Mécanique du point matériel
Attraction gravitationnelle
Mécanique du point matériel
But du chapitre :
Les 3 lois de Kepler (Noblet) Chute d’un obus
Diffusion Rutherford
Quelques exemples de forces centrales dans
« la vie de tous les jours »
Lancement d’Ariane V
Chapitre basé sur les lois de conservation (conservation de l’énergie mécanique, conservation du moment cinétique)
Mécanique du point matériel
I - Rappels : interactions gravitationnelle et coulombienne
1 - La force gravitationnelle :
On considère une masse M immobile en O et un point matériel P(m) mobile. La force gravitationnelle subie par le point P est :
P(m)
O(M) y
z
u r
rur
r G mM
fr r
− 2 r = OP =
r
d r u
rr G mM
f r r
−
2=
Elle dérive de l’énergie potentielle Ep telle que :
r p
u dr f r dE r
−
= r
E
p= − GmM
soit
Par convention, on choisit une énergie potentielle nulle à l’infini.
0 2
2 1
Em
r G mM
mv − =
Mécanique du point matériel
0 0
2
4 1 2
1
Em
r
mv + qQ =
πε
2 - La force coulombienne :
On considère une charge Q immobile en O et un point matériel P(m,q) mobile. La force coulombienne subie par le point P est :
ur
r fr qQ r
2
4 0
1
= πε
Ainsi, les résultats obtenus avec la force gravitationnelle peuvent être transposés pour la force coulombienne en faisant l’analogie formelle suivante :
mM qQ
G ⇔
−
⇔ ;
4 1 πε0
r P
P u
dr f dE
r et
E qQ r r
−
=
= 4 0
1 πε
L’énergie potentielle coulombienne est alors :
Mécanique du point matériel
II - Forces centrales conservatives :
On considère un point matériel M(m) soumis à une force centrale, c’est-à-dire passant constamment par un point fixe O du référentiel d’étude, choisi ici comme origine du référentiel.
M(m)
O y
z
u r
ru r
r f
fr r
) (
r = OM =
x
u
rr f
f r r
) (
=
Si f(r) > 0, la force est répulsive.
Si f(r) < 0, la force est attractive.
Elle dérive de l’énergie potentielle EP telle que :
( ) d E
pf r = − d r
Exemple : interaction moléculaire
Mécanique du point matériel
III - Lois générales de conservation :
Conservation du moment cinétique par rapport au centre de forces O :
Moment cinétique par rapport au centre de forces O :
v m u
r v m
OM
rO
r r
r
r = ∧ = ∧
σ
Théorème du moment cinétique :
0 )
(
r r r r
r
=
∧
=
∧
=
r rO
OM f r u f r u
dt d σ
Par conséquent :
σ r
O= cste = σ r
0Le moment cinétique par rapport au centre de forces d’un point matériel soumis à une force centrale est une constante du mouvement.
Mécanique du point matériel
Le mouvement de la particule est nécessairement plan :
0 0
0 ( 0)
) 0
(t r OM et v t v
rr r r r
=
=
=
=
=
Les conditions initiales du mouvement sont, par exemple, à t = 0 :
La trajectoire du point matériel est donc plane (dans le plan défini par les conditions initiales Le moment cinétique par rapport à O, constante du mouvement, peut être évalué à
l’instant initial et vaut alors :
0 0
0 r m v
O
r r
r
r = σ = ∧
σ
Ce vecteur est perpendiculaire à la fois aux deux vecteurs .
A l’instant t, : par conséquent, les vecteurs , perpendiculaires à , sont finalement contenus dans le plan défini par .
0 0 et v rr r v
m rr r
r0 = ∧
σ rr et vr σr0
0 0 et v rr r
0 0 et v rr r
Mécanique du point matériel
O
M0
M
Trajectoire
Plan de la trajectoire
v r
0r r
0v r r r
σ v
0σ v
0Mécanique du point matériel
On se place dans le plan de la trajectoire et on y définit les coordonnées polaires de M :
x y
O
M
θ θ θ θ
x y
urr
r
urx
ur y
urθ
θ +
θ u r u
r v
u r r
r
r
& r
& r r
r r
+
=
=
Le moment cinétique en O vaut alors :
v m
O
OM
r r
r = σ
0= ∧
σ
2
0
mr u
zσ r = θ & r
D’où la 1ère relation de conservation :
cste r
m = C =
θ
=σ
2 &0
0 (C0 est appelée constante des aires)
Mécanique du point matériel
La loi des aires :
x y
O
M
θθθ θ urr
r
urθ
θ θ r d rd
r
dA
22 ) 1 )(
2 (
1 =
=
L’aire balayée dA par le rayon vecteur OM entre les instants t et t+dt vaut :
La loi des aires (simulation Java)
dr r +
dθθθθ
rd θ
Aire dA
La vitesse aréolaire, dA/dt, vaut :
θ
2θ
&2
2 1 2
1 r
dt r d
dt
dA = =
Par conséquent : C cste
dt
dA = 0 = 2
1
Loi des aires : le rayon vecteur OM issu du centre de forces O balaye des aires égales pendant des intervalles de temps égaux.
