Moment cinétique en mécanique quantique.

Moment cinétique en mécanique quantique.

1 Théorie générale des moments cinétiques.

1.1 Mécanique classique.

On appellemoment cinétique en mécanique classiqueun vecteur du type

!l =!r ^ !p

où!r est le vecteur position et!p le vecteur impulsion d’une particule.

On dé…nit alors en mécanique quantique lemoment cinétique orbital ! L par

!L =!R ^!P

puisque l’expression n’a pas besoin d’être symétrisée, du fait des propriétés de com- mutation des opérateurs !R et !P. L’opérateur !L est un opérateur à trois compo- santes.

Les propriétés de commutation de cet opérateur sont¹ : [Lx; Ly] =i~Lz

et les autres commutations s’obtiennent par permutations circulaires des compo- santes.

1.2 Dé…nition.

On appelle moment cinétique en mécanique quantique tout opérateur hermi- tique!

J !(Jx; Jy; Jz)qui véri…e les relations de commutations suivantes [J_x; J_y] = i~J_z

[Jy; Jz] = i~Jx

[J_z; J_y] = i~J_x

On introduit alors l’opérateurcarré scalaire du moment cinétique!J avec la dé…nition :

!J²=J_x²+J_y²+J_z²

1On rappelle que

!P = i~! r et

!R= 0

@ X Y Z

1 A

Alors!J² commute avec!J :

h!J²;!Ji

= 0

Il est donc impossible de mesurer simultanément les trois composantes de! J, par contre, !

J² et une composante quelconque de!

J sont compatibles.

Pour trouver un ECOC² contenantH et !J², on ne pourra pas prendre toutes les composantes de!J. En général, on prend dans ce cas pour ECOCn

H;!J²; J_zo mais ce choix est arbitraire. On dit alors que Ozest unaxe de quanti…cation.

1.3 Opérateurs J

et J .

Pour simpli…er les relations, on est amené à poser les opérateurs J₊ et J comme

J+ = Jx+iJy

J = J_x iJ_y pour pouvoir exprimer les fonctions propres deJxet Jy.

On calcule alors aisément h!

J²; J+

i

=h! J²; J i

=h! J²; Jz

i

= 0

Une nouvelle expression de!J²est calculée simplement en utilisant les dé…nitions deJ₊ etJ :

!J²=1

2(J+J +J J+) +J_z²

!J² étant la somme de trois opérateurs hermitiques, ces valeurs propres sont alors positives ou nulles.

1.4 Valeurs propres de ! J

et J

.

La convention consiste à noter les valeurs propres de !J² et Jz données ici dans les équations séculaires (i.e. équations aux valeurs propres) sous la forme

!J²jk; j; mi = j(j+ 1)~²jk; j; mi Jzjk; j; mi = m~jk; j; mi Si j(j+ 1)~² et m~ sont les valeurs propres de !

J² et Jz alors ces valeurs propres véri…ent

j m j

2Ensemble complet d’observable qui commutent. Traduit le fait que l’on peut trouver des fonc- tions propres communes à tous ces opérateurs (i.e. on peut connaître le système dans cette base).

De plus, on montre les propriétés suivantes - Si m= j, J jk; j; m= ji= 0.

- Sim > j,J jk; j; miest un vecteur propre non nul de!J² et J_z avec les valeurs propresj(j+ 1)~²et (m 1)~.

- Si m=j,J₊jk; j; m=ji= 0.

- Si m < j, J+jk; j; mi est un vecteur propre non nul de !J² et Jz avec les valeurs propresj(j+ 1)~²et (m+ 1)~.

On démontre alors quej est forcément entier ou demi-entier(¹₂;³₂;⁵₂:::) ainsi que lesmqui peuvent prendre les valeurs

m2 f j; j+ 1; :::;0; :::; j 1; jg

1.5 Vecteurs propres de ! J

et J

.

