dans le repère Oxyz .

2.c) Donner les expressions horaires du mouvement.

2.d) En quel point A l'obus retombe-t-il ?

3) On se place à nouveau dans l'hypothèse du référentiel galiléen.

3.a) Quelle orientation α par rapport à la verticale permet à l'obus de retomber en A ? 3.b) L'expérience est-elle concluante quant à la mise en évidence des forces de Coriolis ?

exo 8.7) Précession de Larmor

issus du site "http ://www.cic-it-nancy.fr/fr/quest-ce-que-lirm/".

Pour étudier ce mouvement, on se place dans le référentiel d'étude R qui est considéré comme galiléen. Une particule M de masse m et de charge q est lancée à l'origine du repère Oxyz (xe dans R ) avec une vitesse initiale v 0 contenue dans le plan zOx : ~ v 0 = v 0x ~ e x + +v 0z e ~ z .

Cette particule est soumise à l'action d'un champ magnétique B ~ = B ~ e z uniforme et constant.

Soit M ⁰ la projection de M sur le plan xOy et H sa projection sur l'axe Oz .

Soit R ⁰ un référentiel en rotation par rapport à R avec une vitesse angulaire Ω = Ω ~ e _z . Ox ⁰ y ⁰ z est xe dans R ⁰ . La vitesse angulaire Ω est choisie de manière à ce que le point M ⁰ soit xe dans R ⁰ sur l'axe Ox ⁰ : on note x ⁰ = OM ⁰ .

On pose ω _c = ^{q B} _m , la pulsation cyclotron.

1) Passage de R à R ⁰ .

1.a) Exprimer la force de Lorentz dans R .

1.b) Pourquoi peut-on dire que c'est la même force électromagnétique que la particule ressent dans R ⁰ , alors que le champ électromagnétique n'est plus le même ?

1.c) Exprimer la vitesse de la particule dans R en fonction de celle dans R ⁰ . 2) Dynamique dans R ⁰ .

2.a) Ecrire le principe fondamental de la dynamique dans R ⁰ . 2.b) Montrer que Ω = ^ω ₂

.

2.c) Quelle est donc l'équation suivie par x ⁰ ?

Approche documentaire (DNS)

Marées et gravitation

Une histoire des marées André Gillet - Belin

Les marées sont liées aux mouvements de la Lune et du Soleil.

Pierre Simon de Laplace

Laplace (1749-1827) utilise les mesures des hauteurs d'eau relevées à Brest depuis Louis XIV. Il est un grand savant, mais il manque de simplicité. Sa science dépasse sa modestie : Je suis arrivé à ce résultat remarquable [la solution du problème des marées]. Il parvient en eet à établir une théorie générale, mais celle-ci ne s'applique pas aux ux et reux propres à chaque port, et n'est donc pas exploitable pour la prédiction.

Procédant méthodiquement, Laplace simplie systématiquement le problème, et prend comme hypothèse, pour commencer, que la mer inonde la Terre entière, et qu'elle n'éprouve que de légers obstacles dans ses mouvements. Il considère que sans cette simplication il serait impossible de soumettre aux calculs l'analyse des marées. Il sut donc d'examiner les phénomènes généraux qui doivent résulter des forces engendrées par le Soleil et la Lune, l'attraction luni-solaire sur la Terre étant la seule explication rationnelle possible.

Pour commencer, et pour simplier encore, Laplace pose que le Soleil est le seul moteur des marées, et qu'il est à l'équateur. Son attraction s'exerce de façon globale sur la Terre et son enveloppe liquide. Celles-ci sont donc soumises à une accélération dans la direction de l'astre. Localement cependant, l'accélération subie n'est pas la même partout. Suivant les lois de la physique, on peut concentrer toute la masse du globe terrestre en son centre, et étudier le mouvement de ce centre de masse. On examine alors le mouvement des océans par rapport à celui-ci. Une particule de la mer placée au-dessous du Soleil subit une attraction - donc une accélération - plus grande que le centre de la Terre, car elle est plus proche de l'astre attracteur. Inversement, une goutte d'eau à l'antiméridien est moins attirée par le Soleil - donc moins accélérée - que ne l'est le centre de la Terre. Il se forme donc deux bourrelets d'eau diamétralement opposés. Étant donné que la Terre fait un tour sur elle-même en 24 heures, on observe théoriquement en chaque point du globe deux marées par jour.

