Mécanique du point matériel

Mécanique du point matériel

Oscillateurs mécaniques

A – Etude en régime libre

Mécanique du point matériel

1 - Un 1^er exemple simple : système {masse - ressort horizontal} :

* En l’absence de frottements : le PFD ou une étude énergétique conduisent à :

T r u r

l

x

M(m) + x = x + ₀²x = 0 m

x^& k ^&&

ω

&

k

T

π

ω

π

0

0 = =

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

) cos(

sin

cos

ω

ω

ω

ϕ

= A t B t C t

x

Mécanique du point matériel

Un 1er exemple simple : système {masse - ressort horizontal} :

* En présence de frottement fluide en : Le PFD s’écrit alors, en projection sur l’axe (Ox) :

v hmr

−

= 0 +

+

−

−

= x

m x k h x soit

x hm kx

x

m&& & && &

On pose : ⁰ _m^{k ; h 2 2 0} ω_Q⁰

σω λ

ω = = = =

σ σσ

σ est le facteur d’amortissement de l’oscillateur et Q le facteur de qualité.

Alors : + 2 + ₀² = + 2 ₀ + ₀² = + ⁰ x + ₀² x = 0 x Q

x x

x x x

x ω ω

ω σω

ω

λ^{& && & && &}

&

&

Différents régimes, selon les valeurs prises par σσσσ (ou Q = 1/2σσσσ) : régime pseudo-

Mécanique du point matériel

2 - Méthode de résolution de l’équation différentielle :

0 2

2 + ₀² = + ₀ + ₀² = + ⁰ + ₀² =

+ x x

x Q x

x x

x x

x ω ω

ω σω

ω

λ^{& && & && &}

&

&

On recherche des solutions de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique :

0

2 _{0 0}²

2 + σω ^r +ω = r

Dont le discriminant est :

) 1 (

4 ₀^{2 2} −

=

∆ ω σ

) ,

( :

1 0

) ,

( :

1 0

) ,

( :

1 0

0 2

1

2 1

ω σ

σ σ

−

=

=

=

∆

∈

>

>

∆

∈

−

<

<

∆

r unique racine

critique e

apériodiqu régime

soit

R r

r e apériodiqu régime

soit

C r

r périodique pseudo

régime soit

Mécanique du point matériel

ω ϕ σω

ω σω

ϕ ω

ω ω ω σω

σω σω

0 2

0 0

0 0

tan

; 1

) cos(

) (

) sin(

) cos(

) (

0 0

 =



 

 + 

=

−

=



 



 +

=

−

−

x C

t Ce

t x

t t

e x t

x

t t

Régime pseudo-périodique :

) (

) 1

( ₀ ²

pulsation Pseudo

avec

−

−

= ω σ

ω

) 1

(σ < (CI : x(0)=x₀ et vitesse initiale nulle)

Mécanique du point matériel

Régime apériodique : ⁽σ ^{> 1)} (CI : x(0)=x₀ et vitesse initiale nulle)

1

;

1 _{2 0 0} ²

2 0

0

1 = −σω + ω σ − r = −σω −ω σ −

r







 



 



 +

 +



 



 −

=



 



 +

=

−

=

− −

−

t t

t t

e e

x e t

x

t sh t

ch e

x t x

ω ω

σω σω

ω σω ω

σω ω ω ω σω

σ ω ω

0 0

0

0 0

2 0

1 2 1

) (

) ( )

( )

(

1

0 0

Mécanique du point matériel

Régime apériodique critique : ⁽σ ^{= 1)} (CI : x(0)=x₀ et vitesse initiale nulle)

e t

t x

t

x( ) = ₀ (1 +

ω

Mécanique du point matériel

3 - Autres exemples d’oscillateurs : Le ressort vertical

l

l

éq

+ x

= l l

O

x

x

A vide A l’équilibre En mouvement

T

r

T r

g m r

g m r u r

x éq

x éq

éq

k u T k x u

T r

l l

r r l

l r

) (

; )

( −

= − + −

−

=

Mécanique du point matériel

En l’absence de frottements :

En présence de frottements fluides :

k u mg

mg u

k T

g

m + _éq = 0 ; − ( _éq − ₀) _x + _x = 0 ; l_éq = l₀ + r r

l r l

r r r

x x

x

éq x u mg u mx u

k a

m T

g

m r

&

&

r l r

r l r r

= +

− +

−

=

+ ; ( ₀ )