Les valeurs précisées dans les ketsjk; j; mirenseignent directement sur lesvaleurs propres des opérateurs!J²; J_z; J₊ et J puisque l’on a alors

!J²jk; j; mi=j(j+ 1)~²jk; j; mi Jzjk; j; mi=m~jk; j; mi J₊jk; j; mi = ~p

j(j+ 1) m(m+ 1)jk; j; m+ 1i J jk; j; mi = ~p

j(j+ 1) m(m 1)jk; j; m 1i

1.6 Espaces E (k; j).

On peut établir l’espace des états en faisant la somme directe de tous les sous- espaces orthogonaux E(j; m) mais alors se pose le problème de la dimension de chacun de ces sous-espaces. Un autre problème avec ces sous-espaces vient du fait qu’ils ne sont pas invariants par application de l’opérateur!J.

On préfère dans ce cas choisir l’espace des étatsE(k; j)invariant par application de!J²; J_z; J et de dimension bien connue(2j+ 1). On sait également qu’à l’inté- rieur d’un sous-espaceE(k; j), les éléments de matrice d’une fonction quelconque

F !

J du moment cinétique!

J sont indépendants de k.

2 Application au moment cinétique orbital.

2.1 Ecriture du moment cinétique orbital.

En représentation fj!rig, la forme des composantes de l’opérateur moment cinétique orbital !

L est

L_x = ~ i y @

@z z @

@y Ly = ~

i z @

@x x@

@z Lz = ~

i x @

@y y @

@x

En appliquant les formules de changement de repère, ces composantes s’écrivent pour les coordonées sphériquesfr; ; 'g;

Lx = i~ sin'@

@ +cos' tan

@

@' L_y = i~ cos' @

@ + sin tan

@

@' L_z = ~

i

@

@'

d’où l’on tire par dé…nition des opérateurs L²; L₊ et L : L²= ~² @²

@ ²+ 1 tan

@

@ + 1

sin²

@²

@'² L₊=~e^i' @

@ +icot @

@' L =~e ^i' @

@ +icot @

@'

En représentation fj!rig, les fonctions propres associées aux valeurs propres l(l+ 1)~² deL² etm~deL_zsont solutions des équations aux dérivées partielles :

@²

@ ² + 1 tan

@

@ + 1

sin²

@²

@'² (r; ; ') =l(l+ 1) (r; ; ') i @

@' (r; ; ') =m (r; ; ')

2.2 Harmoniques sphériques.

Les solutions (r; ; ') de ces équations sont les harmoniques sphériques Y_l^m( ; ') dépendant seulement de et de ' comme les équations précédentes le supposaient.

L² Y_l^m( ; ') = l(l+ 1)~²:Y_l^m( ; ') Lz Y_l^m( ; ') = m~:Y_l^m( ; ')

Les opérateurs moments cinétiques ne renseignant pas sur la partie radiale des fonc- tions d’onde, les harmoniques sphériques non plus.

La deuxième équation, venant de L_z, nous donne Y_l^m( ; ') =F_l^m( )e^im' Puisque Y_l^m( ; '= 0) =Y_l^m( ; '= 2 )on déduit

e^2im = 1

Le résultat déjà évoqué L+jk; l; m=li = 0 s’applique toujours, ainsi on peut poser

L+Y_l^l( ; ') = 0 ce qui entraîne que

Y_l^l( ; ') =cl(sin )^le^il'

Toutes les valeurs de l sont possibles. En e¤et, pour chacun des couples l(l+ 1)~² et m~, correspondra une unique Y_l^m( ; ') clairement calculable. Pour normer ce coe¢ cientcl, on utilise la convention de phase :

c_l=( 1)^l 2^ll!

r(2l+ 1)!

4

Les fonctions propres complètes du paragraphe précédent s’écriront …nalement sous la forme

l;m(r; ; ') =f(r)Y_l^m( ; ')

où rien les opérateurs moments cinétiques ne renseignent pas sur la partie radiale.

