Oscillateur harmonique

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Oscillateur harmonique

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

Vendredi 15 novembre 2021

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Loi de Hooke Système dynamique Considérations énergétiques QCM

Ï les phénomènes périodiques sont omniprésents en physique

Ï en particulier dans le domaine de la propagation des ondes (mécaniques, électromagnétiques, sonores) indispensables à la transformation d’information

Ï on les décrit en utilisant desfonctions sinusoïdales, caractérisées par leurfréquenceou leurpulsation, leuramplitude, leurphase Ï on introduit ces concepts sur un système physique simple : le

système masse ressort, illustration du modèle fondamental de l’oscillateur harmoniqueet sonanalogue électrocinétiquele circuit RC

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Ï les phénomènes périodiques sont omniprésents en physique Ï en particulier dans le domaine de la propagation des ondes

(mécaniques, électromagnétiques, sonores) indispensables à la transformation d’information

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Ï on les décrit en utilisant desfonctions sinusoïdales, caractérisées par leurfréquenceou leurpulsation, leuramplitude, leurphase

Ï on introduit ces concepts sur un système physique simple : le système masse ressort, illustration du modèle fondamental de l’oscillateur harmoniqueet sonanalogue électrocinétiquele circuit RC

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Observations Modélisation : Loi de force

1. Loi de Hooke

2. Système dynamique

3. Considérations énergétiques 4. QCM

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1. Loi de Hooke 1.1 Observations

1.2 Modélisation : Loi de force

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Caractéristiques physiques

Ï un ressort à spirales possède une longueur caractéristique « au repos » notée`

Ï on peut faire varier sa longueur`, on nommeélongationou allongementle réel`−`

Ï l’élongation est positive si le ressort est allongé, négative s’il est comprimé

Ï différents ressorts s’allongeront/se comprimeront différemment, ils ont desraideursdifférentes

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Caractéristiques physiques

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Caractéristiques physiques

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Caractéristiques physiques

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Mouvement

on suspend brutalement un objet :

Ï il finit par atteindre uneposition d’équilibre, avec une élongation non nulle

Ï après desoscillations amorties

Ï la position d’équilibre varie avec la masse : l’élongation croît avec la masse de l’objet suspendu

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Mouvement

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Mouvement

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Mouvement

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1. Loi de Hooke 1.1 Observations

1.2 Modélisation : Loi de force

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Description

Ï sans le ressort, l’objet chute sous l’effet d’une force, lepoids #»

Ï une force possède une direction, elle est représentée par un vecteur

Ï le ressort exerce une force, nomméetension, notée #» Ï à l’équilibre de la masse, la force #»compense la force#»:

#»+#»

=#» .

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Description

Ï le ressort exerce une force, nomméetension, notée #» Ï à l’équilibre de la masse, la force #»compense la force#»:

#»+#»

=#» .

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Description

Ï le ressort exerce une force, nomméetension, notée #»

Ï à l’équilibre de la masse, la force #»compense la force#»:

#»+#»

=#» .

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Description

Ï le ressort exerce une force, nomméetension, notée #»

Ï à l’équilibre de la masse, la force #»compense la force#»:

#»+#»

=#»

.

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Intensité

Ï c’est lanormedu vecteur #»

Ï elle varie avecl’élongation, on vérifie :

Ï qu’elle croît linéairement avec l’élongation en faisant croître le poids de l’objet suspendu

Ï qu’elle est nulle quand aucun objet n’est suspendu (en négligeant le poids du ressort lui-même)

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Intensité

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Intensité

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Intensité

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Intensité

Tension

= |`−` |

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Direction, sens

Ï #»et #»sont de sens opposés

Ï de même si le ressort estcomprimépar le poids Ï on propose :

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Direction, sens

Ï de même si le ressort estcomprimépar le poids

Ï on propose :

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Direction, sens

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Direction, sens

Loi de Hooke

#»= − (`−` )#»

→

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Direction, sens

Loi de Hooke

#»= − (`−` )#»

→

Ï la constante de raideur, positive Ï _`−` l’élongation, positive ou négative Ï #»

→ le vecteur unitaire (sans dimension) colinéaire au ressort et dirigé de l’autre extrémité vers l’extrémité sur laquelle s’exerce #»

Ï on vérifie la nécessité du signe−pour le sens de la force

Ï cette expression est valable quelle que soit la direction du ressort Ï Atoujours faire un schéma indiquant le sens de la force s’il est

connu, et ce que représente l’élongation

(31)

Illustration

animation phet¹

(32)

Caractère vectoriel de la force

on considère une masse immobile au bout du ressort, soumise à

#»:

Ï ressort à laverticale:#»

+#»

=#»

