Cours de mécanique du Point Matériel

Université Sultane Moulay Slimane Faculté Polydisciplinaire

Béni Méllal

FILIÈRE :SMP/SMC/SMA

MODULE : M1/M1/M4

Cours de mécanique du Point Matériel

Préparé par Mohamed LAMSAADI

Année universitaire 2012-2016

Avant Propos

La mécanique du point est l'étude cinématique ou dynamique du mouvement des points matériels. La cinématique permet d'étudier les relations entre les paramètres du mouvement (position, vitesse, accélération, etc.), alors que la dynamique permet de prédire l'évolution de ces paramètres en connaissant les causes du mouvement. Celles-ci peuvent être les interactions de contact comme le frottement et la poussée, ou à distance comme l'attraction gravitationnelle et les interactions électromagnétiques. Toutes ces interactions sont modélisées par un objet physique unique: la force. Ainsi, en connaissant la force subie par le point matériel à tout moment, il est possible de prédire le mouvement.

Pour cela il est nécessaire de définir un référentiel, c'est-à-dire un repère de l'espace et une référence pour le temps (une horloge). Un point matériel est alors la donnée de quatre paramètres : trois coordonnées (x,y,z) permettant de le repérer dans l'espace, et une masse m. En pratique, cet objet représente soit un objet de petite taille (particule, petite bille, etc.), soit un objet de grande taille pour lequel on néglige les effets dus à cette taille, comme la rotation sur lui-même. Dans tous les cas, on appelle cet objet le mobile. On s'intéresse alors uniquement au mouvement du centre d'inertie ou barycentre de ce mobile.

Il est intéressant d'étudier un tel mouvement dans les cas statique et dynamique. D'une part, un point matériel est immobile dans un référentiel ℜ si sa vitesse est nulle dans ℜ. D'autre part, si la somme des forces s'exerçant sur le mobile est nulle, celui-ci a un mouvement rectiligne uniforme. Si ce n'est pas le cas, il existe une accélération qui entraîne une modification de la vitesse. Ceci est étudié en détails dans le chapitre de la dynamique du point. Dans ces deux cas, on peut résumer les principales caractéristiques du comportement de tels mobiles par les lois du mouvement de Newton. Celles-ci montrent par exemple que dans le vide, tous les objets en chute libre présentent le même mouvement (ceci devient faux lorsque intervient le frottement de l'air).

La mécanique du point, malgré son apparente simplicité, permet d'établir des comportements généraux importants comme le mouvement à force centrale, la mécanique du solide, la mécanique des fluides et la mécanique des milieux continus.

Ce polycopié représente un support de cours de mécanique du point matériel. Il est destiné aux étudiants du premier semestre des filières SMP, SMC et SMA. On souhaite que les étudiants trouveront dans ce support un bon outil de travail qui leur permettra de combler les éventuelles lacunes qui peuvent avoir lieu lors de la prise des notes pendant l’explication du cours ou des travaux dirigés par leurs enseignants.

Ce polycopié n’est qu’un complément de cours. Il ne pourra, en aucune façon, dispenser l’étudiant de sa présence en cours.

Sommaire

Chapitre I : Rappels et Compléments Mathématiques 6

I. Notion de vecteurs 6

I. 1. Définition 6

I. 2. Vecteur lié 6

I. 3. Vecteur glissant 6

I. 4. Vecteur libre 6

II. Repérage d’un point matériel dans l’espace et dans le temps 6

II.1. Repérage de l’espace du temps 6

II.2. Repérage de l’espace des positions 6

II.3. Notion de base d’un repère d’espace 7

II.4. Représentation d’un vecteur 7

II.4.1. Dans le plan 7

II.4.2. Dans l’espace 7

III. Opérations sur les vecteurs 8

III.1. Addition 8

III.2. Multiplication d’un vecteur par un scalaire 8

III.3. Produit scalaire 8

III.4. Produit vectoriel 8

III.5. Double produit vectoriel 9

III.6. Produit mixte 9

IV. Fonction vectorielle 9

IV.1. Cas d’une fonction à une seule variable 9

IV.1.1. Définition 9

IV.1.2. Dérivée totale par rapport à une variable 10

IV.1.3. Propriétés de la dérivée 10

IV.1.4. Différentielle totale 10

IV.2. Cas d’une fonction à plusieurs variables 10

IV.2.1. Dérivée partielle par rapport à une seule variable 11

IV.2.2. Différentielle totale 11

V. Equations différentielles 11

V.1. Equations différentielles du 1^er ordre 11

V.2. Quelques types d’équations différentielles du 1^er ordre 11 V.2.1. Equations différentielles à variables séparées (ou séparables) 11

V.2.2. Equations différentielles homogènes 11

V.2.3. Equations différentielles linéaires 12

V.3. Equations différentielles du 2^ème ordre 12

V.3.1. Procédures de résolution 12

V.3.2. Recherche de la solution générale de l’équation sans second membre 12 V.3.3. Recherche d’une solution particulière de l’équation avec second membre 13