L'attraction du Soleil se fait sentir de façon plus importante dans les vastes étendues que dans les bassins étroits, car la force reçue par chaque molécule se transmet de part en part et se communique à tout l'océan.

Cette force, qui est négligeable pour chaque particule liquide, devient considérable lorsqu'elle est transmise à toutes. Elle reste faible en revanche dans les mers de peu d'étendue Les marées dans celles-ci, on le sait, sont quasi inexistantes, sauf certaines exceptions comme l'Adriatique.

Compliquant son schéma pour se rapprocher des conditions réelles, Laplace introduit la Lune et la fait se déplacer sur l'équateur en compagnie du Soleil. L'action de la Lune induit sur les océans un eet comparable à celui du Soleil, mais cette fois-ci suivant un cycle d'un demi-jour lunaire. Les deux mouvements, celui du Soleil et celui de la Lune se combinent sans se troubler, et, de leur combinaison, résulte le ux que nous observons dans nos ports.

La force génératrice des marées, due aux eorts conjoints de la Lune et du Soleil, varie de façon très complexe au cours du temps. Lorsqu'il arrive au bout de son raisonnement, Laplace a réussi à décomposer cette force en une somme d'actions simples, qui suivent un cycle diurne, ou semi-diurne (d'un demi-jour). Chacune de ces actions engendre de façon périodique une marée, ou onde, et les ux et reux que l'on observe sont dus à l'addition de ces diérentes ondes. Laplace conclut cependant à une forme générale semi-diurne, car l'action semi-diurne de la Lune est prépondérante.

Les prédictions de hauteur et d'heure ne se conrment pas à partir de cette théorie. Il est impossible de

prévoir le ux et le reux d'un port quelconque directement à partir de celui du port de Brest, où les marées

sont étudiées depuis le milieu du XVIIième siècle, et particulièrement bien connues depuis 1711, année à partir

de laquelle les relevés furent systématiques. À chaque port correspond un régime qui lui est particulier. Cette

particularité des marées sera conrmée par l'ingénieur hydrographe Rémi Chazallon (1802-1872), qui poursuivra

Chazallon : la théorie et la pratique

À partir d'observations eectuées à Saint-Malo et à Granville en 1831, et reprises en 1836 - les grandes marées de ces deux ports l'ont fortement impressionné - Chazallon démontre, par des méthodes graphiques et par le calcul, que chaque port obéit à sa loi particulière. Ainsi, vers l'entrée de l'Orne et au Havre, la mer garde son plein pendant une heure ; à Dieppe, elle le garde à peine huit minutes ; ici la durée du ot [marée montante]

excède la durée du jusant [marée descendante] ; ailleurs c'est l'inverse. Il fallait ajouter à l'onde semi-diurne de Laplace d'autres ondes de périodes plus petites. Ces autres ondes ou marées élémentaires ont des périodes d'un tiers, un quart, un sixième, etc. de jour. L'addition de ces ondes quart-diurne, semi-tiers-diurne... rend compte des irrégularités. La surface de la mer ondule comme une corde vibrante et l'onde principale, lorsqu'elle rencontre des fonds peu profonds, se déforme, et engendre ses harmoniques.

Dans chaque port, l'heure et la hauteur des ux et des reux peuvent être calculées en combinant les ondes- marées de Laplace et leurs harmoniques, découvertes par Chazallon. Cependant, selon la forme des côtes et des baies, la profondeur des fonds, l'amplitude et l'heure de la marée peuvent varier considérablement, et, comme le remarquait déjà Laplace, la grandeur des marées dépend beaucoup des circonstances locales. Sur les côtes de la Manche et de l'Atlantique, on observe deux marées par jour lunaire, car les ondes semi-diurnes dominent, alors que sur les côtes du Vietnam, c'est l'onde diurne qui prédomine, et on constate chaque jour lunaire une marée de grande amplitude et une autre de très petite amplitude. Ainsi E. Fichot, ingénieur hydrographe en chef de la Marine, notait en 1923 : [...] la mer de Chine [est] susceptible de se comporter en résonateur vis-à-vis du système diurne nord-pacique sur lequel elle débouche. D'autre part, l'onde semi-diurne, en contournant par le nord et le sud l'île d'Haïnan, vient interférer presque complètement dans le golfe du Tonkin : d'où le caractère exclusivement diurne, si longtemps regardé comme une anomalie, de la marée dans cette région. L'onde semi-diurne toutefois n'est pas rigoureusement éteinte ; vers les époques où la Lune, traversant l'équateur, l'onde diurne s'annule, et on voit nettement réapparaître sur le tracé des courbes une très légère ondulation semi-diurne, qui dans le cours de la lunaison se trouve noyée dans l'onde diurne prépondérante.