2.2.1 Propiétés des harmoniques sphériques.

Il est commode de normer séparément la partie radiale et la partie angulaire de la fonction , ainsi, on écrira

Z 2 0

Z

0 jY_l^m( ; ')j²sin d d'= 1 , propiétés denormalisationdes harmoniques sphériques.

On peut construire les harmoniques sphériques par récurenceen appliquantL à une harmonique sphérique Y_l^m( ; ')connue :

e^i' @

@ mcot Y_l^m( ; ') = p

l(l+ 1) m(m+ 1)Y_l^m+1( ; ') e^i' @

@ mcot Y_l^m( ; ') = p

l(l+ 1) m(m 1)Y_l^{m 1}( ; ') La relation d’orthonormalisation des harmoniques sphériques s’écrit

Z 2 0

Z

0

Y_l^m0 ⁰( ; ') Y_l^m( ; ') sin d d'= l⁰;l m⁰;m

Larelation de fermetures’écrit X1

l=0

Xl m= l

Y_l^m( ; ') Y_l^m0 ⁰( ; ') = cos cos ⁰ (' '⁰)

= 1

sin

0 (' '⁰)

Le changement de!r en !r se traduit en coordonées sphériques par les change- ments

r ! r

!

' ! +'

on montre alors que

Y_l^m( ; +') = ( 1)^lY_l^m( ; ') LaparitédesY_l^m( ; ')est donnée par la parité du nombrel.

On montre également que

(Y_l^m( ; ')) = ( 1)^mY_l ^m( ; ')

Une fonction quelconque f( ; ') peut être développée sur les harmoniques sphériquescomme

f( ; ') = X1 i=0

Xl m= l

cl;mY_l^m( ; ') avec

cl;m= Z 2

0

Z

0

Y_l^m0 ⁰( ; ') :f( ; ') sin d d' De plus,cette décomposition est unique.

2.2.2 Expression générale des harmoniques sphériques.

Si on écrit les harmoniques sphériques sous la forme Y_l^m( ; ') e^im'F( )

oùF( )est une fonction quelconque de , on peut montrer par récurence que (L )^p e^im'f( ) = ( ~)^pe^{i(n p)'}(sin )^{p n} d^p

d(cos )^p h

(sin ) ⁿF( )i où on aurait appliquépfois l’opérateurL+ ouL .

On peut générer les Y_l^m( ; ') à partir de la fonction Y_l^l( ; ') par la formule suivante, utilisant les propriétés deL :

Y_l^m( ; ') = s

(l+m)!

(2l)! (l m)!

L

~

l m

Y_l^l( ; ') et il vient, en utilisant la formule précédente :

Y_l^m( ; ') =( 1)^l 2^ll!

s2l+ 1 4

(l+m)!

(l m)!e^im'(sin ) ^m d^{l m}

d(cos )^{l m}(sin )^2l On peut procéder de la même façon à partir de Y_l ^l( ; '):

Y_l ^l( ; ') =

r(2l+ 1)!

4 e ^il'(sin )^l et il vient alors en utilisant(l+m)foisL₊ :

Y_l^m( ; ') = ( 1)^l+m 2^ll!

s 2l+ 1

4

(l m)!

(l+m)!e^im'(sin )^m d^l+m

d(cos )^l+m(sin )^2l

2.2.3 Lien entre les harmoniques sphériques et les polynômes de Le- gendre.

La dépendance en des harmoniques sphériques est celle des polynômes de Le- gendre. Soit

Pl(u) =( 1)^l 2^ll!

d^l

du^l 1 u^{2 l} lepolynôme de Legendre de degrésl, on voit que

Y_l⁰( ) =

r2l+ 1

4 Pl(cos )

Or on sait que

P_l(1) = 1 On en déduit

Y_l⁰(0) =

r2l+ 1 4

On appellefonction de Legendre associéela fonction P_l^m dé…nie par P_l^m(u) =

q

(1 u²)^m d^m

du^mP_l(u) ; ( 1 u 1) On voit alors que

Y_l^m( ; ') = ( 1)^m s

2l+ 1 4

(l m)!