VI. Système de coordonnées 14

VI.1. Système de coordonnées cartésiennes 14

VI.2. Système de coordonnées cylindriques 14

VI.3. Système de coordonnées sphériques 15

VII. Vecteur déplacement élémentaire 16

VIII. Eléments de surface et de volume 16

IX. Opérateurs mathématiques 17

IX.1. Opérateur gradient 17

IX.2. Opérateur divergence 17

IX.3. Opérateur rotationnel 18

Chapitre II : Cinématique du Point Matériel 19

I. Définitions 19

I.1. Point matériel 19

I.2. Trajectoire 19

I.3. Dérivée temporelle d’un vecteur par rapport à un référentiel 19 I.4. Vecteur vitesse instantané d’un point matériel 20

I.5. Vecteur accélération instantané d’un point matériel 20 II. Composantes des vecteurs vitesse et accélération 20

II.1. Expressions en coordonnées cartésiennes 20

II.2. Expressions en coordonnées cylindriques 21

II.3. Expressions en coordonnées sphériques 21

II.4. Expressions en coordonnées curvilignes 22

III. Exemple de mouvements simples 23

III.1. Mouvement rectiligne 23

III.2. Mouvement circulaire 24

Chapitre III : Changement de référentiel 25

I. Vecteur rotation instantané 25

II. Composition des vitesses 26

III. Composition des accélérations 27

IV. Application : 28

Chapitre IV : Dynamique du Point Matériel 31

I. Masse et quantité de mouvement 31

II. Lois de Newton 31

II.1. 1^ère loi de Newton : Principe d’inertie 31

II.1.1 Particule isolée 31

II.1.2. Enoncé de la 1^ère loi de Newton 31

II.1.3. Référentiel galiléen 31

II.1.4. Référentiel non galiléen 31

II.2. 2^ème loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique (PFD) 31

II.2.1. Enoncé de la 1^ère loi de Newton 31

II.2.2. Conséquences 32

II.3. 3^ème loi de Newton : Principe de l’action et de réaction 32

II.4. Principe de l’invariance galiléenne 32

II.5. Transformation de Galilée 33

III. Classification des forces 33

III.1. Forces réelles (ou extérieures) 33

III.1.1. Force à distance 33

III.1.2. Force de contact 33

III.2. Forces d’inertie 34

IV. Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen 35

V. Equilibre d’un point matériel 35

VI. Application du principe fondamental de la dynamique 35

VI.1. Pendule conique 35

VI.2. Pendule simple 36

VI.3. Ressort horizontal 38

VI.4. Calcul du poids 38

Chapitre V : Théorèmes Généraux de la Dynamique du Point Matériel 41

I. Théorème de la quantité de mouvement 41

II. Théorème du moment cinétique 41

II. 1. Moment d’une force 41

II.1.1. Moment d’une force par rapport à un point 41

II.1.2. Moment d’une force par rapport à un axe 41

II. 2. Moment cinétique 42

II.2.1. Moment cinétique par rapport à un point 42

II.2.2. Moment cinétique par rapport à un axe 42

II. 3. Théorème du moment cinétique 42

II. 3.1 Théorème du moment cinétique par rapport à un point 42

II. 3.2 Théorème du moment cinétique par rapport à un axe 43

II. 4. Application du théorème du moment cinétique 44

III. Théorème de l’énergie cinétique 44

III.1. Travail d’une force 44

III.2. Puissance d’une force 45

III.3. Energie cinétique 45

III.4. Théorème de l’énergie cinétique 45

IV. Théorème de l’énergie mécanique 46

IV.1. Energie potentielle 46

IV.1.1. Définition 46

IV.1.2. Relation liant l’énergie potentielle et le travail d’une force 46

IV.1.3. Energie potentielle d’un point M en chute libre 47

IV.1.4. Energie potentielle d’une charge placée dans un champ électrostatique 47 IV.1.5. Energie potentielle dérivée par la force de rappel d’un ressort 48

IV.2. Energie mécanique 48

IV.3. Conservation de l’énergie mécanique 48

IV.4. Théorème de l’énergie mécanique 49

V. Stabilité et conditions de stabilité d’un équilibre 50

V.1. Equilibre 50

V.2. Stabilité d’un équilibre 50

V.3. Relations exprimant la stabilité d’un équilibre à partir de la force appliquée 50 V.4. Relations exprimant la stabilité d’un équilibre à partir de l’énergie 51

Chapitre VI : Applications 52

I. Oscillateurs harmoniques 52

II. Mouvement à forces centrales 55

Chapitre I Rappels et Compléments Mathématiques

Dans ce chapitre on donne quelques outils mathématiques nécessaires au développement des calculs lors de l’étude du mouvement d’un point matériel.

I. Notion de vecteurs I. 1. Définition

Le vecteur est une grandeur qu’on ne peut caractériser que par les quatre propriétés suivantes :

- module (intensité, norme) - support (direction)

- sens

- origine et extrémité

On distingue trois types de vecteurs : Exemples:

ABest un vecteur d’origine A et d’extrémité B, de sens de A vers B, son support est la droite (AB) et de module AB = AB, distance entre A et B.

I. 2. Vecteur lié

Un vecteur lié est un vecteur dont le support et le point d’application sont fixes. Ce vecteur n’a qu’une représentation possible.

