ATS ATS
Jules Ferry
TD 1 : Dynamique du point en référentiel
galiléen M2
Exercice 1 : Glissement d'un solide sur un plan incliné
Un solide supposé ponctuel de masse m est déposé à l’extrémité supérieure de la ligne de plus grande pente Ox d’un plan incliné d’angle α, sans vitesse initiale. On note H la distance de ce point initial O au plan horizontal, et g l’accélération de la pesanteur.
1. Absence de frottement de glissement.
a) Déterminer l’accélération du mobile à l’instant t ainsi que la réaction du support.
b) En déduire la vitesse du mobile au point A.
c) Comparer à la vitesse acquise lors d'une chute libre de hauteur H, sans vitesse initiale.
2. Existence de frottements de glissement.
Lors d'un mouvement avec frottements de glissement, on définit le coefficient de frottement f par f =RT
RN où RT et RN sont les normes des composantes normale et tangentielle de la réaction du plan incliné sur le solide étudié.
Quelle est la condition portant sur α et f pour que le solide commence à glisser à t=0 ?
Exercice 2 : Cas d'un ressort incliné
Soit un ressort de raideur k et de longueur au repos ℓ0, dont les extrémités sont reliées à un point fixe O d’un plan incliné et à un point matériel M de masse m. On pose OM=xex et on suppose qu’il n’y a pas de frottement ni sur le plan incliné ni avec l'air.
1. Déterminer xe la position du point M à l’équilibre.
2. À partir de la position d’équilibre, M est déplacé d'une distance D et lâché sans vitesse initiale. Exprimer x en fonction du temps t.
Exercice 3 : Chute d'une goutte d'eau
Une petite goutte d'eau de masse m tombant dans l'atmosphère est soumise à son poids et à l'action de l'air. En négligeant la poussée d'Archimède, nous supposons que cette action de l'air se réduit à des frottements fluides de la forme ⃗f=−λ ⃗v . On abandonne une goutte d'eau sans vitesse initiale et en atmosphère calme (pas de vent). On admettra que le mouvement a lieu selon l'axe vertical (Oz) orienté vers le bas.
1. Appliquer la 2ème loi de Newton à la goutte et établir l'équation différentielle vérifiée par la norme de la vitesse v de la goutte. Faire apparaître une constante de temps τ du problème. Quelle est son expression ?
2. Montrer que la vitesse de la bille tend vers une vitesse limite v∞ et donner son expression.
3. Donner l'expression de v(t) et représenter v=f (t).
O H
ex
x
A
Exercice 4 : Masse attachée à deux ressorts verticaux
On considère un point matériel de masse m attaché à deux ressorts identiques verticaux, de constante de raideur k et de longueur à vide ℓ0. Les deux autres extrémités sont fixes et espacées d’une distance 2a. On définit l’axe Oz vertical descendante avec l'origine fixée sur le bâti supérieur.
1. Déterminer la position d’équilibre ze de M en fonction de m, g, k et a. En déduire les longueurs à l’équilibre ℓ1 et ℓ2 des ressorts.
2. Déterminer l’équation différentielle à laquelle satisfait z(t). On écrira cette équation en fonction de 0=
2km et ze.3. On écarte M d’une hauteur z0 par rapport à sa position d’équilibre, et on le lâche sans vitesse. Déterminer z(t).
Pour aller plus loin ...
Exercice 5 : Plan incliné et poulie
Le solide S1 de masse m1 glisse sans frottement sur le plan incliné. Le solide S2 de masse m2 se déplace verticalement. La poulie est idéale (masse négligeable et sans frottement) et les fils inextensibles et sans masse. Déterminer l'accélération de chacun des solides et la tension du fil.
Données : m1=400g ; m2=200g ; =30°.
S1 S2
