M2 : Dynamique du point en référentiel galiléen

ATS ATS

Jules Ferry

Chapitre 2 : Dynamique du point en référentiel

galiléen ^M2

La dynamique est la partie de la physique qui étudie le mouvement des corps en le reliant aux causes du mouvement (les « forces »).

I. Masse et quantité de mouvement

La masse d'un corps est un scalaire positif qui caractérise les propriétés d'inertie de la matière i.e. la difficulté à le mettre en mouvement ou à modifier sa trajectoire. Unité S.I. : kilogramme kg.

Propriétés : la masse est une grandeur intrinsèque au point matériel : elle est indépendante du référentiel dans lequel on se place.

Conséquence : la vitesse d'un point matériel est continue par inertie.

Remarque : la position d'un point matériel est continue car la matière est une grandeur conservative.

2. Quantité de mouvement (introduite par Newton)

Pour un point matériel M , de masse m et de vitesse ⃗v_M/R(t), on définit la quantité de mouvement de ce point M dans le référentiel R à l'instant t par : ⃗p_M/R(t)=mv⃗_M/R(t) .

II. Les forces

1. Définitions et propriétés

On appelle force toute action capable de modifier le vecteur vitesse d'un point matériel. Elle peut être modélisée par un vecteur F⃗ :

• norme

∥

∥

• direction de F⃗ : celle de l'action

• sens de F⃗ : celui de l'action.

Propriétés :

• les forces ne dépendent pas du référentiel considéré

• les forces sont additives (addition vectorielle) : F⃗₁ et F⃗₂ s'exercent sur  M  ⇔   F⃗= ⃗F₁+ ⃗F₂ s'exerce sur M. F⃗  est alors appelée résultante des forces

• on distingue deux types de forces :

◦ à distance (le poids par exemple)

◦ de contact (les frottements par exemple)

• on dit qu'un point matériel est isolé s'il n'est soumis à aucune force

• on dit qu'un point matériel est pseudo-isolé si la résultante des forces qui lui sont appliquées est nulle.

2. Force gravitationnelle (force à distance) a) Loi de la gravitation universelle de Newton

Tout point matériel   M₁  de masse  m₁  exerce sur un point matériel M₂  de   masse  m₂  situé   à   une   distance  r=M₁M₂  une  force attractive F_1/2 telle que  ⃗F_1/2=−Gm₁m₂

r² ⃗e_1→2  où e_12 représente le vecteur unitaire dirigé de  M₁ vers  M₂ et où G est la constante de la gravitation universelle : G=6,67. 10⁻¹¹N.kg⁻².m².

b) Lien avec le poids d'un corps

Le Poids P d'un point matériel M de masse m sur un astre est la force d'attraction gravitationnelle qu'exerce l'astre sur M. On le note  ⃗P=m⃗g  où le   vecteur  g  dépend   de   l'astre   considéré   et   est   appelé  accélération de la pesanteur de l'astre (ou champ de pesanteur de l'astre).

Exemple : le champ de pesanteur terrestre  g_T (la Terre possède une masse  M_T=6,0 .10²⁴kg).

P=mg_T=G m M_T

zR_T²u_x d'où g_T=G M_T

zR_T²u_x.

Si   le   point   matériel   M   est   proche   de   la   surface   de   la  Terre, z≪R_T=6,4 .10³km donc  g⃗_T=G M_T

R_T² u⃗_x  et ne dépend que de la Terre i.e de l'astre considéré.

À deux chiffres significatifs, on obtient g_T=∥ g_T∥=9,8N.kg⁻¹. Remarques :

• Au troisième chiffre significatif pour g, il faut tenir compte du fait que la Terre n'est pas totalement sphérique (g est plus grand aux pôles qu'à l'équateur ou qu'aux sommets des montagnes).

• Sur la Lune, gL=GM_L

R_L² =1,6N.kg⁻¹ donc le poids d'un corps est plus faible sur la Lune que sur Terre.