Ï ressort à l’horizontale: #»et #»sont orthogonaux : la tension ne peut pas compenser le poids : le support exerce une force de réaction #»telle que : #»

+#» +#»

=#»

Ï on traduit cette égalité sur lescomposantesdes vecteurs selon deux directions orthogonales, parprojection:

#» _·^³#» +#»

+#»^´

= →`=`

#» _·^³#» +#»

+#»^´

= → =

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Caractère vectoriel de la force

#»:

+#»

=#»

+#»

=#»

#» _·^³#» +#»

+#»^´

= →`=`

#» _·^³#» +#»

+#»^´

= → =

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Caractère vectoriel de la force

#»:

+#»

=#»

+#»

=#»

#» _·^³#»

+#»

+#»^´

= →`=`

#» _·^³#»

+#»

+#»^´

= → =

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Notations

Ï on note lacomposanteduvecteur #»selon levecteur unitaire

#»: peut être positive, négative ou nulle

Ï désigne lanormeduvecteur #», toujours positive ou nulle

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Notations

Ï on note lacomposanteduvecteur #»selon levecteur unitaire

#»: peut être positive, négative ou nulle

Ï désigne lanormeduvecteur #», toujours positive ou nulle

(37)

Forces de frottements

les oscillations sontamortiespar lesfrottements:

Ï avec l’air Ï avec le support Ï au sein du ressort

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Forces de frottements

les oscillations sontamortiespar lesfrottements: Ï avec l’air

Ï avec le support Ï au sein du ressort

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Mise en équation Résolution

Représentation de Fresnel Autres configurations

Oscillateur harmonique en électrocinétique

1. Loi de Hooke 2. Système dynamique

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1. Loi de Hooke 2. Système dynamique 2.1 Mise en équation 2.2 Résolution

2.3 Représentation de Fresnel 2.4 Autres configurations

2.5 Oscillateur harmonique en électrocinétique 3. Considérations énergétiques

4. QCM

(41)

Cadre

le plus simple possible

Ï ressorthorizontal idéal(sans masse entre autres)

Ï on fixe une masse à son extrémité Ï l’autre extrémité est fixe

Ï frottements négligés

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Cadre

Ï ressorthorizontal idéal(sans masse entre autres) Ï on fixe une masse à son extrémité

Ï l’autre extrémité est fixe Ï frottements négligés

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Cadre

Ï l’autre extrémité est fixe

Ï frottements négligés

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Cadre

Ï l’autre extrémité est fixe Ï frottements négligés

(45)

Loi de la quantité de mouvement

(ou 2^eloi de Newton/principe fondamentale de la dynamique) on note :

Ï la position de l’extrémité mobile Ï la masse qui y est fixée

Ï la raideur du ressort

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Loi de la quantité de mouvement

(ou 2^eloi de Newton/principe fondamentale de la dynamique) on note :

Ï la position de l’extrémité mobile Ï la masse qui y est fixée

Ï la raideur du ressort la masse est soumise à :

Ï son poids #»

Ï la réaction du support #»

Ï la force de tension du ressort #»

à tout instant :

#»₍ ₎₌#» +#»

+#»

(47)

Loi de la quantité de mouvement

(ou 2^eloi de Newton/principe fondamentale de la dynamique) la masse est soumise à :

Ï son poids #»

à tout instant :

#»₍ ₎₌#» +#»

+#»

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Loi de la quantité de mouvement

(ou 2^eloi de Newton/principe fondamentale de la dynamique) la masse est soumise à :

Ï son poids #»

à tout instant :

#»₍ ₎₌#»

+#»

(49)

4. QCM

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Position d’équilibre

on la recherche en écrivant que y esttoujoursimmobile : Ï #»₍ ₎₌#»

Ï donc + + = et + + = Ï soit = et`=`

(51)

Position d’équilibre

Ï donc + + = et + + =

Ï soit = et`=`

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Position d’équilibre

Ï donc + + = et + + = Ï soit = et`=`

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Position d’équilibre

Ï donc + + = et + + = Ï soit = et`=`

Caractérisation

L’élongation d’un système masse-ressort idéalhorizontal et libreest nulle à l’équilibre.

(54)

Position d’équilibre

Ï donc + + = et + + = Ï soit = et`=`

Caractérisation

L’élongation d’un système masse-ressort idéalhorizontal et libreest nulle à l’équilibre.