Chaque bassin, chaque baie, possède une période propre, dépendant de sa forme et de ses dimensions. Si cette période propre et la période de l'onde-marée coïncident, l'amplitude augmente considérablement, par résonance.

Ce phénomène est présent dans l'Adriatique ; c'est pourquoi on y observe des marées. Il n'existe pas en revanche

en Méditerranée. La résonance peut élever l'eau à des hauteurs considérables. Lors des forts coecients, la mer peut monter de 21 mètres dans la baie de Fundy, au Canada, et de 18 mètres au détroit de Magellan. Dans la baie du Mont-Saint-Michel, la marée dépasse les 12 mètres. Les plages étant très plates et fort longues, l'eau arrive à grande vitesse, à la fameuse vitesse d'un cheval au galop, comme l'écrit le Père Fournier. Au milieu de l'océan, par contre, la Lune et le Soleil ne soulèvent les eaux que de quelques décimètres. À proximité des côtes, là où il est intéressant de savoir prédire l'heure et la hauteur du ux, seule l'observation peut déterminer quelle part revient à chacune des composantes de la marée, car la complexité de la forme des continents et de celle des fonds marins rendent le problème insoluble par la seule théorie.

Analyse et prédiction des marées

La force génératrice des marées peut être décomposée en une série de forces élémentaires, strictement périodiques. Les courbes qui représentent la variation de ces forces au cours du temps sont des sinusoïdes. Elles sont dénies chacune par une période, qui caractérise le cycle suivant lequel le phénomène se répète (par exemple un demi-jour lunaire), et par une amplitude, qui décrit l'intensité maximale de la force d'attraction.

Chaque composante de la force génératrice engendre dans les océans une onde-marée correspondante de même période. La géométrie du bassin, par contre, exerce une inuence considérable sur l'amplitude de chaque onde, de même que sur son retard par rapport à l'action qui l'a produite (sa phase).

La marée totale en un lieu est une combinaison de ces ondes élémentaires. À Brest, par exemple, on peut retrouver la forme générale de la marée en additionnant les deux ondes qui, dans ce port, sont prépondérantes : l'onde semi-diurne lunaire, et l'onde semi-diurne solaire, engendrées par les mouvements journaliers apparents de la Lune et du Soleil.

Les variations de hauteurs d'eau se comprennent de façon intuitive. On retrouve bien une marée semi-diurne, modulée au cours du mois en fonction des positions respectives de la Lune et du Soleil. C'est une approximation, car d'autres ondes, qui tiennent compte des mouvements complexes des deux astres par rapport à la Terre, sont à prendre en considération. Pour décrire convenablement les marées, il faut également faire intervenir les ondes de petits fonds découvertes par Chazallon, et d'autres ondes de plus longues périodes, d'origine météorologique.

Pour pouvoir prédire à long terme les marées en un lieu, on y détermine l'amplitude et la phase de chacune

exo 8.8) Enoncé 1) Force de marée

Pour simplier, on supposera que "le Soleil est le seul moteur des marées, et qu'il est à l'équateur" et que la Terre est entourée d'une "enveloppe liquide". On s'intéresse à une "particule de mer" de masse m , qu'on étudie dans le référentiel géocentrique, le référentiel héliocentrique étant supposé galiléen.

1.a) Exprimer la force d'inertie d'entraînement F ~ e .

1.b) De même, exprimer la force d'attraction gravitationnelle F ~ a subie par une particule de la mer.

