OSCILLATEUR HARMONIQUE

T-PL

OSCILLATEUR HARMONIQUE

I- Oscillateur harmonique libre (sans frottement) (OHL) a) Point de vue de la dynamique

Parmi les nombreux dispositifs présentant des oscillations, le plus simple est constitué par une masse m, solidaire d'un ressort de raideur k et pouvant se déplacer sur un support horizontal. Le contact support/masse est supposé sans frottement.

L'équation caractérisant cette situation s'obtient simplement en écrivant la relation fondamentale de la dynamique appliquée à ce système :

k.x = mx

− &&

Les forces R et P se compensent et

n'interviennent pas ici.

La forme générale de l'équation différentielle qui caractérise un OHL est donnée par l'expression suivante :

&&

x + ω

₀².

x = 0

L'équation du mouvement est toujours de la forme :

x = A.cos(ω

₀

t ) + ϕ

L'expression de la vitesse est

x = - ω _&

₀

.A.sin(ω

₀

t + ) ϕ

L'expression de l'accélération est

_&& x = - ω

₀²

. .cos( A ω

₀

t + ) = - ω ϕ

₀²

. x

L'amplitude A (ou Xm) est constante.

La pulsation ω0 (et la période ₀

0

T = 2 ω

π

) s'exprime différemment selon le dispositif étudié :

* Ressort horizontal (ou vertical) de raideur k solidaire d'une masse m : ₀

k ω =

m

* Pendule de torsion, avec C la constante de torsion du fil et

J le moment d'inertie du solide en rotation : x est l'élongation , abscisse sur l'axe Ox

0

ω = C J

* Pendule simple pour des oscillations de faible amplitude,

avec l la longueur du pendule et x représente α, la position angulaire

g ω

0

=

l

g l'accélération de la pesanteur x re résente α,p la position angulaire

Remarque : Bien d'autres situations peuvent encore être traitées par le même type d'équation : par exemple le pendule liquide (colonne de liquide dans un tube en U, oscillant autour de sa position d'équilibre.

a) Point de vue énergétique

Le système étudié étant pseudo-isolé, l'énergie mécanique totale Em = Ep + Ec est conservée.

Dans le cas de l'oscillateur harmonique linéaire, l'énergie potentielle élastique est donnée par :

2 p

E = kx 1

2

pour une élongation x. La valeur maximum de est _pmax

1

_m² _m

E = k.X = E

2

L'énergie cinétique est donnée par _C

1

²

E = mx

2 &

En remplaçant

x e t x &

par leur expression, on vérifie facilement que Em = Ep + Ec est constant Evolution des énergies potentielle et cinétique au cours du mouvement pendulaire :

Lors du mouvement pendulaire, on assiste à un échange incessant entre l'énergie potentielle et l'énergie cinétique du système, la somme des deux étant toujours constante :

Au début, l'énergie potentielle Ep est maximum (= Em) et l'énergie cinétique Ec est nulle.

Puis, Ep diminue au fur et à mesure que l'objet se rapproche de la position d'équilibre, mais en même temps Ec augmente.

Lorsque l'objet passe par la position d'équilibre, Ep = 0 mais Ec est maximum (=Em). L'objet ne peut pas s'arrêter et dépasse la position d'équilibre en ralentissant : Ep augmente mais Ec diminue.

La position extrême est atteinte lorsque Ec = 0, alors Ep est de nouveau maximal (= Em) et reprend sa valeur initiale (puisque l'on suppose qu'il n'y a pas de frottement, donc aucune perte d'énergie.

On peut donc dire que

E

_{c max}

= E

_{p max}

= E

_m

Cette évolution peut être facilement visualisée sur le graphe ci-dessous :

Em

Ec

Ep Ep

Remarque : ces considérations sont valables quel que soit le type d'oscillateur harmonique (ressort

II- Oscillateur harmonique avec amortissement "fluide".

Le frottement fluide (liquide ou gaz) est caractérisé par le fait que la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, donc

f = -b.x &

En écrivant la relation fondamentale de la dynamique, il apparaît immédiatement que la forme générale de l'équation différentielle dont x(t) est la solution est donc de la forme :

b k x + x + x = 0

m m

&& &

La solution de cette équation est moins simple que dans le cas de l'OHL, il y a trois situations possibles, selon le signe du discriminant de cette équation Δ

= b - 4km

²

m est la masse du système oscillant k la raideur du ressort

b le coefficient du frottement fluide

a) Régime pseudo-périodique si Δ

= b - 4km < 0

² on a une oscillation "pseudo-périodique", Le graphe de x(t) a une allure comme sur les graphiques ci-dessous :

* Un passage par la valeur x =0 à intervalles de temps réguliers mais la période a une valeur différente de celle qu'aurait le même oscillateur s'il n'y avait pas de frottement fluide. Cette pseudo-période T ' correspond à une pseudo-pulsation donnée par :

2 2

2 0

k b b

ω' =

- =

ω

-

m 2m 2m

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ donc T ' > T0 (

2 ω' =

T' π

)

* L'amplitude des oscillations diminue de façon exponentielle L'équation de x(t) s'écrit :

. . .