Exemples : Vecteur vitesse, forces appliquées à un point matériel.

I. 3. Vecteur glissant

Un vecteur glissant est un vecteur caractérisé par son module, son sens et son support.

On peut glisser ce vecteur sur son support sans changer son effet physique.

I. 4. Vecteur libre

Un vecteur libre est un vecteur dont le support et le point d’application ne sont pas fixes. Il existe alors une infinité de point de configuration de ce vecteur dans l’espace. Toutes ces représentations vectorielles sont équipollentes à ce vecteur.

Remarques :

- Toutes les grandeurs vectorielles dépendent de repères d’observation (exemples : vitesse, accélération…).

- Les grandeurs scalaires ne dépendent pas des repères d’observation (exemple : masse, température…).

II. Repérage d’un point matériel dans l’espace et dans le temps

La connaissance du mouvement d’un point matériel revient à la connaissance de sa position en fonction du temps.

II.1. Repérage de l’espace du temps

Il est indiqué par une horloge et dont l’unité de mesure du temps est la seconde (s).

II.2. Repérage de l’espace des positions

Il est défini par un repère et un système de coordonnées.

Un repère d’espace ou trièdre est un ensemble de trois axes non coplanaires (n’appartiennent pas au même plan) (Ox), (Oy) et (Oz). Le point O est appelé origine du repère noté ℜ(O, x, y,z). Si les axes (Ox), (Oy) et (Oz) sont perpendiculaires (normaux) deux à deux ((Ox)⊥(Oy), (Ox)⊥(Oz) et (Oy)⊥(Oz)), le repère ℜ est dit trirectangle. Si les axes (Ox), (Oy) et (Oz) obéissent à la règle du tire-bouchon, le repère ℜ est dit trirectangle direct.

Règle du tire-bouchon :

Le tire-bouchon se déplace dans le sens des z >0, quand l’axe (Ox) est amené à se déplacer vers l’axe (Oy).

A

B

Remarque : l’ensemble d’un repère d’espace et d’un repère du temps constitue un référentiel.

II.3. Notion de base d’un repère d’espace

Sur chaque axe du repère ℜ(O, x, y,z), on définit un vecteur unitaire (de module égale à 1) indiquant l’orientation de l’axe.

Soient ir , jr

et kr

des vecteurs unitaires portés, respectivement, par les axes (Ox), (Oy) et (Oz). Donc le système (ir,jr,kr

) forme une base orthonormée directe du repère ℜ(O, x, y,z).

Dans tout ce qui suit on s’intéressera aux bases orthonormées directes, c'est-à-dire les vecteurs de cette base sont orthogonaux entre eux, unitaires et forment un trièdre direct.

Remarque :

Tout vecteur v^r de l’espace vectoriel s’exprime d’une manière unique dans une base. Si (i^r,j^r,k^r) est une base, alors v^r =v₁i^r +v₂j^r +v₃k^r, v₁, v₂ et v₃ sont les composantes de v^r, respectivement suivant i^r, j^r et k^r.

II.4. Représentation d’un vecteur II.4.1. Dans le plan

Soit (xoy) un plan muni de la base (i^r,j^r) et soit M un point appartenant à ce plan.

M_x :Projection orthogonale de M sur l’axe (Ox).

M_y :Projection orthogonale de M sur l’axe (Oy).

OM OM_x OM_y OM_xir OM_yjr +

= +

=

OM_x = x, OM_y = y

( )

_i,j

j , i

y y x

j x y i x

OM ^{r r}

r r

r

r  =



 



= +

=

x et y sont les composantes de M. On écrit donc M(x,y).

II.4.2. Dans l’espace

Soit ℜ(O, x, y,z)un repère muni de la base orthonormée directe (ir,rj,kr

) et soit M un point de l’espace.

H : Projection orthogonale de M sur le plan (xOy) (MH)//(Oz) , (MH) ⊥ (xOy)

z y

x OM OM

OM HM OH

OM = + = + +

( )

_i,j,k

k , j , i

z y x z

y x k z j y i x

OM ^{r r r}

r r r

r r

r =

















= + +

=

x, y, z sont les coordonnées de M dans la base (ir,jr,kr

). Donc on écrit M(x,y,z).

(

^ir,jr,kr

)

: trièdre direct

(

^ir,jr,kr

)

: trièdre indirect

y

x M_y M

M_x O ir

jr

x

y

M

H M_X

M_Z

MY

x O y

ir

kr

jr z

III. Opérations sur les vecteurs Soient ur u ir u jr u kr

3 2

1 + +

= , vr v ir v jr v kr

3 2

1 + +

= et wv w ir w jr w kr

3 2

1 + +

= trois vecteurs

quelconques de l’espace exprimés dans la base orthonormée directe (ir,jr,kr ).