(l+m)!P_l^m(cos )e^im' qui peut s’écrire également

Y_l^m( ; ') = s

2l+ 1 4

(l+m)!

(l m)!P_l ^m(cos )e^im'

A partir de ces formules, on peut énoncer lethéorême d’addition des harmo- niques sphériques :

2l+ 1

4 P_l(cos ) = Xl m= l

( 1)^mY_l^{m 0}; '⁰ Y_l ^{m 00}; '⁰⁰

3 Composition des moments cinétiques.

3.1 Opérateur moment cinétique total et nouvelle base.

On appellemoment cinétique totaldu système considéré l’opérateur!J tel que

!J =!J₁+!J₂

où!J₁ agit dans l’espace E1(k₁; j₁)et !J₂ dans l’espace E1(k₂; j₂) et sont tout deux des opérateurs moments cinétiques comme ils ont étés dé…nis au paragraphe 2. !J agit alors dans l’espaceE(j₁; j₂)

J!₁²; J_1z et J₁ s’appliquent donc sur les ketsjk₁; j₁; m₁iet !J₂²; J_2z et J₂ s’ap- pliquent donc sur les ketsjk2; j2; m2i.

L’espace des états du système global E est le produit tensoriel deE¹ etE² :

E=E1 E2

On peut noter alorsjk1; k2 ; j1; j2 ; m1; m2iles vecteurs d’une base de cet espace³. Si l’opérateurJzest la composante suivant l’axe de quati…cationOzde l’opérateur

!J, alors on calcule les commutations suivantes hJ_z;!J₁²i

=h J_z;!J₂²i

= 0 h!J²;!J12i

=h!J²;!J22i

= 0

[J1z; Jz] = [J2z; Jz] = 0

mais les opérateursJ_1z etJ_2zne commutent pas avec !J²puisqu’on a les relations

!J² = !J12+!J22+ 2:!J1:!J2

= !J12+!J22+ 2:J1zJ2z+J1+J2 +J1 J2+

Il faut donc choisir une nouvelle base qui puisse permettre la formation d’un ECOC avec les opérateurs H;!

J²;! J12;!

J22; Jz pour pouvoir décrire le mouvement complétement.

3Toutefois, pour ne pas alourdir outre-mesure les notations, on les notera plutôt

jj1; j2 ; m1; m2i

puisque les nombresk1 etk2 ne jouent aucun rôle pour les opérateurs moments cinétiques.

3.2 Valeurs propres de J

.

Les ketsjj1; j2 ; m1; m2isont déjà états propres deJz :

Jzjj1; j2 ; m1; m2i = (J1z+J2z)jj1; j2 ; m1; m2i

= (m1+m2)~jj1; j2 ; m1; m2i On peut alors noter M =m1+m2 et écrire plus simplement

J_zjj₁; j₂; m₁; m₂i=M~jj₁; j₂ ; m₁; m₂i

Ladégénérescencede l’état propre associé à la valeur propreM est donnée par la méthode graphique suivante :

- On trace un repère cartésien avecOm1pour axe des abscisses etOm2pour axe des ordonées.

- On trace un rectangle de sommets ayants pour coordonées (j1; j2);(j1; j2);( j1; j2);( j1; j2).

- On trace toutes les parrallèles à la deuxième bissectrice(y= x)passant par les pointsm1etm2sur leurs axes respectifs. Ce sont toutes les droitesM =m1+m2

possibles.

- On trace toutes les droites parrallèles y =m₂ décrivant toutes les valeurs dem₂possibles.

- On trace toutes les droites parrallèles x=m₁ décrivant toutes les valeurs dem₁possibles.

Alors le nombre de points d’intersection entre les parrallèles à la bissectrice et les droites y = m2 et x = m1 portés par une même bissectrice est le degrés de dégénérescence de l’état associé à la valeur propreM =m1+m2.