3. Force électrostatique de Coulomb (force à distance)

Tout point matériel   M₁  de charge électrique  q₁  (> 0 ou < 0) exerce sur un point matériel   M₂  de charge électrique q₂ situé à une distance r=M₁M₂ une force F_1/2 telle que  ⃗F_1/2= 1

4π ϵ₀ q₁q₂

r² ⃗e_1→2  où ₀ est la permittivité du vide (s'exprime en C²m⁻²N⁻¹).

r

e_12

F_1/2 M₁m₁

M₂m₂

r

e_12

F_1/2 M₁q₁

M₂q₂

Cas où q₁ et q₂ sont de signes opposés

r

e_12

F_1/2

M₁q₁

M₂q₂

Cas où q₁ et q₂ sont de mêmes signes

P=mg

g

Mm

Terre

Mm

centre dela Terre R_T

surface de laTerre

z

4. Force de rappel élastique d'un ressort (force de contact)

Un ressort est caractérisé par sa constante de raideur notée k (en N.m⁻¹) et par sa longueur à vide ℓ₀. Si le ressort a, à un instant t, une longueur  ℓ, il exerce une force de rappel (dite « élastique ») sur le point matériel M accroché à son extrémité :

⃗F=−k

(

)

ℓ−ℓ₀ est l'allongement du ressort.

5. Tension d'un fil (force de contact)

Un point matériel M  accroché à un fil subit une force de tension T  dont la direction est celle du fil, le sens va de M vers le fil et dont la norme est, a priori, inconnue.

Remarque : Si le fil n'est pas tendu alors T=0. Exemple du

pendule 6. Force de contact entre deux solides

Un point matériel en contact avec un support subit, de la part de celui-ci, une force  R  appelée réaction du support qui se compose, en général, de deux termes :  R=R_NR_T

avec R_N  la réaction normale du support et R_T la réaction tangentielle du support.

Lorsque M se déplace sans frottement sur le support alors ⃗R_T=⃗0 et ⃗R=⃗R_N qu'il y ait mouvement ou non.

Lorsque des frottements solides existent, ⃗R_T a un sens opposé à celui du vecteur vitesse de M par rapport au support.

S'il y a frottements avec M à l'équilibre,   la   somme   des forces est nulle. Par exemple, dans   le   cas   du   schéma   :

mgR=mgR_NR_T=0 7. Force de frottement fluide (force de contact)

Un point matériel  M en mouvement dans un fluide (i.e gaz ou liquide) subit de la part de ce fluide une force de frottement fluide f  de sens opposé à celui du vecteur vitesse de  M par rapport au fluide.

D'un point de vue purement phénoménologique, on observe que :

• pour une vitesse « faible », la norme de f  est proportionnelle à la vitesse de M :  ⃗f=−α ⃗v_M/fluide où α est appelé coefficient de frottement fluide (s'exprime en N.s.m⁻¹).

T M O

M

R=R_N

M

R

R_N

R_T

Sens du mouvement

M

R

R_N

R_T

mg M

M ℓ₀

M

F

F

cas où ℓ−ℓ₀0  : ressort étiré

cas où ℓ−ℓ₀0  : ressort comprimé O

O

O ℓ

ℓ

ressort à vide

e_OM

8. Théorème d'Archimède (de Syracuse -287/-212)

Tout corps au repos immergé dans un fluide subit de la part de ce fluide une force, appelée poussée d'Archimède, égale (en norme) et opposée au poids du fluide déplacé par le corps.

La poussée d'Archimède, souvent notée Π⃗ , est appliquée au centre de masse du volume de fluide déplacé. Ce point est appelé centre de poussée.

Si la masse volumique du fluide et le champ de pesanteur sont uniformes sur la dimension du volume du corps, alors Π=−⃗⃗ Pfluide déplacé=−μ_fluideV_corps⃗g .

Remarques :

1. Si le corps est en mouvement lent par rapport au fluide, on continue d'appliquer le théorème d'Archimède (sinon il faut faire de la mécanique des fluides, cf MF2).

2. En général, on néglige la poussée d'Archimède dans l'air (sauf dans le cas d'une Montgolfière par exemple).

III.Lois de Newton (1687)

En 1687, Isaac Newton publie (en latin) la première œuvre majeure de la physique :

« Principes mathématiques de la philosophie naturelle » appelée familièrement

« Principia ». Cette publication marque le début de la mathématisation de la physique et de la « prédiction » en physique !

C'est en écrivant cet ouvrage que Newton comprendra l'intérêt de développer le calcul différentiel : l'analyse mathématique vient de naître ...