A l’équilibre :

En mouvement :

En tenant compte de la relation obtenue à l’équilibre :

2

0 0 0

k k

x x x x Avec

m

ω

ω

+ = + =  = 

 

&& &&

Par un raisonnement similaire, on obtient :

x x

x x

éq x u mg u hm xu mx u

k a

m v

hm T

g

m r

&

&

& r r

l r r l

r r

r + − = ; − ( + − ₀ ) + − =

Mécanique du point matériel

Ressort sur un plan incliné :

T

r u r

g m r

N r

f r

v r

A

x

x

k où mg

d

u mg

u k

éq

x x

éq

α α : sin

'

0 sin

) (

0 0

+

=

= +

−

−

l l

r r l r

l

O

l

En présence d’une force de frottement fluide de la forme , l’équation

différentielle vérifiée par la variable x peut encore s’écrire sous la forme canonique :

v hmr

−

0 2

+

= +

+

= +

= +

+ x x

x Q x

x x

m x x k

h

x ω ω

ω

σω ^{& & & &}

&

&

&

&

&

α

Mécanique du point matériel

Oscillateurs couplés :

Enoncé du problème : (fichier au format pdf)

pdf

Mécanique du point matériel

Le pendule simple :

M (m)

T r l

θ ^{v θ u}

&

r l

=

O

z

u r

u r

u r

g m r

v hmr

−

En présence d’une force de frottement fluide :

0 sin

2

sin = + ₀ + ₀² =

+

+

θ θ θ σω θ ω θ

θ

l

&

&

& g

h

) (

sin

θ θ

θ

l mg hm

m = − −

Soit :

Si l’angle θθθθ reste « petit », alors on retrouve l’équation habituelle :

0 2 ₀ + ₀² = +

= +

+

θ θ θ σω θ ω θ

θ

l

&

&

& g

h

PFD sur :

u r

v hm

fr r

−

=

Mécanique du point matériel

Cet espace est le produit de l'espace ordinaire par l'espace des vitesses. En d'autres termes, un point matériel M est repéré dans cet espace par les coordonnées (x,y,z) de son vecteur position ainsi que par celles de son vecteur vitesse, notées (v_x,v_y,v_z).

On se limite aux cas où un point matériel M est animé, dans l'espace ordinaire, d'un mouvement à une dimension, le long de l'axe (Ox).

Dans l'espace des phases, le point représentatif de l'état de M se déplace alors dans une région à deux dimensions.

Ce point, de coordonnées (x,v), décrit lors du mouvement de M une courbe appelée

"courbe des phases". Cette "trajectoire" de M dans l'espace des phases a pour origine le point M₀(x₀,v₀) correspondant à l'état initial de M.

4 - Notion d’espace des phases :

Mécanique du point matériel

La position du point matériel est complètement déterminée par la donnée des conditions initiales et par la connaissance des équations du mouvement.

Comme l'évolution de la particule est univoque, deux trajectoires dans l'espace des phases ne peuvent pas se croiser. Si cela était possible, en prenant ce point d'intersection comme conditions initiales, on pourrait obtenir deux solutions distinctes des équations du mouvement, ce qui est interdit pour des raisons mathématiques.

Exemples de courbes des phases :

*** initialement en mouvement, M n'est soumis à aucune force.

*** initialement immobile, M est soumis à une force constante F.

*** initialement en mouvement, M est soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse : F = -hmv (a : constante positive).

Mécanique du point matériel

*** initialement immobile hors d'équilibre, M est soumis à une force de rappel proportionnelle à son élongation : F=-kx (k : constante positive).

La courbe des phases peut se retrouver en écrivant l’intégrale ^1ère du mouvement.

Quelle est l'équation de la courbe des phases dans le plan (x,v/ωωωω₀) ?

*** Déterminer, par la même loi de conservation, la courbe de phase pour un pendule simple (masse m et longueur L).

Quelle est l'équation de la courbe des phases dans le plan (θθθθ, ) ?