3.3 Valeurs propres de ! J

.

Pour j₁ etj₂ …xés, lesvaleurs propresJ de!J²sont telles que J =j1+j2 ; j1+j2+ 1; j1+j2+ 2 ; :::; jj1 j2j

On remarque alors que la dimension du sous-espace associé au couple de valeurs propres (J; M) véri…ant comme pour tout moment cinétique M 2 f J; J+ 1; :::;0; :::; J 1; Jg est(2j₁+ 1) (2j₂+ 1).

3.4 Kets propres communs à ! J

et J

.

Ces kets sont notés jJ; Mi et véri…ent les propriétés des moments cinétiques, à savoir

!J²jJ; Mi = J(J+ 1)~²jJ; Mi JzjJ; Mi = M~jJ; Mi

Le ket jj₁; j₂ ; m₁=j₁; m₂=j₂i est ket propre de l’opérateur J_z associé à la valeur propreM =j₁+j₂et de l’opérateur!J²associé à la valeur propreJ =j₁+j₂ également. De plus, on sait que cet état n’est pas dégénéré, puisqu’il n’y a qu’une seule façon pourM de valoirj₁+j₂.

A partir de la formule⁴

jJ =j1+j2;M =j1+j2i=jj1; j2;m1=j1; m2=j2i

on peux calculer les autres ketsjJ; Mipar application deJ =J1 +J2 n’agissant que sur la valeur propreM et on trouve …nalement

jJ=j1+j2;M = (j1+j2) 1i = s

j1

j₁+j₂jj1; j2;m1=j1 1; m2=j2i +

s j₂

j1+j2jj₁; j₂;m₁=j₁; m₂=j₂ 1i On peut construire les autres kets propres en utilisant la formule suivante autant de fois que nécéssaire

jJ = (j1+j2) 1;M = (j1+j2) 1i = s

j1

j1+j2jj1; j;m1=j1; m2=j2 1i s j₂

j₁+j₂jj₁; j₂;m₁=j₁ 1; m₂=j₂i

3.5 Coe¢ cients de Clebsch-Gordan (C-G).

Dans chaque espace E(j₁; j₂), les vecteurs propres de !J² et J_z sont des combi- naisons linéaires des vecteurs de la base initialefjj₁; j₂;m₁; m₂ig:

jJ; Mi=

j1

X

m1= j1

j2

X

m2= j2

jj₁; j₂;m₁; m₂i hj₁; j₂;m₁; m₂jJ; Mi

Les coe¢ cients hj1; j2;m1; m2jJ; Mide ces développements sont appeléscoe¢ - cients de Clebsch-Gordan⁵.

4Les notations dans tout ce qui suit sont volontairement trés lourdes, on trouve plus généralement la formule qui suit sous la forme

jj1+j2 ; j1+j2i=jj1; j2; j1; j2i

On répète donc rarement les lettresJ; M; m1etm2quand les notations deviennent trop lourdes.

5Appelé icicoe¢ cients C-Gpar pure commodité.

hj₁; j₂;m₁; m₂jJ; Min’est di¤érent de0 que pour M = m1+m2

jj₁ j₂j J j₁+j₂

qui s’énonce aussi sous la forme de la règle du triangle : on doit pouvoir former un triangle avec trois segments de longueur égales à j₁; j₂ etJ.

La formule de changement de base inverse va s’écrire bien entendu

jj₁; j₂;m₁; m₂i=

j1X+j2

J=jj1 j2j

XJ M= J

jJ; Mi hJ; M jj₁; j₂;m₁; m₂i

Larelation d’orthogonalité des coe¢ cients C-G s’écrit

j1

X

m1= j1

j2

X

m2= j2

hj1; j2;m1; m2jJ; Mi hj1; j2;m1; m2jJ⁰; M⁰i= J J⁰ M M⁰

puisque les coe¢ cient C-G sont réels. On peut également écrire à partir de la formule de changement de base inverse