- tb m 2m

x(t) = X e cos(ω'.t + ) ϕ

Exemples de représentations graphiques pour des valeurs croissantes de b/2m :

Amortissement faible Amortissement moyen Amortissement fort Le graphe de x(t) a une forme générale comme

l'indique le schéma ci-contre.

A chaque "période", l'amplitude diminue à cause du frottement, mais les valeurs extrêmes atteintes sont sur une courbe appelée

"enveloppe" du graphe de x(t)

Dans le cas de l'amortissement fluide, cette enveloppe est de forme exponentielle

L'amortissement des oscillations dépend de la valeur de b/2m

b) Régime critique si Δ

= b - 4km = 0

² donc le coefficient de frottement fluide est tel que

b = 2 k.m

alors on dit qu'il y a "amortissement critique"

ou bien que il y a "régime critique": il n'y a plus d'oscillation, le système revient assez rapidement directement à sa position d'équilibre.

L'expression de x(t) est de la forme :

x = X

_m.(

1 + ω

₀

t).e

^{- ω0.t}

c) Régime apériodique si l'amortissement est très fort, il n'y a plus du tout d'oscillations

= b - 4km > 0

2

Δ

Le système tend lentement vers sa position d'équilibre

L'expression de x(t) est plus complexe, elle est la somme de deux termes exponentiels

III- Oscillateur harmonique avec amortissement "solide".

Le frottement solide est caractérisé par le fait qu'il correspond en première approximation à une force constante qui s'oppose au déplacement du système. (ici, le frottement ne dépend plus de la vitesse)

L'équation différentielle décrivant cette situation pour un système formé par un ressort (raideur k) et une masse (m) est obtenue en écrivant la relation fondamentale de la dynamique :

m.x = - k.x f &&

± f est la force de frottement

La solution de cette équation n'est pas très simple, il faut traiter le problème par intervalles : pour

t +X

∈

[

m^;−

X

m

]

on écrit +f et on écrira –f pour la demi période suivante.

Pour chaque intervalle, la solution est de la même forme que pour l'oscillateur harmonique libre, donc

x = A.cos(ω

₀

t )

+

ϕ

On constate que : * la pulsation est la même ₀

k

ω

⁼

m

* mais l'amplitude diminue progressivement.

En fait, pour évaluer la diminution de l'amplitude, on peut appliquer le théorème de l'énergie cinétique et dire que le travail de la force de frottement entre deux positions extrêmes successives X1 et X2 est égal au travail fourni par le ressort entre ces deux positions (le temps correspondant est une demi période) :

.

₁²

.

₂² ₁

1 1

kX - kX = f.(X + X

2 2

₂

)

comme

(X

₁² −

X

₂²)

= (X - X ).(X + X

_{1 2 1 2})

nous pouvons écrire que _{1 2}

2f X = (X - X ) =

Δ k

donc à chaque demi-période, l'amplitude

diminue de la même quantité.

En conséquence, à chaque période, lorsque le système repasse par sa position extrême d'un même côté, l'amplitude aura diminué d'une valeur constante égale à 4f/k on peut donc dire que ces points extrêmes sont sur une droite dont l'équation est :

_m

4.f .

_m

4.f .

x = X - t ou x = -X + t

k k

C'est ce qui caractérise l'amortissement par frottement solide : les oscillations sont amorties, mais l'enveloppe du graphe de x(t) est formée par deux droites.

Remarque : dans le cas de l'amortissement solide le système ne s'arrête pas forcément à la position centrale correspondant à x = 0. Le système s'arrêtera dans une position pour laquelle la force de rappel du ressort (k.x) sera inférieure à la valeur de la force de frottement (f = fS.mg).

(fS est le coefficient de frottement)

enveloppe linéaire L'enregistrement d'un mouvement

d'oscillation avec frottement solide est reproduit ci-contre et illustre bien la différence avec l'amortissement fluide dont l'enveloppe est de forme

exponentielle.

Tableau récapitulatif :

Oscillateur harmonique

libre

Oscillateur harmonique amortissement fluide

Oscillateur harmonique amortissement solide Trois régimes selon l'importance

du frottement

un seul type de régime pulsation

0

ω = k m

Si le frottement fluide est faible : régime pseudo-périodique

pseudo-pulsation ω' < ω0

même pulsation que OHL ω = ω0

période T0 pseudo-période

T ' > T0

T = T0

amplitude Constante L'amplitude diminue

enveloppe exponentielle

L'amplitude diminue enveloppe linéaire point d'arrêt pas d'arrêt arrêt dans la position centrale

d'équilibre arrêt dans une position quelconque dès que

kx< fSmg Si le frottement fluide est plus

important : régime critique

Si le frottement fluide est encore plus important :

régime apériodique

Le document ci-dessous permet l'étude comparative des valeurs prises par l'élongation, la vitesse et l'accélération d'un OHL à différents moments du cycle :