Oscillateur harmonique

MPSI2, Louis le Grand

Oscillateur harmonique

Loi de Hooke

T#»=−k(`−`0)#»e_→M

Généralisation

Loi de Hooke (1635-1703)

On considère un objet matériel déformé d’unvecteur déformation(ou élongation)

∆l# ». Les faibles déformations sont ditesélastiqueset la force exercéeF#»_e, par l’objet déformé sur une extrémité obéit à la loi de Hooke :

F#»_e=−k# »

∆l aveck >0nommé constante de raideur.. F#»eest diteforce de rappel élastique.

Solution générale

Théorème : Solution canonique Lessolutions de l’équation différentielle

d²X

dt² +ω²X = 0 sont les fonctions sinusoïdales de pulsation ω:

X(t) =Xmcos(ωt+ϕ)

On définit également la fréquencef =ω/(2π)et la périodeT = 1/f = 2π/ω =. Un système régit par cette équation différentielle est unoscillateur harmonique. La pulsation d’un système masse-ressort est ω=

qk m.

Courbe

0 T/2 T 3T/2

Xm

−ϕ/ω

t

x

Déphasages

0 T/2 T 3T/2

T/4=^π/(2ω)

T/2=^π/ω

a <0, ˙X0,X˙0>0

t

X X˙ X¨

Principe

x

ωt

X^m ωt

X_m

−X_m

Julien Cubizolles, sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 1/2 2019–2020

MPSI2, Louis le Grand

Oscillateur harmonique

00

T₀

12kX²₀

t E_c Epot

Em

Indispensable

Indispensable

• établir l’équation différentielle, en déduire la pulsation

• déterminer amplitude et phase à l’aide des conditions initiales ou par lecture graphique

• tracer les évolutions temporelles de la position, de la vitesse, de l’accéléra- tion

• connaître les expressions et savoir tracer les évolutions temporelles des éner- gies potentielle et cinétique

Julien Cubizolles, sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 2/2 2019–2020