1 Oscillateur harmonique

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Oscillateur harmonique - R´ egime libre

L’importance de l’oscillateur harmonique `a un degr´e de libert´e en physique justifie qu’on lui consacre un chapitre.

Table des mati` eres

1 Oscillateur harmonique 1

2 Oscillations libres 1

2.1 Pulsation propre - Isochronisme des oscillations . . . 1

2.2 Etude ´energ´etique . . . .´ 2

3 Oscillations libres amorties 2 3.1 Temps de relaxation - Facteur de qualit´e . . . 2

3.2 R´egime pseudo-p´eriodique . . . 2

3.3 R´egime ap´eriodique . . . 3

3.4 R´egime critique . . . 3

3.5 Etude ´energ´etique . . . .´ 4

1 Oscillateur harmonique

On appelle oscillateur harmonique tout syst`eme `a un degr´e de libert´e dont l’´evolution au cours du temps (en l’absence d’amortissement et d’excita- tion) est r´egi par l’´equation diff´erentielle suivante :

d²x

dt² +ω0²x= 0 quelle que soit la nature physique de la variablex.

L’oscillateur harmonique ´evolue dans un puit de potentiel de type parabo- lique :

soit

Ep(x) = Ep(0) + 1 2kx² soit

Ep(x)≃Ep(0) + 1 2kx²

au voisinage d’une position d’´equilibre stable (voir cours pr´ec´edent).

L’oscillateur harmonique est soumis `a une force de rappel proportion- nelle `ax :

F =−dEp

dx =−kx

2 Oscillations libres

2.1 Pulsation propre - Isochronisme des oscillations

x(t) = xmcos(ω0t+ϕ)

˙

x(t) =−xmω⁰sin(ω⁰t+ϕ) =v(t) xm etϕ sont d´etermin´es par les conditions initiales.

Six(0) =x0 et v(0) =v0 alors









 xm =

s x²0 +

v⁰ ω0

²

tanϕ =− v⁰ ω0x0

La p´eriode T⁰ = 2π

ω⁰ est ind´ependante des conditions initiales ; c’est une propri´et´e importante de l’oscillateur harmonique appel´ee isochronisme des oscillations.

Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

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2.2 Etude ´ ´ energ´ etique

Em =Ec+Ep = 1

2mx²_mω0²sin²(ω⁰t+ϕ) + 1

2kx²_mcos²(ω⁰t+ϕ) = 1 2kx²_m Calculons la valeur moyenne deEp

hEpi= 1 T

Z T 0

Ep(t)dt= kx²_m

2 hcos²(ω⁰t+ϕ)i= kx²_m 4 de mˆeme

hEci= kx²_m 4

Pendant le mouvement, il y a ´equipartition, en moyenne, des formes cin´e- tique et potentielle de l’´energie.

hEpi=hEci= Em

2

3 Oscillations libres amorties

3.1 Temps de relaxation - Facteur de qualit´ e

Avec amortissement, l’´equation diff´erentielle devient mx¨=−kx−hx˙

que l’on met sous la forme

¨

x+ 2αx˙ +ω0²x= 0 avec 2α= h

m etω0² = k

m, ou encore

¨ x+ x˙

τ +ω0²x= 0

o`uτ est une constante ayant la dimension d’un temps qui est appel´eetemps de relaxation de l’oscillateur, ω0 ´etant sapulsation propre.

Pour d´ecrire l’oscillateur amorti, on peut pr´ef´erer au couple (ω⁰,τ) le couple (ω⁰,Q), Q ´etant un param`etre sans dimension appel´e facteur de qualit´e d´efini par

Q=ω⁰τ = 2π τ

T⁰ = ω0

2α = mω0

h

Une solution en exp(rt) existe si

r²+ 2αr+ω²0 = 0

Suivant le signe du discriminant r´eduit, plusieurs r´egimes sont possibles

∆^′ =α²−ω²0

3.2 R´ egime pseudo-p´ eriodique

Si les frottements sont faibles alors α < ω⁰, Q > 1

2 et ∆^′ <0 x(t) = e^−αt(Acos Ωt+Bsin Ωt)

en introduisant la pseudo-pulsation Ω telle que Ω² =ω²0−α² (∆^′ =−Ω² = (iΩ)² et r=−α±iΩ).

˙

x=−αe^−αt(Acos Ωt+Bsin Ωt) + e^−αtΩ(−Asin Ωt+Bcos Ωt) x(0) =A =x⁰

˙

x(0) =−αA+ ΩB =v0

x(t) = e^−αt(x⁰cos Ωt+ v0+αx0

Ω sin Ωt)

Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

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Une telle ´evolution de retour vers un ´etat permanent est qualifi´ee de relaxation ; ce retour se fait au bout de quelquesτ.

T = 2π

Ω = T0

s 1−

α ω0

²

= T0

r

1− 1 4Q²

est la pseudo-p´eriode.

La d´etermination exp´erimentale de δ = ln

x(t) x(t+T)

appel´e d´ecr´ement logarithmiquepermet de calculer le facteur de qualit´e

δ =αT = ω⁰T

2Q = π

r

Q² −1 4

3.3 R´ egime ap´ eriodique

Si les frottements sont importants alors α > ω0,Q < 1

2 et ∆^′ >0 x(t) = e^−αt(Acosh Ω^′t+Bsinh Ω^′t)

avec Ω^′2 =α²−ω²0 (r=−α±Ω^′).

˙

x=−αe^−αt(Acosh Ω^′t+Bsinh Ω^′t) + e^−αtΩ^′(Asinh Ω^′t+Bcosh Ω^′t) x(0) =A=x⁰

˙

x(0) =−αA+ Ω^′B =v0

x(t) = e^−αt(x⁰cosh Ω^′t+ v0+αx0

Ω^′ sinh Ω^′t)

3.4 R´ egime critique

Siα =ω⁰, Q= 1

2 et ∆^′ = 0

x(t) = e^−αt(At+B)

Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI - M´ecanique I - Oscillateur harmonique - R´egime libre page 4/4 (r=−α).

˙

x=−αe^−αt(At+B) + e^−αtA x(0) =B =x0

˙

x(0) =−αB+A=v⁰ x(t) = e^−αt((v⁰+αx0)t+x0)

Le r´egime critique n’est jamais r´ealis´e physiquement exactement.

3.5 Etude ´ ´ energ´ etique

dEm

dt =P^nc =−hv² <0

Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007