j1X+j2

J=jj1 j2j

XJ M= J

hj1; j2;m1; m2jJ; Mi hj1; j2;m⁰₁; m⁰₂jJ; Mi= _m1m⁰_{1 m2m}⁰₂

On sait que par dé…nition J1 jj1; j2;m1; m2i = ~p

j1(j1+ 1) m1(m1 1)jj1; j2;m1 1; m2i J₂ jj₁; j₂;m₁; m₂i = ~p

j₂(j₂+ 1) m₂(m₂ 1)jj₁; j₂;m₁; m₂ 1i donc on a

J jJ; Mi=~p

J(J + 1) M(M 1)jJ; M 1i

On peut alors trouver unerelation de récurencepar application de l’opérateur J ouJ+ telle que

pJ(J+ 1) M(M 1)hj1; j2;m1; m2jJ; M 1i=

= p

j1(j1+ 1) m1(m1 1)hj1; j2;m1 1; m2jJ; Mi +p

j₂(j₂+ 1) m₂(m₂ 1)hj₁; j₂;m₁; m₂ 1jJ; Mi

La convention de phase consiste à avoir le coe¢ cient hj1; j2;m1=j1; m2=J j1jJ; M =Ji réel positif. Bien sûr, cette convention peut aussi s’écrire par symétrie des valeurs m1 et m2

hj1; j2;m1=J j2; m2=j2jJ; M =Ji 2R+.

Les coe¢ cients C-G étant tous réels, on peut écrire

hj₁; j₂;m₁; m₂jJ; Mi = hJ; M jj₁; j₂;m₁; m₂i

= hj1; j2;m1; m2jJ; Mi On peut monter les propriétés suivantes des coe¢ cients C-G :

hj₁; j₂;m₁; m₂jJ =j₁+j₂; Mi 0 hj1; j2;m1=M j2; m2= j2jJ; Mi > 0

où la valeurm1=M j2est la valeur maximale que peut prendrem16. On donne le signe de quelques coe¢ cients particuliers :

hj1; j2;m1; m2jJ; M =Ji = ( 1)^{j1 m1} hj1; j2;m1; m2jJ; M = Ji = ( 1)^m2+j2 hj₁; j₂;m₁=J j₂; m₂=j₂jJ; M =Ji = ( 1)^{j1+j2 J} hj₁; j₂;m₁= j₁; m₂= J+j₁jJ; M = Ji = ( 1)^{j1+j2 J}

Certaines permutations de signe ou d’indice sont également intérressantes, on montre

hj₁; j₂;m₂; m₁jJ; Mi = ( 1)^{j1+j2 J}hj₁; j₂;m₁; m₂jJ; Mi hj1; j2; m1; m2jJ; Mi = ( 1)^{j1+j2 J}hj1; j2;m1; m2jJ; Mi Pour …nir, les coe¢ cients particuliers⁷ :

hj₁=j; j₂=j;m₁=m; m₂= (m+ 1)jJ = 0; M = 0i=

= hj₁=j; j₂=j;m₁=m; m₂= mjJ = 0; M = 0i Xj

m= j

hj; j;m; mj0;0i²= 1

hj; j;m; mj0;0i=( 1)^{j m} p2j+ 1

6La convention de phase consiste à choisir également la plus grosse valeur dem1mais également à avoirM=J, les deux écrituresm1=J j2etm1=M j2 sont alors équivalentes.

7On donne à titre d’exemple cette dernière égalité comme il est coutume de la noter : hj; j;m+ 1; (m+ 1)j0;0i= hj; j;m; mj0;0i

4 Composition des harmoniques sphériques.

Considérons deux particules d’espace des états E!¹r et E!²r, de moment cinétique orbitaux L!1et L!2. On rapporte l’espaceE!ⁱr à une base standard '_ki;li;mi dont les kets ont pour fonctions d’onde

'_ki;li;mi(!ri)Rki;li(ri)Y_l^m_i ⁱ( i)

où _i représente l’ensemble des angles polaires f i; '_ig de la i-iéme particule, i prenant les valeurs 1ou2dans ce cas.

