du point matériel

Mécanique du point matériel

Cinématique

du point matériel

Mécanique du point matériel

1 - Objet de la cinématique : décrire les mouvements des corps sans chercher à les interpréter.

Point matériel : particule « suffisamment petite » pour pouvoir être assimilée à un point repérable par un ensemble de trois coordonnées.

2 - Référentiel : un référentiel est un corps solide (c’est-à-dire indéformable), par rapport auquel on se place pour étudier le mouvement d’un point matériel.

Relativité du mouvement

3 - Repère : un repère est un système d’un point et de trois axes permettant de repérer un point matériel.

* Repère cartésien (Oxyz)

Mécanique du point matériel

4 - Systèmes de coordonnées :

* a - Coordonnées cartésiennes

est appelé rayon vecteur de M.

est une BOND :

Trajectoire M

O

x

y z

x

y z

z y

x

y u z u

u x

r r r r r

+ +

=

u r

u r

u r

r r

P

) ,

,

( u r

u r

u r

x z

y z

y

x

u u u u u

u r r r r r r

=

∧

=

∧ ;

y x

z

u u

u r r r

=

∧

Mécanique du point matériel

Systèmes de coordonnées :

* b - Coordonnées polaires (mouvements plans uniquement) r et θ θ θ θ sont les coordonnées polaires de M.

x = r cos(θθθθ) ; y = r sin(θθθθ)

est directement perpendiculaire à

x y

O

M

θ θθ θ

x y

u r

r

u

r r

OM r r

=

=

[ ^π ]

θ ∈ 0 , 2

u r

u r

u r

y x

r u u

ur r r

) sin(

)

cos(θ + θ

=

y

x u

u

ur r r

) cos(

)

sin( θ θ

θ = − +

u r

u r

+

Mécanique du point matériel

Systèmes de coordonnées :

* c - Coordonnées cylindriques : (ρ,θρ,θρ,θρ,θ,,,,z) sont les coordonnées cylindriques de M

x = ρρρρ ^cos(θθθθ) ; y = ρρρρ ^sin(θθθθ⁾

Avec :

x

y z

z

M

θθ θθ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ ur urz

urθ vr

O

Trajectoire de M

u

z u

r

OM r r r

+

=

= ρ

[ ^π ]

θ ∈ ^{0 , 2}

H

P

PM OP

r

OM = r = +

Mécanique du point matériel

5 - Le temps : le temps est une notion absolue, c’est-à-dire indépendante du référentiel d’étude : ainsi, deux observateurs liés à des référentiels différents attribuent les mêmes dates aux mêmes événements.

En mécanique relativiste (Einstein, 1905), le temps perd son caractère absolu (phénomène de dilatation des durées) :

t₀ : durée de vie propre de la particule (au repos) v : vitesse de la particule dans le laboratoire

c : vitesse de la lumière dans le vide

t : durée de vie observée par un observateur lié au laboratoire

0 2 2

1

1 t

c v t

−

=

Mécanique du point matériel

6 - Trajectoire :

L’ensemble des positions occupées par un mobile en fonction du temps est une courbe appelée trajectoire.

est l’abscisse curviligne de M.

La fonction s = s(t) est appelée équation horaire du mouvement

A (origine qq) M(t)

Trajectoire orientée

AM

s =

Mécanique du point matériel

7 - Vitesse associée à un mouvement :

Quelques propriétés des fonctions vectorielles :

*

*

*

( )

dt t A t d t

dt A t t d

A dt t

d ( )

) ( )

) ( ) (

( ) (

r r r

λ λ

λ = +

( )

dt t B t d

A t

dt B t A t d

B t dt A

d ( )

).

( )

( ) . ) (

( ).

(

r r r r

r r

+

=

( )

dt t B t d

A t

dt B t A t d

B t

dt A

d ( )

) ( )

) ( ) (

( )

(

r r r r

r r

∧ +

∧

=

∧

Mécanique du point matériel

Vecteur vitesse :

La figure précise les notations :

est le rayon vecteur du point M.

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et est dirigé dans le sens du mouvement (d’après la définition même)

dt r d dt

OM d

t

OM OM

t v MM

t t

r r

=

∆ =

= −

= ∆

→

∆

→

∆

lim ' lim '

0 0

OM rr =

Trajectoire M(t)

M’(t+∆∆∆∆t)

x O y

z

Mécanique du point matériel

Coordonnées du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes :

Les vecteurs sont indépendants du temps, donc :

Coordonnées du vecteur vitesse en coordonnées polaires :

z y

x u et u

ur r r ,

z y

x z

y

x

u x u y u z u

dt u dz

dt u dy

dt

v dx r

&

& r

& r r

r r

r = + + = + +

θ u

r u

r

v r

& r

&

r = +

Vitesse radiale

Vitesse orthoradiale

r r

dt u u d

dt u u d

& r r

& r r

θ θ

θ

θ

−

=

=

Mécanique du point matériel

Coordonnées du vecteur vitesse en coordonnées cylindriques :

u

z u

u

v r

&

& r

& r

r = ρ

+ ρ θ

+

x

y z

z

M

θθθ θ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ ur urz

urθ vr

O

Trajectoire de M

θ ρ

θ ρ

θ θ

u d

dt u u d

& r r

& r r

−

=

=

Mécanique du point matériel

8 - Vecteur accélération :

Le vecteur accélération caractérise le rythme de variation du vecteur vitesse.