III.1. Addition

(

^{u v}

) (

^{i u v}

)

^j

(

^{u v}

)

^k

v

ur r r r r

3 3 2

2 1

1 + + + + +

= +

III.2. Multiplication d’un vecteur par un scalaire k

u j u i u

ur r r r

3 2

1 λ λ

λ

λ = + +

III.3. Produit scalaire Le produit scalaire de ur

et vr

est le scalaire défini par :

3 3 2 2 1

1v u v u v u

v

ur• r = + +

2 3 2 2 2 1

2 u 2 u u u

u u

ur• r = r = r = + + Le module du vecteur ur

sera défini par : ur = u₁² +u₂² +u₃² Le produit scalaire de ur

et vr

peut être défini par :



 



= 

•v u v cos u^∧,v ur r r r r r

L’angle formé entre les vecteurs ur et vr

est donné par :

















+ + +

+

+

= +











 •

 =







 ^∧

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1

v v v u u u

v u v u v cos u

v Ar u

v cos u Ar v ,

u r r

r r r

r

Remarques : - Si ur

et vr

sont non nuls : ur

⊥vr

⇔ ur

•vr = 0.

- Si ur

•vr

= 0 ⇒ r 0r

=

u ou r 0r

=

v ou ur

⊥vr . - ur•ir =

(

u1ir+u2jr +u3kr

)(

1ir+0jr+0kr

)

=u1

, ur• jr =

(

u1ir+u2jr+u3kr

)(

0ir +1jr+0kr

)

= u2

(

u1i u2j u3k

)(

0i 0j 1k

)

u3

k

ur• r = r + r + r r + r + r = - Si Ar A ir A jr A kr

3 2

1 + +

= un vecteur non nul, on peut lui faire associer un vecteur unitaire Br

défini par :

2 3 2 2 2 1

3 2 1

A A A

k A j A i A A B A

+ +

+

= +

=

r r r r

r r

- Le produit scalaire est invariant par tout changement de base. C'est-à-dire si ur et vr sont exprimés dans deux bases différentes (ir,jr,kr

) et (ir′, jr′,kr′ ) : k

u j u i u k u j u i u

ur = r+ r+ r = ′r′+ ′ r′+ ′ r′

3 2 1 3 2

1 , vr =v ir +v jr +v kr =v′ir′+v′ jr′+v′kr′

3 2 1 3 2 1

on aura ur•vr =u₁v₁ +u₂v₂ +u₃v₃ =u₁′v₁′ +u₂′v₂′ +u₃′v₃′

. Alors on dit que le produit scalaire constitue une propriété qui décrit la conservation de la longueur dans l’espace.

- Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs quelconques, il faut exprimer ces deux vecteurs dans la même base.

III.4. Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs ur et vr

est le vecteur noté ur vr

∧ et caractérisé par :

- son module : 







= 

∧v u v sin u^∧,v

ur r r r r r

- sa direction est perpendiculaire au plan formé à la base de ur et vr

(ur vr

∧ ⊥ur ,ur vr

∧ ⊥vr ) - son sens est tel que le trièdre (ur

, vr

, ur vr

∧ ) est direct.

Ce produit vectoriel peut être exprimé par :

(

^{u v u v}

) (

^{i u v u v}

)

^j

(

^{uv u v}

)

^k

v u

v u

v u v u

k , j , 3 i 2

r r

r r r

r r r

1 2 2 1 1

3 3 1 2

3 3 2 3

2

1 1

− +

−

−

−

=

∧

=

∧

Propriétés :

- ur vr vr ur

∧

−

=

∧ (anti commutatif)

-

(

^{ur +vr}

)

^{∧wr = ur∧wr +vr∧wr}

- ^{λur∧vr = ur∧λvr = λ}

(

^ur∧vr

)

- ^ur ∧

(

^vr∧^wr

) (

≠ ^ur∧^vr

)

∧^wr(non associatif) Remarques :

- u^r ∧v^r est l’aire du parallélogramme formé par ur

et v^r : - Si ur

et v^r sont non nuls : ur

//v^r ⇔ r r 0r

=

∧v u - Si r r 0r

=

∧v

u ⇒ r 0r

=

u ou r 0r

=

v ou ur //v^r. - Pour la base (i^r,j^r,k^r), on a :

= 0

•

=

•

=

• j i k j k

i^{r r r r r r} , i^r ∧ j^r = k^r, j^r ∧k^r = i^r, k^r∧i^r = j^r et i^r = j^r = k^r =1 Exemple :

( ) (

ⁱ

)

^j

( )

^{k k}

j

i

k , j , i

r r r

r r

r

r r r

=

×

−

× +

×

−

×

−

×

−

×

=

∧

=

∧ 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0

0 0

1 0

0 1

III.5. Double produit vectoriel

Le double produit vectoriel des vecteurs ur

, v^r et w^r est un vecteur défini par :

(

^{v w}

) (

^{u w}

) (

^{v u v}

)

^w

u^r∧ ^r ∧ ^r = ^r• ^{r r}− ^r• ^{r r} et appartenant au plan

(

^vr,wr

)

^.

III.6. Produit mixte

Le produit mixte des trois vecteurs ur

, v^r et w^r, dans cet ordre, est un scalaire noté

(

^ur,vr,wr

)

et défini par :

(

^ur,vr,wr

)

=^ur•

(

^vr∧^wr

)

Toute permutation circulaire des vecteurs ur

→v^r→w^r laisse invariant le produit mixte c'est-à-dire

(

^ur,vr,wr

) (

^{= vr,wr,ur}

) (

^{= wr,ur,vr}

)

^.