Mécanique du point matériel
Conservation de l’énergie mécanique
L’énergie mécanique du point matériel M est :
0 ,
2 ( )
2 1
m p
m mv E r E
E = r + =
C’est une constante du mouvement (la force centrale est conservative).
En utilisant les coordonnées polaires :
P P
r
m
m r u r u E m r mr E
E
,0= +
2+ =
2+
2 2+
2 1 2
) 1 2 (
1 & r θ & r
θ& θ &
On peut éliminer en remarquant que . L’expression de l’énergie mécanique devient alors :
θ & θ & = σ
0/ mr
2Mécanique du point matériel
+ +
=
Pm
E
r mr m
E
22 2 0
0
,
2 2
1 σ
&
P
m
E
mr mr
r m
E +
+
=
2 2 2 0
2 0
,
2
1 2
1 σ
&
Energie cinétique radiale
EP,eff : énergie potentielle efficace (ou effective)
P eff
P
E
mr
E = +
2 2 0
,
2
σ
( est le terme centrifuge)2 2 0
2mr σ
Cette énergie correspond à l’énergie mécanique d’un point matériel de masse m, se déplaçant sur une droite et soumis à une énergie potentielle efficace (ou effective) :
Mécanique du point matériel
L’énergie cinétique radiale étant nécessairement positive ou nulle, on peut en déduire les limites du mouvement de M (voir cours sur l’énergie) :
Limites du mouvement :
2 0 1
, 0
,
2 = Em − EP eff ≥ r
m&
0 , ,eff
( )
mP
r E
E ≤
Pour Em,0,1 : Pour Em,0,2 :
r
1r ≥
3
2
r r
r ≤ ≤
r1r2 r3
r Ep,eff
Em,0,1
Em,0,2 Etats de diffusion
Etats liés
Applications : interactions gravitationnelle et coulombienne (calculer Ep,eff).
Mécanique du point matériel
IV - Les formules de Binet :
But : obtenir le rayon vecteur r en tant que fonction de l’angle θθθθ (et non plus du temps t), afin de déterminer l’équation polaire r(θθθθ) de la trajectoire plane.
1ère formule de Binet (pour la vitesse) :
θ
σ0 = mr2 &
Le vecteur vitesse s’exprime : v r urr rθ& urθ
&
r = +
Le moment cinétique est constant :
r mr m
r r
r d
d m d
dr d mr
dr dt
d d
dr dt
r dr
1
1
0 2
0
0 2
0
σ θ σ
θ σ
θ σ
θ θ θ
θ
=
=
−
=
=
=
=
=
&
&
&
Mécanique du point matériel
En reportant dans l’expression du vecteur vitesse :
D’où la 1ère formule de Binet : (pour le vecteur vitesse) θ
σ θ
σ u
r u m
r d
d
vr m0 1 rr 0 1 r
+
−
=
+
−
= θ
θ
σ u
u r r d
d
vr m0 1 rr 1 r
2ème formule de Binet (pour l‘accélération) : On calcule l’accélération en remarquant que :
θ θ σ
θ d
v d dt mr
d d
v d dt
v a d
r r
r r
2
= 0
=
=
Mécanique du point matériel
Or :
+
−
=
=
−
+
−
−
=
r r
r r
r u r u
d d r
d m v d dt mr
v d
r u r u
d u d
r d
u d d r
d m
d v d
r r r
r
r r
r r r
1 1
1 1
1 1
2 2 2
2 2 0 2
0
2 2 0
θ σ
θ σ
θ θ θ
σ
θ θ θ
D’où la 2nde formule de Binet :
ur
r d r
d r
ar m r
+
−
= 1 1
2 2 2
2 2 0
θ σ
Mécanique du point matériel
V - Trajectoires dans un champ de force gravitationnel :
Nature de la trajectoire :
Rappel des notations :
x y
O (M)
P (m)
θ θ θ θ urr
r
urθ
u
rr
f r GmM r
−
2=
On souhaite déterminer
l’équation de la trajectoire en coordonnées polaires, soit r(θθθθ).