θ

ω

Mécanique du point matériel

5 - Portrait de phase d’un oscillateur :

Lecture de portrait de phase : on considère le portrait de phase d’un oscillateur harmonique amorti composé d’une masse m = 500 g soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur k) et à une force de frottement fluide ( étant la vitesse de la masse m et on note x l’écart à la position d’équilibre). L’étude est réalisée dans le référentiel galiléen du laboratoire.

a) Déterminer la nature du régime de l’oscillateur.

b) Déterminer, par lecture graphique :

* La valeur initiale de la position x₀.

* La valeur finale de la position x_f.

* La pseudo période T_a.

* Le décrément logarithmiqueδδδδ.

c) En déduire la pulsation propre ωωωω₀, le facteur de qualité Q de l’oscillateur, la raideur k du ressort et le coefficient de frottement fluide λ.λ.λ.λ.

(cm)

v vr r λ ,

−

Mécanique du point matériel

(cm)

Mécanique du point matériel

a) Régime pseudo-périodique : présence de frottements, la courbe de phase n’est pas fermée. Elle se termine en un point d’équilibre stable (ici le point O), appelé attracteur.

b) x₀ = 3 cm ; x_f = 0 cm (attracteur) ; T_a = 315 ms ;

c) Q = 5 ;

) ( )

( )

(

; 628 , 10 0

. 6 , 1

10 . ln 3

ln ⁰

2 2

1

0 x t T e x t e x t

x

x Ta

a

σω

δ ₋ ⁻δ ⁻

−

=

= +

 =











= 







= 

1 , 2 0

; 1 .

05 ,

20 ¹

0 = ⁻ = =

s Q

rad σ

ω

s Q Nm

m m

N m

k = ₀² = 201 . ⁻¹ ; = ω⁰ = 2 ⁻¹. λ

ω

Mécanique du point matériel

Portrait de phase d’un pendule simple :

Mécanique du point matériel

Trampoline :

On considère la modélisation d’un trampoline à l’aide de deux ressorts de longueur à vide l₀ et de raideur k. Un homme, assimilé à un point matériel M de masse m monte sur le trampoline qui s’enfonce ; son mouvement est vertical le long de l’axe (Ox).

Données : k = 3 300 N.m ⁻¹ ; l ₀ = 1 m ; m = 80 kg ; d = 5 m

Dans les deux premières questions, on suppose que l’homme reste en contact avec le trampoline : il est solidaire du trampoline.

a) Déterminer la distance d’enfoncement x_éq à l’équilibre lorsque l’homme monte sur le trampoline. En déduire l’allongement des ressorts.

b) L’oscillateur obtenu est-t-il harmonique ? O

A B

d

A B

x

M(m) ur^x ur^y

Mécanique du point matériel

a) Bilan des forces à l’équilibre : mg ur_x

Le poids : La tension du ressort de droite :

MB MB MB

k

T_d ( l ₀) r

−

=

2 2

; 2 )

2 /

( 



 

 + 

= +

−

= d

x MB

u d

u x

MB r_x r_y























 

 +  +



 

 + 

−

















 −



 

 + 

= _{x y}

d u

x d d u

x d

x x d

k

T r r

l r

2 2

2 2

0 2

2

2 2

2 2

, d’où :









− −





 −

  + 

= u

d x u

x d k

T r r

l

r ²

2 2 (tension du ressort de

Mécanique du point matériel

A l’équilibre : 0

r r

r r

= +

+ _{d g}

x T T

u mg

En projection sur l’axe (Ox) :

0 2

1

2 2

2

0 =























 

 +

−

−

x d kx

mg

éq éq

l

Une résolution numérique conduit à x_éq = 19,8 cm. L’allongement des ressorts est alors :

d m

x_éq 1,5

2 ⁰

2

2  − =



 



+ l

Mécanique du point matériel

En mouvement, le PFD appliqué à la masse m donne, en projection sur (Ox) :

mg x d

kx x

m +























 

 +

−

−

= 2

2 0

2 1

2 l

&

&

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre non linéaire : l’oscillateur n’est pas harmonique.