Ï Ace sera différent pour un ressort vertical

Ï Ace n’est pas parce que l’élongation est nulle à un instant que le ressort va demeurer immobile

Ï Ace sera différent si le système n’est pas libreiesi on applique une force horizontale

(55)

Équation différentielle d’évolution de l’élongation

cas général : peut être en mouvement

Ï on oriente #»dans le sens du ressort

Ï on choisit l’origine = quand`=` : soit =`−` Ï le support impose = : on a toujours = Ï on a maintenant :

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Équation différentielle d’évolution de l’élongation

cas général : peut être en mouvement Ï on oriente #»dans le sens du ressort

(57)

Équation différentielle d’évolution de l’élongation

Ï on choisit l’origine = quand`=` : soit =`−`

Ï le support impose = : on a toujours = Ï on a maintenant :

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Équation différentielle d’évolution de l’élongation

Ï on choisit l’origine = quand`=` : soit =`−` Ï le support impose = : on a toujours =

Ï on a maintenant :

(59)

Équation différentielle d’évolution de l’élongation

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Équation différentielle d’évolution de l’élongation

Équation fondamentale

= − (`−` )= − = −→ + =

(61)

Résolution de l’équation différentielle

Ï c’est une équation vérifiée par lafonction ( ) Ï elle fait intervenir ( )et ses dérivées

Ï une même équation différentielle aura souvent uneinfinitéde solutions ayant la même forme

(62)

Résolution de l’équation différentielle

Ï c’est une équation vérifiée par lafonction ( ) Ï elle fait intervenir ( )et ses dérivées

Ï une même équation différentielle aura souvent uneinfinitéde solutions ayant la même forme

Méthode

Ï reconnaître une équation différentielle connue

Ï chercher parmi toutes ses solutions celle qui correspond aux conditions initialesdu phénomène physique, valeurs de ( )et

( )à l’instant par exemple

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Solution générale

Théorème (Solution canonique) Lessolutions de l’équation différentielle

+ω =

sont les fonctionssinusoïdalesde pulsationω: ( )= cos(ω +ϕ)

On définit également lafréquence =ω/( π)(parfois écriteν) et lapériode

= / = π/ω. Un système régi par cette équation différentielle est un

(64)

Solution générale

Ï ici = −` décrit l’écart à la position d’équilibre

Ï ωest caractéristique du système physique : il faut changer le ressort ou la masse pour la modifier

Ï en revanche, l’_élongationmaximale et les instants où elle est atteinte_, dépendent de l’excitation qu’on a donnée initialement

(65)

Solution générale

(66)

Solution générale

(67)

Solution générale

(68)

Courbe

0 T/2 T 3T/2

Xm

−ϕ/ω

t

x Ï est l’amplitudeiel’élongation maximale atteinte au cours du mouvement

Ï la phaseϕcaractérise le décalage entre l’instant = et l’instant du premier passage par le maximum

Ï ϕreprésente l’avancedu signal par rapport à un signal de phase nulle

(69)

Déphasages

0 T/2 T 3T/2

T/4=π/(2ω)

T/2=^π/ω

a <0, ˙X0,X˙0>0

t

X X˙ X¨

phases remarquables Ï ϕ= : signauxen phase

Ï ϕ=π/ : signalen quadrature avance (vitesse / position)

Ï ϕ= −π/ : signal enquadrature retard Ï ϕ= ±π: signal enopposition de phase

(accélération / position)

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Déphasages

0 T/2 T 3T/2

T/4=π/(2ω)

T/2=^π/ω

a <0, ˙X0,X˙0>0

t

X X˙ X¨

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Déphasages

0 T/2 T 3T/2

T/4=π/(2ω)

T/2=^π/ω

a <0, ˙X0,X˙0>0

t

X X˙ X¨

Ï ϕ= −π/ : signal enquadrature retard

Ï ϕ= ±π: signal enopposition de phase (accélération / position)

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Déphasages

0 T/2 T 3T/2

T/4=π/(2ω)

T/2=^π/ω

a <0, ˙X0,X˙0>0

t

X X˙ X¨

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Validation du modèle

on vérifie que le mouvement est bien sinusoïdal, en particulier Ï la vitesse est bien en quadrature avance par rapport à la position

Ï l’accélération est bien en opposition de phase

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Validation du modèle

on vérifie que le mouvement est bien sinusoïdal, en particulier Ï la vitesse est bien en quadrature avance par rapport à la position Ï l’accélération est bien en opposition de phase

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Illustration

animation univ-nantes animation phet^{2 3}

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Conditions initiales

pour un même système (ieune même pulsation), il existe une infinité de solutions de même pulsation, elles diffèrent par :

Ï leuramplitude| |(on choisira > ) Ï leurphaseϕ

Ï ces paramètres peuvent être quelconques, ils dépendent des conditions initiales ^{( )}et ^{( )}, aussi notée^{˙( )}

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Conditions initiales

Ï leuramplitude| |(on choisira > )

Ï leurphaseϕ

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Conditions initiales

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Conditions initiales

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Conditions initiales

on prend = pour simplifier :

Ï on détermine etϕà l’aide de ^{( )}et ^{( )} Ï cas simples :