En coordonnées cartésiennes :

2 2 2

2

dt r d dt

OM d

dt v a d

r r r

=

=

=

z y

x z

y

x

u x u y u z u

dt z u d

dt y u d

dt x

a d r

&

&

& r

&

& r

&

r r

r

r = + + = + +

2 2 2

2 2

2

Mécanique du point matériel

En coordonnées polaires et cylindriques :

θ

θ

θ u r r u

r r

a r & & & r

& & & & r

) 2 (

)

( −

+ +

=

Accélération orthoradiale Accélération

radiale

u

z u

u

a r

&

&

& r

&

&

&

& r

&

&

r = ( ρ − ρ θ

)

+ ( ρ θ + 2 ρ θ )

+

Mécanique du point matériel

9 - Mouvements rectilignes :

La trajectoire est une portion de droite : vecteur vitesse et vecteur accélération sont portés par cette droite, souvent choisie comme axe (Ox) par exemple.

Vecteurs vitesse et accélération dans le même sens : mouvement accéléré Vecteurs vitesse et accélération en sens contraire : mouvement retardé

Vecteur accélération constant : mouvement uniformément varié (exemple : chute libre où , étant l’accélération de la pesanteur (g = 9,8 m.s^-2)

Exemple : mouvement rectiligne sinusoïdal (x = x_m cos(ωωωωt + ϕϕϕϕ₎₎

x_m : amplitude du mouvement ; ωωωω : pulsation du mouvement (ωωωω = 2ππππ/T=2ππππf, avec T la période et f=1/T la fréquence du mouvement) et ϕϕϕϕ est la phase.

g ar r

= gr

Mécanique du point matériel

10 - Mouvements de rotation :

r = OM = R = cste

θ est fonction du temps ; on note la vitesse angulaire de M.

Le mouvement est dit uniforme si : ω

ω ω

ω = cste

Mouvement uniforme :

(accélération centripète uniquement)

x

y z

O

R θ

θθ

θ M

u r

v r

θ θ

ω = = ^&

dt d

θ uθ

R

vr & r

=

θ

θ ω

θ

θ u R u

R u v

R u

R

a _{r r} r

&

r

& r

&

& r

r = − + = − +

2 2

ur

R ar v² r

−

=

u r

Mécanique du point matériel

11 - Mouvement hélicoïdal:

Exercice (hélice circulaire) : dans un référentiel ℜℜℜ(Oxyz), un point M décrit une hélice circulaire ℜ dont l’équation en coordonnées cylindriques est :

x = R cos θθθθ ; y = R sin θθθθ ; z = hθθθθ

où R et h sont des constantes. On suppose la vitesse angulaire constante. A l’instant t = 0 le point M est en A de coordonnées cylindriques (R, 0, 0).

a) Calculer dans ℜℜℜℜ les composantes du vecteur vitesse. Donner sa norme. Montrer que la vitesse fait un angle constant a avec l’axe Oz.

b) Calculer les composantes du vecteur accélération.

c) Evaluer la distance parcourue sur l’hélice à l’instant t.

Mécanique du point matériel

12 - Mouvement cycloïdal

Une roue de rayon r et de centre C roule sans glisser sur l’axe (Ox) en restant dans le plan (Ozx). Le repère cartésien (O; ex, ez ) est lié à ℜℜℜℜ le référentiel d’étude. Soit M un point lié à la roue, situé sur la circonférence. A l’instant t = 0, M est confondu avec l’origine O. La vitesse de C est constante et est égale à v.

Mécanique du point matériel

a) Comment exprimer la condition : " la roue ne glisse pas " ? b) Déterminer en fonction de v, t et r à l’instant t :

* la position de M dans le repère (O; ex, ez )

* le vecteur vitesse v_M de M

* le vecteur accélération a_M de M, sa norme et sa direction

c) Déterminer v_M et a_M lorsque M est en contact avec l’axe (Ox).

Mécanique du point matériel

13 - Spirale exponentielle

Dans le plan (xOy) d’un repère, un point P de coordonnées polaires r et θθθθ décrit la spirale d’équation polaire r = a exp(ω ω ω ω t), avec ωωωωt = θθθθ _.

a) Définir en fonction de r et ωωωω les composantes polaires du vecteur vitesse . b) Définir en fonction de r et ωωωω les composantes polaires du vecteur accélération.

c) Montrer que l’angle αααα que fait le vecteur vitesse avec l’axe (Ox) est θθθθ + ππππ/4 .

d) Pour r = 2 exp( θ θ θ θ ) et ωωωω = 1 rad.s^-1, on trace la courbe ci-contre que vous recopierez ; on considère le point P d’abscisse 600 et d’ordonnée – 300. Placer sur la feuille de copie, les coordonnées r et θθθθ,,,, les vecteurs unitaires et . Déterminer les coordonnées cartésiennes du point N pour lequel et placer le point sur la courbe.^θ

ur urr

2 / 3π θ =