(

^ur,vr,wr

)

^{= ur•}

(

^{vr ∧wr}

)

est le volume du parallélépipède formé par ur

, v^r et w^r :

IV. Fonction vectorielle

IV.1. Cas d’une fonction à une seule variable IV.1.1. Définition

A chaque variable x, on fait associer un vecteur ur

, alors on définit une fonction vectorielle u^r

( )

x c'est-à-dire x→u^r

( )

x

Dans une base orthonormée directe (i^r,^rj,k^r),u^r

( )

x est défini par les trois composantes qui dépendent de x : ^ur

( )

^x = ^u₁

( )

^{x ir}+^u₂

( )

^{x jr} +^u₃

( )

^{x kr}

ur

v^r v u^r∧ ^r

ur

w^r

v^r

IV.1.2. Dérivée totale par rapport à une variable Soit ur

une fonction vectorielle qui dépend d’une variable donnée, par exemple le temps t, tel que u^r

( )

t =OM

( )

t , O étant un point fixe et M un point matériel décrivant une trajectoire (C) quand le temps varie.

À l’instant t +∆t le point M occupe la position M’ c'est-à-dire

(

t t

)

u

(

t t

)

OM OM +∆ = ^r + ∆ = ′

La dérivée de ^ur

( )

^t par rapport à t est un vecteur défini par :

( ) ( ) ( )

t t u t t lim u dt

t u d

t ∆

∆

∆

r r

r = + −

→0

On a ur

(

t + t

)

−ur

( )

t = OM′−OM = MM′

∆ , donc

( )

dt OM d t M lim M dt

t u d

t ′ =

= ^∆ →⁰ ∆ r

Si ∆t tend ver 0, M’ est très proche de M et le vecteur MM′ sera tangent en M à la courbe (C) et par conséquent le vecteur

( )

dt t u dr

deviendra tangent en M à cette courbe.

Remarque :

La dérivée

( )

dt t u dr

n’a de sens que dans un référentiel. Alors on écrit

( )

ℜ / dt

t u dr

, lorsqu’on dérive ur

dans ℜ, tout en gardant les vecteurs de la base de ℜcomme des constantes.

IV.1.3. Propriétés de la dérivée

- r 0r

r =

→ ℜ ℜ

= dt /

u / d

cte u

-

( ) ( )

u

( )

t

/ dt

t u cte d

t

u r r

r ⊥

→ ℜ

≠

= 0

-

[ ( ) ( ) ] ( ) ( )

+ ℜ

= ℜ ℜ +

/ dt

t v d /

dt t u d /

dt t v t u

d r r r r

-

[ ( ) ( ) ] ( ) ( )

+ ℜ

= ℜ ℜ +

/ dt

t v d /

dt t u d /

dt

t v t u

d r r r r

β β α

α (α et β sont des constantes)

-

[ ( ) ( ) ] _{( )} ( ) ( ) ( )

dt t t f / u

dt t u t d / f

dt t u t f

d r r r

ℜ +

ℜ = ^(f

( )

^t est une fonction scalaire) -

[ ( ) ( ) ] _{( )} ( ) ( ) ( )

+ ℜ

= ℜ

ℜ dt /

t v t d / u

dt t u t d / v

dt t v t u

d r

r r r r

r

-

[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )

∧ ℜ + ℜ ∧

ℜ =

∧

/ dt

t v t d u t / v

dt t u d /

dt t v t u

d r

r r r

r r

IV.1.4. Différentielle totale

La différentielle totale d’une fonction vectorielle à une seule variable t, ^ur

( )

^{t est}

exprimée par :

( ) ( ) ( )

dt

/ t t u u dt t u t u

d ∂ ℜ

= ∂

− +

=

r r r

r

(dans le cas d’une fonction vectorielle à une seule variable on a

ℜ

∂

= ∂ ℜ t /

u /

dt u

dr r

)

IV.2. Cas d’une fonction à plusieurs variables

Les fonctions vectorielles à n variables peuvent être considérées comme les données de p fonctions scalaires de n variables :

(

^{x ,x ,...,x}

)

^f

(

^{f (x ,x ,...,x ),f (x ,x ,...,x ),...,f (x ,x ,...,x )}

)

fr _{1 2 n} r _{1 1 2 n 2 1 2 n p 1 2 n}

=

M

O

ir

kr

jr M′

(C)

IV.2.1. Dérivée partielle par rapport à une seule variable La dérivée partielle de fr

par rapport à une variable x_j est la dérivée par rapport à cette variable tout en considérant les autres variables (x_i,i ≠ j) comme des constantes. Elle est notée :

j ix cte j i

x f

≠=







∂

∂r

IV.2.2. Différentielle totale

La différentielle totale d’une fonction vectorielle à n variables, fr

(

x₁,x₂,...,x_n

)

est exprimée par :

n n i ct n x ix cte

ix cte

x dx ... f x dx

dx f x

f f d

i i

i ≠=

≠=

≠= 





∂ + ∂

 +







∂ + ∂







∂

= ∂

r r

r r

2 2 2

1 1 1

Exemple :