Lemoment cinétique globalest

!J =L!1+L!2

On peut donc construire une base de kets propres ^M_J communs à!J² et àJ_z. Ces vecteurs sont de la forme

M

J =

l1

X

m1= l1

l2

X

m2= l2

hl₁; l₂;m₂; m₁jJ; Mi '_k1;l1;m1 '_k2;l2;m2 soit

MJ ( 1; 2) =X

m1

X

m2

hl1; l2;m2; m1jJ; MiY_l^m₁ ¹( 1)Y_l^m₂²( 2) qui peut s’écrire aussi

Y_l^m₁ ¹( 1)Y_l^m₂²( 2) =

jX1+j2

J=jl1 l2j

XJ M= J

hl1; l2;m2; m1jJ; Mi ^MJ ( 1; 2)

En applicantJz sur ^M_J on trouve

~ i

@

@'₁ + @

@'₂

M

J ( 1; '₁; 2; '₂) =M~: ^M_J ( 1; '₁; 2; '₂) et en appliquant J on trouve

8<

:

e ^i'1h

@

@ 1 +icot 1 @

@'₁

i + +e ^i'2h

@

@ 2 +icot 2 @

@'₂

i 9=

;

M

J ( ₁; '₁; ₂; '₂) =

=p

J(J+ 1) M(M 1) ^M_J ( ₁; '₁; ₂; '₂)

Introduisons la fonction F_l^m( ) = ^M=m_J=l ( 1= ; 2= ), il vient d’aprés ce qui précède que

L_zF_l^m( ) = m~:F_l^m( )

!L²F_l^m( ) = l(l+ 1):F_l^m( )

on en déduit F_l^m( ) = (l):Y_l^m( ; ') et puisque Y_l⁰( = 0; ') = q

2l+1 4 , il en résulte que

(l) = s

(2l₁+ 1) (2l₂+ 1)

4 (2l+ 1) hl₁; l₂; 0;0jl;0i

On déduit de ce qui précède la relation de composition des harmoniques sphériques:

Y_l^m₁¹( 1)Y_l^m₂²( 2) =

jX1+j2

l=jl1 l2j

Xl m= l

s

(2l1+ 1) (2l2+ 1) 4 (2l+ 1) :

:hl1; l2; 0;0jl;0i:hl1; l2;m1; m2jl; mi:Y_l^m( ) qui peut s’inverser comme

Y_l^m( ) =

j1

X

m1= j1

j2

X

m2= j2

"s

(2l1+ 1) (2l2+ 1)

4 (2l+ 1) hl1; l2; 0;0jl;0i

# ¹ : :hl₁; l₂;m₁; m₂jl; mi:Y_l^m1

1 ( ₁)Y_l^m2

2 ( ₂)

Comme le coe¢ cient C-G hl₁; l₂; 0;0jl;0i 6= 0 uniquement pour l₁+l₂ l pair, le produitY_l^m₁¹( ₁)Y_l^m₂²( ₂)ne se décompose que sur les harmoniques sphériques d’ordres

l=l₁+l₂ ; l₁+l₂ 2 ; l₁+l₂ 4 ; :::; jl₁ l₂j

On peut reproduire ce procédé pour une composition de trois moments cinétiques en composant d’abord les deux premiers puis en composant le résultat obtenu avec le troisième. De même pour un nombre encore plus grand de composition.

5 Opérateur vectoriel, scalaire.

5.1 Opérateur scalaire.

Une rotation d’un angle le long d’un axe Oudé…ni par son vecteur unitaire !u peut être représentée par un opérateur de rotationR!u( ) tel que :

R!u( ) =e ^{i~!J :!u}

Pour une rotation in…nitésimale d , cet opérateur s’écrit R!u (d ) = 1 i

~d !J :!u

Si on fait subir une rotation au système mesuré ainsi qu’au sytème de mesure, l’observable Adevient

R⁺A⁰R=A

oùA⁰ est l’observable après rotation etR⁺est l’opérateur adjoint deRau sens des opérateurs hermitiques.