Mécanique du point matériel

Oscillateurs mécaniques

B – Etude en régime sinusoïdal forcé

Mécanique du point matériel

1 - Intérêt de l’étude :

Système linéaire électrique ou mécanique

(réseaux électriques, suspensions de voitures, atomes excités par des

ondes lumineuses, …

Contraintes extérieures

Réponse du système

e(t)=E_mcosωωωωt « Filtres »

mécaniques ou s(t)=S_mcos(ωωωωt+ϕϕϕϕ)

L’analyse harmonique (ou fréquentielle) d’un système est son étude au moyen de sa réponse harmonique s(t), c’est-à-dire de sa réponse en régime permanent sinusoïdal lorsqu’il est soumis à une entrée sinusoïdale e(t) dont on fait varier la pulsation ωωωω.

Mécanique du point matériel

Fonction de transfert complexe – Gain – phase – Diagramme de Bode – dB – Filtre du 1^er ordre – Filtre du 2^ème ordre – Pulsation de coupure – Asymptotes – Coefficient

d’amortissement ξ (= σ ξ (= σ ξ (= σ ξ (= σ !) – Pulsation propre – Résonance – Bande passante.

Le pont de Tacoma

Mécanique du point matériel

2 - Description et équation de l’oscillateur étudié :

)

( l l

&

&

& x = mg − hm x − k

+ x − x

−

m

léq

A éq + x − x

= l l

x

A l’équilibre En mouvement

T

r

T r

g m r

g m r

urx x_A

Dans le référentiel terrestre galiléen :

x

m x k

m x k

h

x & + & + =

&

En utilisant la condition d’équilibre :

Soit, avec :

m et k

h = 2 ₀ = ωQ⁰ = 2λ ω₀² = σω

A A

O

Mécanique du point matériel

: ,

), 1 (

Cu

q avec soit

t e C q

q R q

L & & + & + = =

Cette équation est formellement identique à celle vérifiée par la tension aux bornes d’un condensateur dans un circuit série (RLC) alimenté par un GBF (voir cours d’électricité) :

Méthode de résolution choisie : la même qu’en électricité !

) 1 (

1 e t

u LC u LC

L

u & &

+ R

+

=

)) cos(

(

;

, ^ω

=

= ω + ϕ

= X e x X e

x X t

x

x x

i x

i x

et x

i

x & = ω & & = ω & = ( ω )

= − ω

Mécanique du point matériel

Soit :

Ou encore :

3 - Détermination de la réponse en amplitude x(t) :

[ ]

A A

x x

i

x x

x i x

x x

x x

2 0 0

2 2

0

2 0 2

0 0

2

2 0 2

0 0

2 )

(

) (

2 2

ω ω

σω ω

ω

ω ω

ω σω

ω

ω ω

σω

= +

−

= +

+

−

= +

+ &

&

&

x

i

x ω ω σω ω

ω

0 2

2 0

2 0

2 )

( − +

=

i

X

e X

2

ω

=

Mécanique du point matériel

Etude de l’amplitude maximale X_m(ωωω) :ω

En prenant le module de l’expression précédente :

m A

m X

X _,

2 2 0 2 2

2 2

0

2 0

4 )

(ω ω σ ω ω

ω +

−

=

Etude mathématique : lim _, ; lim 0

0 = =

∞

→

→ Xm X A m Xm

ω ω

On note : D (ω ) = (ω₀² − ω ² )² + 4σ ²ω₀²ω ²

Alors X_m(ωωω) sera extrémale si D(ωω ωω) l’est aussi. On calcule ainsi une dérivée plus simple : ω

(

)

4 8

) (

) 4

( ₂

0 2 2

2 0 2

0 2 2

2

0 − + = − − + =

−

= ω ω ω σ ω ω ω ω ω σ ω

ω ω d dD

Mécanique du point matériel

On obtient ainsi : ω = 0 ou − (ω₀² − ω ² ) + 2σ ²ω₀² = 0

Soit, en oubliant la solution non harmonique (correspondant à ω ω ω ω = 0) :

) 2 1

( ²

2 0

2 ω σ

ω_r = −

Cette pulsation de « résonance d’amplitude » (c’est à dire correspondant à une réponse harmonique en amplitude maximale) n’existe que si :

2 0 1

2

1 − σ ² > soit σ <

Elle vaut alors : ²

0 1 2σ ω

ω_r = −

Et l’amplitude maximale à la « résonance d’amplitude » est :

Mécanique du point matériel

Les formules précédentes deviennent, en utilisant le facteur de qualité Q à la place du coefficient d’amortissement σσσσ (Q = 1/2σσσ) :σ

2 1 2

1 1

0 − 2 >

= avec Q

r ω Q ω

m A r

m X

Q

X Q _,

4 2

1 1 )

(

− ω =

Remarque : pour de faibles amortissements (σσσσ «faible» et Q «grand»), alors : m

A r

m QX

X (ω ) ≈ _,

Ainsi, si Q=10, l’amplitude lors de la résonance vaut 10 fois celle de l’excitation : la résonance est dite «aiguë» et peut causer la destruction du système oscillant.