Soit fr

(

x,y,z

)

une fonction vectorielle à trois variables définie par :

(

x,y,z

)

x i yj xzk

fr r r r

+ +

= ² .

z dz dy f y

dx f x

f f d

ct y , x cte

z , x cte

z ,

y = =  =





∂ + ∂







∂ + ∂







∂

= ∂

r r

r r

On a xi zk x

fr r r

+

∂ =

∂ 2 , j

y fr r

∂ =

∂ , xk

z fr r

∂ =

∂ alors ^dfr =2^xdxir+^dyrj +

(

^zdx +^xdz

)

^kr

V. Equations différentielles

V.1. Equations différentielles du 1^er ordre

Une équation différentielle du premier ordre est une relation sous la forme :

= 0



 





dt ) t ( ),dx t ( x , t f avec x une fonction de t.

Exemple : +3x −t² =0 dt

dx

La résolution de cette équation revient à exprimer x en fonction de t en tenant compte des conditions imposées (conditions initiales).

V.2. Quelques types d’équations différentielles du 1^er ordre V.2.1. Equations différentielles à variables séparées (ou séparables)

Si  =0



 





dt ) t ( ),dx t ( x , t

f peut se mettre sous la forme

( )

( )

^x

g t h dt

dx = où h(t) est une fonction uniquement de t et g(x) une fonction uniquement de x, on dit que l’on a une équation différentielle à variables séparées.

( ) ( )

^g

( )

^{xdx h}

( )

^{tdt h}

( )

^{t dt g}

( )

^{xdx H}

( )

^{t G}

( )

^{x C}

x g

t h dt

dx = → = →

∫

=

∫

⇒ = +

H et G sont respectivement les fonctions primitives de h et g.

Exemple :

(

t

)

C

x ln t ln

dt x dx t

x dt

dx t

x dt

dx = + +

⇒ −

= +

→ − +

= −

→ + =

− − 1

1 1 1

1 1

0 1 1

1

Si x(t = 0)=0, on aura C = 0 et on obtient x t

± +

= 1

1 1

V.2.2. Equations différentielles homogènes

Si  =0



 





dt ) t ( ),dx t ( x , t

f peut s’écrire sous la forme 



 



=  t h x dt

dx , alors cette équation est dite homogène.

Exemple :

( )

2

2 2

1 0

t x

t x dt

x dx dt t

txdx



 

 +

=

→

= +

−

Si on pose t

u = x , on trouve

dt tdu dt u

dx = + et

u u dt

dx = 1+ ² ⇒

u dt t du u

u dt

t du

u 1 ² 1

= + →

= +

→ udu

t

dt = ⇒ u ln

( )

t C + 2 =

2

⇒ ^{x2 = u2t2 =}

(

^2ln

( )

^{t +C}

)

^{t2 ⇒} x = t 2ln

( )

t +C V.2.3. Equations différentielles linéaires

Une équation différentielle est dite linéaire s’elle est sous la forme :

( )

t g

( )

t dt xf

dx + = .

Exemple :

On détermine la fonction x(t) pour que t² t x dt

dx − = avec x(1) = 1. Pour déterminer x(t), on procède de la manière suivante :

- On résout l’équation sans second membre c'est-à-dire − = 0 t x dt

dx .

Cette équation est une équation à variables séparées et sa solution générale est Ct

x(t) = (C est une constante à déterminer).

- On remplace la constante C par la fonction C(t) dans l’équation avec second membre.

(méthode de la variation de la constante)

( )

_{C C t dC tdt C t k}

dt t dC t t

Ct dt

Ct t d

t x dt

dx − = ² → − = ² → + − = ² → = → = ² +

2

1 (k est

une constante).

- La solution générale est donc x

( )

t = t³ +kt 2

1

- La condition initiale impose 2

= 1 k

- La solution unique est x

( )

t t t 2 1 2 1 ₃

+

=

V.3. Equations différentielles du 2^ème ordre

Une équation différentielle du deuxième ordre est une relation sous la forme

2 0

2

=













dt ) t ( x ,d dt

) t ( ),dx t ( x , t

f avec x une fonction de t.

Le cas particulier de telle équation s’écrit sous la forme suivante :

( )

t f dt bx

) t ( adx dt

) t ( x

d +2 + =

2 2

(a et b sont des constantes par rapport au temps t).

V.3.1. Procédures de résolution

La détermination de la solution x(t) se fait en deux étapes :

- On cherche la solution générale xg(t) de l’équation sans second membre :

( )

t x dt bx

) t ( adx dt

) t ( x d

⇒ g

= +

+2 0

2 2

- On cherche une solution particulière xp(t) de l’équation avec second membre.