On pose la force de marée : f ~ _m = F ~ _a + F ~ _e .

1.c) Montrer par un schéma où l'on représentera f ~ _m en plusieurs endroits sur Terre que sous l'eet de la force de marée se forment deux bourrelets d'eau diamétralement opposés.

1.d) En déduire qu'on observe théoriquement en chaque point du globe deux marées par jour.

2) Eet de la Lune

Tout comme Laplace, on introduit maintenant la Lune et on la fait se déplacer sur l'équateur en compagnie du Soleil. L'action de la Lune induit sur les océans un eet comparable à celui du Soleil, mais un peu plus grand. Les deux mouvements, celui du Soleil et celui de la Lune se combinent sans se troubler, et, de leur combinaison, résulte le ux que nous observons dans nos ports.

2.a) Faire un schéma qui représente la Terre entourée d'océan, le Soleil et la Lune au premier quartier, à la pleine lune, au dernier quartier et à la nouvelle lune.

2.b) Quand y a-t-il vive eaux (amplitude forte de la marée) et morte eaux (amplitude faible de la

marée) ?

Problème (DNS)

Etude du pendule de Foucault

L'expérience du pendule de Foucault (1851)

Stéphane Deligeorges, journaliste, chroniqueur scientique à France Culture

http: // www. culture. gouv. fr/ culture/ actualites/ celebrations2001/ foucault. htm

Vous êtes invités à venir voir tourner la Terre

Il est extrêmement rare qu'une découverte scientique connaisse un succès public analogue à ce qui s'est produit dans le premier trimestre de cette année 1851. Grâce à l'appui de François Arago, moins d'un mois plus tard, Foucault peut installer aux yeux de tous son expérience. Le 3 fé- vrier 1851, certains reçoivent une invitation ainsi libellée : Vous êtes invités à venir voir tourner la Terre dans la salle méridienne de l'Observatoire de Paris. Le pendule mesure cette fois onze mètres de haut. Ses oscillations sont plus longues et sa dé- viation est, bien sûr, plus sensible, plus manifeste aux yeux du public.

Un peu plus tard, grâce, cette fois, à l'autorité de Louis Bonaparte, et à son goût pour les sciences, une nouvelle mouture du pendule va être oerte aux yeux des Parisiens. Sous les voûtes élevées de certains édices le phénomène devait prendre une ampleur magnique. Nous avons trouvé dans le Panthéon un emplacement merveilleusement ap- proprié à l'installation d'un pendule gigantesque ; nous avons trouvé pareillement dans l'administra- tion les dispositions les plus favorables à l'exécu-

tion du projet que suggérait la vue de cette immense coupole écrit Foucault.

C'est le 31 mars 1851, que les Parisiens vont venir, en masse semble-t-il, essayer de comprendre comment la Terre tourne sur elle-même. Dans cette nouvelle disposition, la longueur du l d'acier est de soixante-sept mètres, le globe très dense, d'un diamètre de dix-huit centimètres, son poids : vingt-huit kilogrammes. Le 31 mars, le pendule a été mis en branle avec un luxe de précautions. Après une oscillation double de 16 secondes de durée, écrit Foucault, on l'a vu revenir à 2 millimètres et demi environ à gauche du point de départ. Le même eet continuant à se produire à chaque oscillation, la déviation a été grandissant toujours plus, proportionnellement au temps., la rotation du plan d'oscillation ayant lieu en 31 h 47 min.

Le but de ce problème est d'expliquer le comportement du pendule de Foucault.

1. Préliminaires

1) La pesanteur

1.a) Dénir la pesanteur.

1.b) Faire un schéma où apparaîtront en particulier O et le vecteur accélération de la pesanteur ~ g en

un point quelconque du sol terrestre.

1.c) Quelles sont les causes de l'inhomogénéité de g dans le cadre d'un modèle terrestre sphérique ? Dans toute la suite du problème, on supposera que

• la Terre est sphérique, de centre O , de rayon R = 6400 km ;

• la pesanteur est assimilée à l'attraction gravitationnelle de la Terre ;

• l'accélération de la pesanteur est homogène à la surface de la Terre, dirigée vers O , de valeur g = 9, 8 m · s ⁻² ;

• le référentiel géocentrique est galiléen ;

• le référentiel terrestre est, dans le référentiel géocentrique, en mouvement de rotation uniforme autour de l'axe polaire, avec une période proche de 24 heures.