On dira que l’opérateurAest unopérateur scalairesi il vér……e A⁰ =A

cela implique que

h A;!

Ji

= 0

Une observable scalairecommute avec les trois composantes du moment ciné- tique total.

5.2 Opérateur vectoriel.

Une observable !V est vectorielle si ses composantes V_x; V_y et V_z véri…ent les relations de commutations suivantes :

[J_x; V_x] = 0 [Jx; Vy] = i~Vz

[J_x; V_z] = i~V_y

Il résulte de ces relations que le moment cinétique !J est un opérateur vectoriel.

5.3 Théorême de Wigner-Eckart pour les opérateurs vecto- riels.

En introduisant les opérateurs V+; V ; J+et J dé…nis par V = V_x iV_y

J = J_x iJ_y qui entraînent les relations de commutation

[Jx; V ] = ~V z [J_y; V ] = i~V_z [Jz; V ] = ~V

On en déduit les relations de commutation entre J et V suivantes [J ; V ] = 0

[J ; V ] = 2~V_z Ces relations entraînent que

Jz(V jk; j; mi) = (m 1)~V jk; j; mi

qui nous indique l’allure des matrices relatives à l’opérateur !V, en e¤et, la matrice associée àVzsera diagonale, celles associées àV n’ont d’éléments non nuls qu’immédiatement au-dessus ou au-dessous de la diagonale principale.

De plus, on peut ainsi calculer hk; j; j+ 1jV₊jk; j; ji

hk; j; j+ 1jJ+jk; j; ji = hk; j; j+ 2jV₊jk; j; j+ 1i hk; j; j+ 2jJ+jk; j; j+ 1i =:::

= hk; j; m+ 1jV+jk; j; mi hk; j; m+ 1jJ+jk; j; mi =:::

= hk; j; jjV+jk; j; j 1i hk; j; jjJ₊jk; j; j 1i

que l’on peut écrire sous la forme générale valable pourV₊ etV suivante : hk; j; mjV jk; j; m⁰i= (k; j)hk; j; mjJ jk; j; m⁰i

Pour une composante quelconque, de !V, on peut écrire : hk; j; mj!V jk; j; m⁰i= (k; j)hk; j; mj!J jk; j; m⁰i

On appelle projecteurl’opérateur renvoyant la projection orthogonale d’un ket sur l’espace associé (i.e. les composantes d’un ket sur une base). SoitP(k; j)le pro- jecteur sur le sous-espaceE(k; j), on peut alors écrire la dé…nition de cet opérateur projecteur sur le sous-espaceE(k; j):

P(k; j) = Xj m= j

jk; j; mi hk; j; mj

Si on applique cet opérateur à n’importe quel ketj iappartenant au sous-espace E(k; j), on constate qu’il nous revoie bien les composantes de ce ket décomposé sur la basejk; j; mi, soit

j i_E(k;j) = P(k; j)j i

= Xj m= j

jk; j; mi hk; j; mj i

On énonce alors un cas particulier du théorême de Wigner-Eckart

P(k; j)!V P(k; j) = (k; j)P(k; j)!J P(k; j) qui est une relation entre opérateurs dont seuls !V et!J sont vectoriels.

On énonce le théorême de projection à l’intérieur de sous-espace E(k; j) comme :

!V =

D!J :!VE D!J²E k;j

k;j

!J =

D!J :!VE

k;j

j(j+ 1)~²

!J

Pour calculer le coe¢ cient de proportionalité entre l’opérateur vectoriel!V et un autre opérateur vectoriel notéW!, on devra poser

W!= D!

J :! WE D!J²E k;j

k;j

!J

qui donnera alors

!V =

D!J :!VE D!J :W!Ek;j

k;j

W!