La solution x(t) est alors la somme des deux solutions x(t)= x_g(t)+ x_p(t) V.3.2. Recherche de la solution générale de l’équation sans second membre

L’équation caractéristique de telle équation s’écrit r² +2ar +b = 0. Selon le signe du discriminant réduit ∆′= a² −b trois cas peuvent se présenter :

- Cas où a² > b

( )

^{t C exp}

( )

^{r t C exp}

( )

^{r t}

x b a a

r_1,,2 = − ± ² − ⇒ _g = _{1 1} + _{2 2} (c₁ et c₂ sont des constantes) - Cas où a² < b

( ) ( ) [ ( ) ( ) ]

(

at

) [

Asin

( )

t Bcos

( )

t

]

exp

t i exp k t i exp k at exp t

x b a i a

r _{,, g}

ω ω

ω ω

+

−

=

− +

−

=

⇒

−

±

−

= ² _{1 2}

2 1

2

2 1, b a

i = − ω = − , A et B étant des constantes.

- Cas où a² = b

( )

t Cexp

(

at

)

x a r

r₁ = ₂ = − ⇒ = − ne peut pas être une solution générale parce qu’elle ne dépend que d’un seul paramètre arbitraire C (l’équation est de 2^ème ordre). On cherche alors à satisfaire l’équation sans second membre avec une fonction de la forme ^x

( )

^t =^C

( )

^{t exp}

(

−^at

)

.

Donc la solution générale de l’équation sans second membre dans le cas où b

a² = (∆′=0) est de la forme : x_g

( )

t =exp

(

−at

)(

At +B

)

(A et B étant des constantes).

V.3.3. Recherche d’une solution particulière de l’équation avec second membre

Remarquant que l’on peut mettre la solution générale de l’équation sans second membre x_g(t) sous la forme x(t) = C₁x₁ +C₂x₂ où x₁ et x₂ sont deux solutions linéairement indépendantes de l’équation sans second membre et C1 et C2 des constantes arbitraires.

Pour trouver des solutions particulières, on utilise la méthode de la variation des constantes qui consiste à considérer C₁ et C₂ comme des fonctions de t qu’il faut déterminer.

Dérivons x(t) =C₁x₁ +C₂x₂ par rapport au temps : x C x C x C x C (t)

x′ = _{1 1}′ + _{2 2}′ + ₁′ ₁ + ₂′ ₂

Choisissant C₁ et C₂ de manière que soit satisfaite l’égalité C₁′x₁+C₂′x₂ =0. Ceci étant, la dérivée première x′ devientx′(t) =C₁x₁′ +C₂x₂′ . Dérivons maintenant cette expression, on trouve:

x C x C x C x C (t)

x′′ = _{1 1}′′ + _{2 2}′′ + ₁′ ₁′ + ₂′ ₂′ .

Substituons x, x′ te x′′ dans l’équation avec second membre, on obtient :

(

x ax bx

)

C

(

x ax bx

)

C x C x f

( )

t

C_{1 1}′′ +2 ₁′ + ₁ + _{2 2}′′ +2 ₂′ + ₂ + ₁′ ₁′ + ₂′ ₂′ =

x₁ et x₂ sont des solutions de l’équation homogène, alors cette dernière égalité s’écrit :

( )

^t

f x C x

C₁′ ₁′ + ₂′ ₂′ =

Ainsi, x(t) = C₁x₁ +C₂x₂ est une solution de l’équation avec second membre pourvu que les fonctions C1 et C2 satisfassent aux équations :

=0 + ′

′x C x

C_{1 1 2 2} et C₁′x₁′ +C₂′x₂′ = f

( )

t .

En résolvant ce système, on trouve C’₁ et C’₂ comme fonction de t :

( )

^t

g

C₁′ = ₁ , ^C₂′ = ^g₂

( )

^t

On trouve en intégrant :

( )

₁

1

1 g tdt k

C =

∫

+ ^{, C2 =}

∫

^g2

^{( )}

^{tdt + k2}

où k1 et k2 sont des constantes d’intégration.

En substituant ces deux dernières expressions dans x(t) = C₁x₁+C₂x₂ , on trouve une intégrale dépendant de deux constantes arbitraires k1 et k2 c'est-à-dire la solution générale de l’équation avec second membre.

Exemple :

On cherche la solution générale de l’équation t t x x′ =

−

′′

L’équation homogène ′ =0

−

′′ t

x x admet comme solution générale x = C₁t² +C₂

Pour trouver une solution particulière on considère C1 et C2 comme des fonctions de t satisfaisant le système suivant :

=0 + ′

′x C x

C_{1 1 2 2} et C₁′x₁′ +C₂′x₂′ =t qui admet comme solutions :

2 1

1′ =

C et ₂ ²

2 1t C′ = − et par intégration :

1 1 2t k

C = + et ₂ ³ ₂

6 1t k

C = − +

Substituant ces deux expressions dans l’équation x =C₁t² +C₂, on obtient la solution générale de l’équation de t

t x x′ =

′′− sous la forme :

3 2 1 2

3 1t k t

k

x = + + (k1 et k2 sont des constantes arbitraires)

VI. Système de coordonnées

Selon la nature de la trajectoire d’un point matériel, sa position peut être repérée par l’un des systèmes de coordonnées : cartésiennes ou cylindriques ou sphériques.

Soient ℜ(O,x,y,z) un repère muni d’une base orthonormée directe (ir,jr,kr

), M un point à repérer, N la projection de M sur le plan (xOy) et z sa projection sur l’axe (Oz).