ω0

ω_r ≈ et

Mécanique du point matériel

Tracés des courbes X_m(ωωω) pour différentes valeurs de σω σσσ (ou Q) :

* On a choisi : X_A,m = 1

* u = ωωωω/ωωωω₀ désigne la pulsation réduite

* On vérifie bien que, pour σσσσ faible, la résonance est obtenue pour u ~ 1 (soit ω ω

ω ω ∼∼∼∼ ωωωω₀).

* L’oscillateur constitue un filtre passe- bas

* Bande passante du filtre X_m

Mécanique du point matériel

Etude du déphasage ϕϕϕϕ(ωωω) :ω

La réponse complexe est :

Le déphasage ϕϕϕϕ est l’opposé de l’argument θθθθ du complexe . Par conséquent :

m A i

m X

i e

X _,

0 2

2 0

2 0

2 )

(ω ω σω ω

ϕ ω

+

= −

ω σω ω

ω₀^{2 2}) 2 ₀

( − + i

2 2

0

2 0

tan

tan ω ω

ω θ σω

ϕ = − = − −

) 2

( 0 sin

sinϕ = − θ < signe de − σωω₀

[

]

ϕ ∈ −

→ donc

Tracé des courbes ϕϕϕϕ(ωωωω) :

Mécanique du point matériel

Fonction de transfert complexe en amplitude :

La fonction de transfert complexe en amplitude est définie par :

ω σω ω

ω

ω ^ϕ ω

0 2

2 0

2 0

, ( ) 2

)

( e i

X i X

H ⁱ

m A

m

x = = − +

) (

) ) (

( x t

t i x

H

A x ω =

Soit :

m A

m

x X

G X

,

)

(ω = est le gain (réel) en amplitude.

Diagramme de Bode : c’est l’ensemble des deux courbes en fonction de la G = 20log(G ) et ϕ

Mécanique du point matériel

En notation réelle :

Ou encore :

4 - Détermination de la réponse en vitesse v(t) :

A

A x

i x

i i

v

ω σ ω ω

ω

ω ω

σω ω

ω ω ω

2 2 )

( ₀

0

0 0

2 2

0

2 0

 +







 −

 =













+

= −

m A i

m

X

i e

V

0 0

0

2 





 

 −

+

=

ω ω ω

σ ω

ψ

ω

) cos(

)

(t =V

ω

ψ

v _m

En notation complexe : v(t) =V_me^i(ωt+ψ)

La vitesse complexe v s’obtient à partir de l’amplitude complexe x en remarquant que . Par conséquent :

x i x

v = & = ω

Mécanique du point matériel

Etude de l’amplitude maximale V_m(ωωωω) de la vitesse :

En prenant le module de l’expression précédente :

Etude mathématique : lim 0 ; lim 0

0 = =

∞

→

→ Vm Vm

ω ω

V_m(ωωωω) sera maximale (on parle alors de résonance de vitesse, si le dénominateur est minimal, c’est à dire pour une pulsation telle que :

m A

m X

V _,

2 0 0

2

0

4 )

(







 −

+

=

ω ω ω

σ ω ω ω

0

0 0 ω ω

ω ω ω

ω − = soit =

Mécanique du point matériel

Tracés des courbes V_m(ωωωω) pour différentes valeurs de σσσσ (ou Q) :

* On a choisi :

X_A,m = 1 et ωωωω₀=1 rad.s ^{– 1}.

* u = ωωωω/ωωωω₀ désigne la pulsation réduite

* Pour σσσσ faible (ou Q grand), la résonance est très aiguë.

* L’oscillateur constitue un filtre passe- bande.