Ï ( )= 6= et ( )= Ï ( )= et ( )= 6=

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Conditions initiales

Ï on détermine etϕà l’aide de ^{( )}et ^{( )}

Ï cas simples :

Ï ( )= 6= et ( )= Ï ( )= et ( )= 6=

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Conditions initiales

Ï ( )= 6= et ( )= Ï ( )= et ( )= 6=

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Conditions initiales

Ï ( )= 6= et ( )=

Ï ( )= et ( )= 6=

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Conditions initiales

Ï ( )= 6= et ( )= Ï ( )= et ( )= 6=

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Expression générale

Conditions initiales

Les variations de l’écart à la position d’équilibred’un oscillateur harmonique peuvent s’écrire de manière équivalente :

( )= cos(ω +ϕ)= cos(ω)+

ω sin(ω) avec :

Ï l’écart initial à la position d’équilibre, Ï la vitesse initiale.

Ï les constantes et sont algébriques (≷ )

(86)

4. QCM

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Somme de sinusoïdes synchrones

la somme de deux sinusoïdessynchrones(iede même fréquenceω et dont la phase relative est constante), est une sinusoïde de même fréquence dont l’amplitude et la phase peuvent être déterminées graphiquementsomme sinusoïdes

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Principe

Ï on a une oscillation = cos(ω) Ï on lui associe un complexe de

module et d’argumentω :

= exp(ω): c’est sa représentation de Fresnel Ï l’évolution temporelle de

correspond à unerotationdu vecteur d’affixe dans le plan complexe

Ï on a à chaque instant =Re( ), est l’abscisse du complexe Ï si = cos(ω +ϕ),

= exp( (ω+ϕ)): le vecteur d’affixe est tourné deϕ

ω

− ω

(89)

Représentation de Fresnel : Utilisation

Ï on cherche etϕ tels que : cos¡

ω +ϕ ¢

+ cos¡ ω +ϕ ¢

= cos¡ ω +ϕ¢

Ï on utilise les complexesξ et ξ etξ =ξ +ξ

Ï on litgraphiquement =

¯

¯¯ξ ¯

¯

¯ etϕ =arg(ξ )à =

ξ

ω

− ω

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Détermination graphique

ξ

Y1

ϕ₁ Y²

ϕ₂ ϕ_d

Y² ϕ_d Y^s

ϕ_s

Ï on peut calculer :

= + + cos(ϕ ) sin(ϕ )

=sin(ϕ −ϕ )

Ï c’est la phaserelative, le déphasageϕ =ϕ −ϕ qui importe

Ï à refaire à chaque fois, la plupart du temps, l’étude du schéma suffira pour tirer des conclusions qualitatives intéressantes

(91)

4. QCM

(92)

Changement d’origine

choisir une autre origine pour rajoute une constante dans l’expression : laposition d’équilibre dans les nouvelles coordonnées :

( )= + cos(ω +ϕ)avec =`

l’élongationest toujoursnulleà l’équilibre pour un ressort horizontal

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Ressort vertical

pour un ressort vertical, l’élongation à l’équilibre est non nulle ( )=` + cos(ω +ϕ)

avec` =` +

la pulsation reste indépendante de#»(mais pas de )

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Ressort vertical

pour un ressort vertical, l’élongation à l’équilibre est non nulle ( )=` + cos(ω +ϕ)

avec` =` +

la pulsation reste indépendante de#»(mais pas de )

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Exercice : conditions initiales

On considère un système masse-ressort

On considère une masse attachée en à l’extrémité d’un ressort de constante de raideur et de longueur à vide` dont l’autre extrémité est immobile. La masse est en mouvement sans

frottement sur un support horizontal. On note la mesure algébrique de son abscisse par rapport à .

1 La masse est lâchée sans vitesse initiale en = ` / . Déterminer l’expression de ( )et de l’écart entre et la position d’équilibre. Préciser l’amplitude et la phase du mouvement et tracer l’allure de ( ).

2 On communique désormais une vitesse ˙ à la masse quand elle est en . Déterminer la nouvelle expression de ( ), et en déduire l’amplitude et la phase du mouvement par une

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4. QCM

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Exercice : circuit LC

On considère un circuit électrique formé d’un condensateur de capacité branché aux bornes d’une bobine d’auto-inductance . On note la tension aux bornes du condensateur, = sa charge et le courant (en convention récepteur pour le condensateur).

1 Établir les équations différentielles vérifiées par la charge du condensateur et par l’intensité du courant dans le circuit. Les mettre sous la forme canonique d’un oscillateur harmonique de pulsationωdont on donnera l’expression.

2 On a = mH et = µF. Quel sera le courant maximal au cours des oscillations si à l’instant initial on a = V et