VI.1. Système de coordonnées cartésiennes

Les variables x, y et z définissent d’une manière unique la position de M par rapport à ℜ tel que −∞ ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞ et −∞ ≤ z ≤ +∞. Elles sont appelées les coordonnées de M dans le repère cartésien ℜ(O,x,y,z).

OM xir yjr zkr + +

= est le vecteur position de M dans ℜ.

Le système

(

^ir,rj,kr

)

constitue la base cartésienne.

VI.2. Système de coordonnées cylindriques

Le point M de coordonnées x, y et z peut aussi être repéré d’une manière unique par les variables ρ, ϕ et z définies par :

= ON

ρ , 



 



= Ox^∧,ON

ϕ et z = NM tel que ρ ≥ 0, 0 ≤ϕ ≤ 2π et −∞ ≤ z ≤ +∞.

(

^x,y,z

)

^M

(

^{, ,z}

)

M ↔ ρ ϕ

Les variables ρ, ϕ et z représentent les coordonnées cylindriques du point M.

Aux coordonnées ρ, ϕ et z on fait associer la base orthonormée directe

(

er ,er ,erz

)

ϕ

ρ appelée base cylindrique tel que :

ON er_ρ = ON

vecteur unitaire porté par ON.

erϕ

vecteur unitaire perpendiculaire à er_ρ

et appartenant au plan (xOy) (er_ρ et er_ϕ

∈ (xOy)).

erz

vecteur unitaire parallèle à l’axe (Oz) (er_z kr

= ).

Remarques :

- Quand ρ varie, ϕ et z sont constantes alors M décrit une droite parallèle à (ON).

M

N x

O y

ir

kr

jr z

M

N

x

O y

erρ

erz

erϕ

z

erϕ

erρ

ϕ erz

- Quand ϕ varie, ρ et z sont constantes alors M décrit un cercle de rayon ρ et dont le centre appartenant à l’axe (Oz).

- Quand z varie, ϕ et ρ sont constantes alors M décrit une droite parallèle à (Oz).

- Quand M se déplace dans l’espace, er_ρ et er_ϕ

changent, donc la base

(

er ,er ,erz

)

ϕ

ρ est

une base mobile.

- Le système de coordonnées cylindriques est utilisé dans le cas des problèmes ayant des axes de symétrie.

- Un vecteur quelconque peut s’exprimer dans la base

(

er ,er ,erz

)

ϕ

ρ de la manière suivante :

z ze v e v e v

vr r r r

+ +

= _{ρ ρ ϕ ϕ} avec v_ρ, v_ϕ et v_z les coordonnées cylindriques de vr . Relation entre les coordonnées cartésiennes et cylindriques :

Les vecteurs ir , jr

, er_ρ et er_ϕ

appartiennent au même plan (xOy).

er cos

( )

ir sin

( )

rj ϕ

ρ = ϕ +

^er_ϕ = −^sin

( )

ϕ ^ir+^cos

( )

ϕ ^jr er_z kr

=

Le vecteur position de M est exprimé par :

( )

i sin

( )

j zk xi yj zk cos

e z e NM ON

OM r r_z r r r r r r

+ +

= + +

= +

= +

= ρ _ρ ρ ϕ ρ ϕ

Donc la relation entre les coordonnées cartésiennes et cylindriques est :

( )

ϕ ρcos

x = et y = ρsin

( )

ϕ Cas particulier : Coordonnées polaires

Si z est contant (M se déplace dans un plan), la position de M est repérée uniquement par ρ et ϕ. Donc dans ce cas, ces deux coordonnées sont appelées les coordonnées polaires de M.

(

erρ,erϕ

)

: base polaire ρ = OM : rayon polaire 







= ir^∧,OM

ϕ : angle polaire ^OM = ρ^cos

( )

ϕ ^ir+ ρ^sin

( )

ϕ ^jr = ^xir +^yrj VI.3. Système de coordonnées sphériques

Le point M de coordonnées x, y et z ou ρ, ϕ et z peut aussi être repéré d’une manière unique par les variables r, θ et

ϕ définies par : r = OM , 



 



=Oz^∧,OM

θ et 



 



= Ox^∧,ON

ϕ

tel que r ≥0, 0≤θ ≤π et 0 ≤ϕ ≤ 2π.

(

x,y,z

)

M

(

r,θ,ϕ

)

M ↔

Les variables r, θ et ϕ représentent les coordonnées sphériques du point M.

Aux coordonnées r, θ et ϕ on fait associer la base orthonormée directe

(

^er^,e_θ ^,e_ϕ

)

r r

r appelée base sphérique tel que :

OM M er_r = O

vecteur unitaire porté par OM.

erθ

vecteur unitaire perpendiculaire à er_r

et appartenant au plan (kr

,OM).

ir

jr

erρ

erϕ

erz

kr

•

ϕ ϕ

ir j

r

erρ

erϕ

y

x ϕ

ϕ

M ρ

M

N erθ

err

erϕ

erϕ

erρ

ϕ kr

x

y O

z

θ r ρ

ir

jr