* Bande passante du filtre

u X_m

Mécanique du point matériel

Fonction de transfert complexe en vitesse et bande passante :

La fonction de transfert complexe en vitesse est définie par :







 −

+

=

=

ω ω ω

σ ω

ω ^ψ ω

0 0

0

, 2

) (

i X e

i V

H ⁱ

m A

m v

) (

) ) (

( x t

t i v

H

A v ω =

Soit :

m A

m

v X

G V

,

)

(ω = est le gain (réel) en vitesse. Il est maximal pour ω = ωω = ωω = ωω = ω₀ et vaut :

0 0

0)

( ω ω

ω Q

G_v = =

Mécanique du point matériel

Bande passante du filtre passe-bande : c’est l’ensemble des pulsations ωωωω pour lesquelles le gain en vitesse reste, par convention, supérieur au gain maximal (obtenu pour ωωωω₀) divisé par .

Les pulsations ωωωω_c1 et ωωωω_c2 sont appelées pulsations de coupure. Elles vérifient :

[

]

2 2 ) 1

( 2

) 1

( _{v 0} ⁰ _{c c}

v G pour

G ω ω ω

σ ω ω

ω ≥ = ∈

2

σ ω ω

ω 2 2

) 1 (

)

( ⁰

2

1 = _{v c} =

c

v G

G (Les placer sur les courbes fournies)

Ces pulsations de coupure vérifient ainsi l’équation :

σ ω

ω ω ω

σ ω

ω

2 2 1 4

0 2

0 0

2

0 =







 −

+

Mécanique du point matériel

En élevant au carré et en prenant l’inverse :

2 2

0 0

2 2

0 0

2 8 4

4 σ

ω ω ω

σ ω ω

ω ω

σ ω  =







 −

 =







 −

+ soit

ω σ ω ω

ω ⁰ 2

0

=

−

ω σ ω ω

ω ⁰ 2

0

−

=

−

ou

La 1^ère équation conduit à : ω² −2σω₀ω−ω₀² = 0

Dont la seule racine positive est : _{0 0} 1 ²

2 σω ω σ

ω_c = + +

La 2^ème équation conduit à : ω² +2σω₀ω −ω₀² = 0

Dont la seule racine positive est : _{0 0} 1 ²

1 σω ω σ

ω_c = − + + La largeur de la bande passante est :

c Q

c

0

2 0

1 2

σω ω ω

ω

ω = − = =

∆

Mécanique du point matériel

Etude du déphasage ϕϕϕϕ(ωωω) :ω

La réponse complexe est :







 −

−

= ω

ω ω

ω

ψ σ ⁰

2 0

tan 1

) 2 (

0

cosψ > signe de σ



 



−

∈

→ , 2

2 π ψ π

donc

Tracé des courbes ϕϕϕϕ(ωωωω) :

m A i

m X

i e

V _,

0 0

0

2 







 −

+

=

ω ω ω

σ ω

ψ ω

Remarque :

2 ϕ π ψ = +

Mécanique du point matériel

5 - Bilan énergétique, réponse en puissance :

En multipliant par v l’équation différentielle du mouvement :

kxA

kx x

hm x

m&&+ & + =

On fait apparaître différents termes énergétiques :

kvxA

kvx x

hmv x

mv&&+ & + = _soit mx&&x&+ kx&x = kvx_A − hmvv

D’où : ^{2 2}) ²

2 (1 2 )

(1 x kvx hmv

dt k d dt x

m d & + = _A −

Soit : ^{2 2}) ²

2 1 2

(1 mv kx kvx hmv

dt d

A −

= +

Le 1^er membre est la dérivée temporelle de l’énergie mécanique de l’oscillateur :

Mécanique du point matériel

Le 2^nd membre est la somme de la puissance P_d dissipée par les forces de frottement et la puissance P_f fournie par l’excitation :

v kx P

et hmv

P_d = − ² _f = _A

On note P la puissance instantanée totale reçue par l’oscillateur :

f

d P

P P = +

De la même manière qu’en électricité, déterminons la puissance moyenne sur une période :

f

d P

P

P = +

Avec :

) 2 (

1 cos

1 ²

0

2 2

0 2

2 T m

m T

d

dt hmV t

T V hm dt

T v hm hmv

P = − = −

∫

∫

∫

=

= _A ^T _{A m m}

f X V t t dt

k T v

kx P

0 , cos cos( )

1 ω ω ψ