2) Le pendule de Foucault au... pôle Nord !

On assimile le pendule de Foucault à un pendule simple constitué d'un l (de masse négligeable) de longueur L = 67 m xé en un point P au bout duquel une masse ponctuelle M est suspendue. L'attache du l est fabriquée de manière à assurer au pendule la possibilité de se balancer avec la même liberté quelle que soit la direction. On suppose que le système est tel que les frottements et dissipations puissent être négligés en première approximation et que le l est parfaitement rigide.

Dans tout le problème, on se place dans le cas des petites oscillations du pendule de Foucault et on pourra ainsi considérer que la trajectoire du point M est horizontale. De plus, on considèrera que le pendule, lâché sans vitesse initiale dans le référentiel terrestre a aussi une vitesse initiale quasi nulle dans le référentiel géocentrique, car la vitesse d'entraînement proche du pôle est faible.

2.a) En étudiant ce pendule dans le référentiel géocentrique, déterminer le mouvement de M lâché sans vitesse initiale : quelles sont sa trajectoire et sa période ?

2.b) En déduire que le plan d'oscillation du pendule tourne dans le référentiel terrestre. En combien de temps ? Dans quel sens ?

2. Le pendule de Foucault à Paris

Au voisinage d'un point P xe à la surface de la Terre (à Paris, de latitude λ = 48 ^◦ 51 ⁰ = ^π ₂ − θ où θ est l'angle compté à partir du pôle Nord), on dénit un repère orthonormé direct (P, ~ u x , ~ u y , ~ u z ) , avec ~ u x et ~ u y dans le plan horizontal, ~ u _z vertical vers le haut, ~ u _x dirigé vers le Nord et ~ u _y vers l'Ouest. On notera (x, y, z) les coordonnées d'un point matériel M , et on considérera le mouvement de M comme horizontal ( z = cste ).

3) Position du problème

3.a) Faire un schéma où apparaîtront en particulier O , P , ~ u _x , ~ u _z et ~ u _y , ce dernier vecteur étant orthogonal au plan du schéma.

3.b) Donner l'expression, dans la base (~ u x , ~ u y , ~ u z ) , du vecteur rotation Ω ~ de la Terre dans le référentiel géocentrique.

3.c) En déduire l'expression de la force d'inertie de Coriolis dans le cas du mouvement horizontal d'un point matériel M au voisinage de P .

3.d) Montrer que la projection verticale de la force d'inertie de Coriolis est négligeable devant le poids du mobile.

4) Étude qualitative

4.a) Quel est l'eet de cette force d'inertie de Coriolis sur le mouvement horizontal d'un point matériel M au voisinage de P ?

4.b) Dans le repère terrestre, faire un schéma de la trajectoire de ce point matériel M .

4.c) Conclure sur le mouvement apparent (dans le référentiel terrestre) du plan d'oscillation du pendule de Foucault.

5) Étude quantitative

5.a) Montrer que la tension appliquée par le l sur le point M peut s'écrire T ~ f =

T

L (−x ~ u x − y ~ u y + L ~ u z ) . On dénira T f .

5.b) Montrer que les équations suivies par les coordonnées du point M sont x ¨ = −ω ² x + α y ˙

¨

y = −ω ² y − α x ˙ On donnera ω et α en fonction de L , g , Ω et λ .

5.c) Quelle est l'équation diérentielle suivie par f = x + i y ? En quoi a-t-on découplé les précédentes

équations ?

en une oscillation rapide de période T ₀ = ^2π _ω

0

, avec une rotation du plan d'oscillation de période T ⁰ = _{Ω sin} ^2π _λ . 5.e) Faire les applications numériques pour T ₀ et T ⁰ et les comparer aux valeurs données dans le document introductif.

5.f) Calculer T ⁰ pour un pendule de Foucault au pôle Nord ( λ = ^π ₂ ) et à l'équateur ( λ = 0 ). Est-ce

cohérent ?