1. Première loi de Newton : le principe d'inertie

Il existe des référentiels privilégiés, appelés référentiels galiléens, par rapport auxquels un point matériel isolé est animé d'un mouvement rectiligne uniforme ou reste au repos (i.e. ⃗v_M/Rg(t)=⃗cte).

C'est un postulat initialement formulé par Galilée qui permet de « définir » les référentiels galiléens.

Remarques :

• valable pour un point matériel pseudo-isolé ;

• la Terre peut être considérée comme un référentiel galiléen sur une courte distance (faible devant le rayon de la Terre) et une courte durée (faible devant un jour).

Propriété : un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est aussi galiléen.

2. Deuxième loi de Newton : le principe fondamental de la dynamique

Dans un référentiel galiléen R_g, le mouvement d'un point matériel M, de masse m, sous l'action de forces extérieures de résultante F⃗_ext est tel que

(

)

= ⃗F_ext(t) .

La masse  m  étant constante dans nos problèmes, il vient   m⃗a_M/Rg= ⃗F_ext(t)   ce qui conduit à l'équation du mouvement de M  dans le référentiel  R_g !

Remarques :

• C'est la loi fondamentale de la dynamique : elle relie les causes ( F⃗_ext ) aux conséquences (accélération donc variation de vitesse donc mouvement et trajectoire …).

• On retrouve la première loi de Newton : si F⃗_ext=⃗0 dans un R_g alors

(

)

=⃗0 donc ⃗v_M/Rg= ⃗cte : la première loi de Newton sert à définir Rg !

• L’accélération peut être discontinue (contrairement à la vitesse et à la position).

3. Troisième loi de Newton : principe des actions réciproques

Si un point matériel A exerce sur un point matériel B une force F⃗_A/B alors B exerce sur A une force F⃗_B/A telle que :

• F⃗ =− ⃗F

IV.Applications

1. Méthode générale pour résoudre un exercice de mécanique i. Faire un (ou des) schéma(s).

ii. Définir le système étudié (le point matériel).

iii. Définir le référentiel d'étude et sa nature (galiléen).

iv. Faire le bilan des forces qui s'appliquent au système étudié.

v. Choisir la méthode de résolution (pour l'instant on n'a pas le choix : 2ème loi de Newton) 2. TD-cours

Exercice 1 : Tir d'un projectile dans le vide

Un point matériel M de masse m est lancé depuis un point O du sol avec une vitesse initiale v₀ dans le plan

xOy et faisant un angle  avec l'axe horizontal Ox. Oy est verticale ascendante. On suppose que les frottements sont nuls (on lance M dans le vide par exemple).

1. Déterminer l'évolution de xt et de  yt. 2. En déduire l'équation de la trajectoire de M.

3. En   déduire   les   coordonnées   du   sommet   S  de   la   trajectoire   ainsi   que   la   portée   du   tir   (distance horizontale atteinte par  M).

Exercice 2 : Point matériel accroché à un ressort dont l'autre extrémité est fixe

Un point matériel M de masse m est accroché à l'extrémité d'un ressort de raideur k et de longueur à vide ℓ₀ dont l'autre extrémité est fixée au point O. Les forces de frottement fluide et solide seront négligées.

I. La position de M est repérée grâce à un axe Ox horizontal.

1. Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par xt (la position de  M)  si l'origine O est prise à l'extrémité fixe du ressort.

2. En déduire l'équation différentielle vérifiée par la variable  Xt=xt– x_eq. Quel est l'intérêt de considérer cette nouvelle variable ?

Que représente ce changement de variable ?

3. Retrouver le résultat précédent en appliquant le PFD avec l'origine souhaitée.

II. La position de M est repérée grâce à un axe Oz vertical descendant.

1. Établir l'expression de la position z_eq du ressort à l'équilibre.

2. Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par zt (la position de  M) si l'origine O est prise à l'extrémité fixe du ressort.

3. En déduire l'équation différentielle vérifiée par la variable Zt=zt– z_eq. Quel est l'intérêt de considérer cette nouvelle variable ?

Que représente ce changement de variable ?

4. Retrouver le résultat précédent en appliquant le PFD avec l'origine souhaitée.