Mécanique du point matériel
Equation différentielle du mouvement :
ur
r f GmM
dt v
m d r r r
− 2
=
=
Le PFD, appliqué à la masse P(m) dans le référentiel (supposé galiléen lié à la masse M) donne :
Soit, en utilisant la 2nde formule de Binet :
r
r u
r u GmM r
d r d r
m m a
mr r r
2 2
2 2
2 2
0 1 1
−
=
+
−
= θ
σ
En projection sur la direction radiale :
2 2
2 2
2 2
0 1 1
r GM r
d r d r
m
=
+
θ σ
Mécanique du point matériel
D’où l’équation différentielle du mouvement :
2 0
2 2
2 1 1
σ θ
GMm r
d r
d + =
Dans la suite, on pose u = 1/r ; l’équation vérifiée par la variable u(θθθθ) devient celle d’un oscillateur harmonique, de pulsation égale à l’unité :
2 0
2 2
2
σ θ
u GMm d
u
d + =
La solution générale de cette équation différentielle est de la forme :
2 0
2
) cos(
) (
α σ θ
θ A GMm
u = − +
Où A et αααα sont des constantes d’intégration.
Résolution de l’équation différentielle du mouvement :
Mécanique du point matériel
) cos(
) 1 cos(
) 1 (
2 2 0
2 2 0
2 0
2
α σ θ
σ
α σ θ θ
− +
= +
−
=
GMm A
GMm A GMm
r
De l’expression de u, on déduit celle de r(θ(θ(θ(θ) :
Soit :
2 2 0
2 2 0
) cos(
) 1 (
GMm e A
GMm p
e r p
σ σ
α θ θ
=
=
−
= +
C’est l’équation d’une conique, d’excentricité e, de paramètre p et dont l’axe focal fait un angle αααα avec l’axe polaire (Ox).
Dans la suite, on confondra l’axe focal de la conique avec l’axe polaire (α=α=α=α=0) :
θ θ
cos ) 1
( e
r p
= +
Mécanique du point matériel
Si e = 0 : la trajectoire est un cercle Si 0 < e < 1 : la trajectoire est une ellipse
Si e = 1 : la trajectoire est une parabole Si e > 1 : la trajectoire est une hyperbole
Représentations graphiques des différents types de trajectoires :
On retrouve les différents types de trajectoires obtenus de manière qualitative à partir d’une étude énergétique (utilisant l’énergie potentielle effective)
Mécanique du point matériel
Mécanique du point matériel
Energie mécanique et excentricité
Le signe de l’énergie mécanique conditionne la nature de la trajectoire ; on va exprimer Em en fonction de l’excentricité de la conique :
2 2 2 0
2 2 1
r mr r GmM
m
Em σ
+
−
= &
2 2
2 0 2
2 2 0 2
2 2
2 0 2
2 0 2
2 1 (1/ ) ( )
=
=
=
=
=
θ σ
θ σ
θ σ
θ θ σ
θ d
u d d m
r d
d m dr r
d m dr dt mr
d d
r& dr
L’énergie mécanique s’exprime ainsi en fonction de u et de sa dérivée première :
2 2 0 2 2
0
2
2 u
GmMu m d
du
Em m σ
θ
σ − +
=
Mécanique du point matériel
Or : θ
θ θ θ
θ ( ) sin
) cos 1
1 ( )
( p
e d
et du p e
u = + = −
L’énergie mécanique étant constante, on peut l’évaluer pour θ = π/θ = π/θ = π/θ = π/2, alors :
p e d
et du
u = p ) = −
(2 ) 1
( 2 π
θ π
Et :
GmM p p
p e E m
m p GmM p
p e E m
m m
1 1
2
1 2
1 2
2 2
2 2
0
2 2 0 2 2
0
−
+
=
+
−
−
= σ
σ σ
Or , d’où , et finalement : 2
2 0
GMm p σ
= 2
2 0 2
0 1 1
1
m p p
mp
GmM p σ σ
=
=
Mécanique du point matériel
Soit, finalement :
) 1 (
2 1
1 2
2 2 2 0 2
2 0 2
2 2 2
0 − = −
+
= e
mp m p
p p
e
Em
σ
mσ σ
p e e GmM
mp
Em 1
) 2 1 (
2
2 2
2 2
0 −
=
−
=
σ
Le signe de l’énergie mécanique est lié à la valeur de l’excentricité e :
* Em > 0 (soit e > 1) : hyperbole
* Em = 0 (soit e = 1) : parabole
* Em < 0 (soit 0 < e < 1) : ellipse
* (e = 0) : cerclep Em GmM
− 2
=
Mécanique du point matériel
VI - Planètes du système solaire, les lois de Kepler :
On étudie le mouvement des planètes du système solaire, dans le référentiel de Copernic.
On suppose qu’une planète du système solaire n’est soumise qu’à la seule interaction gravitationnelle du Soleil.
1ère loi de Kepler : les trajectoires des planètes du système solaire sont des ellipses dont un des foyers est le Soleil (excentricité e < 1 et énergie mécanique négative).
