Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen

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2014/2015 Diane Cabaret de Alberti 1

Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen

Hypothèses : régime stationnaire, référentiel galiléen, base cartésienne

Système fermé : particule de fluide centrée sur le point ^{M x y z}



^{, ,}



de volume dVdxdydz, de masse dm

 

M dV

Sujet : étude du champ de pression P M

 

1 Forces au sein d’un fluide au repos

Soit la surface fermée , les actions mécaniques se décomposent en deux types de forces : Forces volumiques : actions à distance de longue portée

La force dFV élémentaire exercée sur l’élément de volume dVs’exprime en fonction de la densité volumique de force

fV (N.m^-3) par : dFV  fV

 

M dV

Forces surfaciques : actions à plus courte portée

La force dF_S élémentaire exercée sur l’élément de surface dS s’exprime en fonction de la densité surfacique de force

fS (N.m^-2) par : dFS  fS

 

M dS^'

Exemple : - le poids : V pesanteur ^V

dF dmg

f g

dV dV 

   avec la masse volumique du fluide

- les forces de pression : S pression ^S

   

P M dS n

f dF P M n

dS dS

   

2 Relation de statique des fluides

Bilan des forces :

Force de pesanteur : dFV dmg 

 

M gdV uz

Forces de pression:

, , , ,

2 2

, , , ,

2 2

, , , ,

2 2

x

S y

z

dx dx

P x y z P x y z dydzu

dy dy

dF P x y z P x y z dxdzu

dz dz

P x y z P x y z dxdyu

      

    

 

    

      

      

    

 

Principe fondamental de la dynamique : dF_VdF_S 0

Projection sur les axes :

 

   

, , 0

P x y z x P x y z

y

dP z z g

dz 

  

 

  

 



  



=> la pression est indépendant des coordonnées x et y

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Si le champ de pesanteur est noté g gu_z, alors un fluide au repos dans un référentiel galiléen possède une pression P ne dépendant que de la coordonnée cartésienne z par la loi, appelée relation de statique des fluides :

dP g

dz   (1)

Remarques :

La pression diminue avec l’altitude (atmosphère) ou augmente avec la profondeur (océan).

Si l’axe (Oz) est descendant, la relation devient : dP dz g

3 Exemples

Cas d’un fluide incompressible et homogène :

Hypothèses : Pression à la surface de l’eau P_atm et on oriente l’axe (Oz) vers le haut

Dans un fluide incompressible et homogène, la pression augmente avec la profondeur selon la relation :

 

atm

P z P gz

Cas de l’atmosphère isotherme dans le modèle du gaz parfait :

Hypothèses : Fluide compressible, l’atmosphère est à la température uniforme T₀, pression à l’altitude z = 0 P_atm et on oriente l’axe (Oz) vers le haut

La masse volumique dépendant de la pression, avec la relation des gaz parfaits :

0

m PM V RT

  Relation de statique des fluides :

0

dP Mg

P  RT dz intégrée entre l’altitude z = 0 du sol et l’altitude z :

 

0 atmexp

P z P Mg z

RT

 

  

 

Dans le cas de l’atmosphère isotherme dans le modèle du gaz parfait, la pression diminue avec l’altitude selon la relation :

 

atm^exp ⁰

RT

P z P z avec H

H Mg

 

   

Comparaison des deux modèles :

Lorsque la variation d’altitude est très faible :

   

0 0

exp ^atm 0

atm atm atm

P M

P z P Mg z P gz P z gz

RT RT 

 

     

  => Cohérence entre les deux modèles