Mécanique du point matériel
Quelques rappels mathématiques sur les coniques :
a est la longueur du demi-grand axe de l’ellipse et b celle du demi-petit axe.
) 2 )
( cos (
1 r p
e SP p
r = =
= +
= π
θ θ
O S
P (m)
Ap Pé
a b
c
rAp rPé
x y
r θθθθ a
2 1
2 2
2
= +
b y a
x
S est un des deux foyers de l’ellipse ; on note c = OS, où O est le centre de l’ellipse (origine du repère (Oxy)) :
ea c
et c
b
a 2 = 2 + 2 =
Mécanique du point matériel
Quelques rappels mathématiques sur les coniques :
Les rayons de l’apogée et du périgée vérifient :
) 0 1 (
) 1 (
+ =
=
=
− =
=
=
θ π θ
e SPé p
r
e SAp p
r
Pé Ap
O S
P (m)
Ap Pé
a b
c
rAp rPé
x y
r θθθθ a
En ces deux points, la vitesse radiale est nulle.
Relation entre a, p et e :
Pé Ap r r
a = +
2 2
1 e a p
−
d’où =
Relation entre b, p et e : b 2 = a 2 − c 2 = (1 − e2 )a 2
1 e2
b p
−
d’où =
Relation entre a,b et p : p a
b =
2
Mécanique du point matériel
2ème loi de Kepler : le rayon vecteur issu du Soleil balaye des aires égales pendant des intervalles de temps égaux (loi des aires).
3ème loi de Kepler : les carrés des périodes de révolution des planètes autour du Soleil sont proportionnels au cubes des longueurs des grands axes des ellipses trajectoires.
2 2
2
1 2 0 C0
m dt
r d dt
dA = θ = σ =
σσ
σσ0 étant le moment cinétique par rapport au Soleil, m la masse de la planète et C0 la constante des aires.
3 2
2 4
GM a T
S
= π
où MS est la masse du Soleil.
Mécanique du point matériel
Démonstration de la 3ème loi de Kepler :
m T
ab T
ellipse l
de aire dt
dA
2
' π σ0
=
=
=
Or : , par conséquent : 2
2 2 0
m p GM
et ap
b
S
= σ
=
) 4 (
4
2 2 2
2 0 2 2
2 2 2
0 2 2
0
ap m a
b m a
T et
m ab
T π
σ π
σ
σ π = =
=
Soit : 3
2 2
3 2 2 2
2 2
0 2
2 1 4
4 ) 4 (
GM a m
GM a
m ap
m a T
S S
π π π
σ = =
=
3 2
2 4
GM a T
S
= π Le coefficient de proportionnalité ne dépend que du centre attracteur, et non de la planète considérée.
Mécanique du point matériel
Energie d’une planète :
Pour une trajectoire elliptique :
1 e2
a p
−
=
L’énergie d’une planète vaut :
a GmM p
GmM e
Em S S 1
2 1
2
2 0
, − = −
=
L’énergie de la planète ne dépend que de la longueur du demi-grand axe, et non de l’excentricité de l’ellipse trajectoire :
a Em GmMS 1
0 2
, = −
Mécanique du point matériel
Cas d’un mouvement circulaire :
Pour une trajectoire circulaire :
0 , 0
, 0
,
1 ; 2 ;
2
P m c mS
m
E E E E
R
E = − GmM = = −
GMS
R
T 2
3
2 4
π
=
Les expressions de la 3ème loi de Kepler et de l’énergie mécanique sont identiques à celles obtenues dans la cas d’un mouvement elliptique, à condition de remplacer la longueur a du demi grand axe par le rayon R de la trajectoire.
R v = GMS
Mécanique du point matériel
Rôle des autres planètes :
Au milieu du XIXème siècle, on constata que l’orbite d’Uranus ne correspondait pas la théorie : l’astronome Le Verrier postula l’existence d’une nouvelle planète (Neptune) qui devait perturber l’orbite d’Uranus.
L’existence de Neptune fut mise en évidence expérimentalement en 1846.
En 1930, la même méthode a conduit Lowell à la découverte de Pluton qui troublait la trajectoire de Neptune.
Mercure – Vénus – Terre – Mars – Jupiter – Saturne – Uranus – Neptune - Pluton
Précession de Mercure
Perturbation en 1/r4
Le problème à 3 corps
Mécanique du point matériel
VII - Trajectoires dans un champ de force coulombien :
Animation Java : Diffusion Rutherford Exercice (Mouvements d'une charge ponctuelle) :
Une charge ponctuelle Q est placée en O.
Une charge ponctuelle q est lancée en un point A avec une vitesse v0 perpendiculaire à OA.
On pose OA = r0.
Discuter, selon les valeurs de r0, v0, q et Q les différentes trajectoires possibles de la charge q.
