Oscillateur harmonique

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Oscillateur harmonique

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

Vendredi 6 septembre 2019

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Loi de Hooke Système dynamique Considérations énergétiques QCM

I les phénomènes périodiques sont omniprésents en physique

I en particulier dans le domaine de la propagation des ondes (mécaniques, électromagnétiques, sonores) indispensables à la transformation d’information

I on les décrit en utilisant desfonctions sinusoïdales, caractérisées par leurfréquenceou leurpulsation, leuramplitude, leurphase

I on introduit ces concepts sur un système physique simple : le système masse ressort, illustration du modèle fondamental de l’oscillateur harmonique

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I les phénomènes périodiques sont omniprésents en physique I en particulier dans le domaine de la propagation des ondes

(mécaniques, électromagnétiques, sonores) indispensables à la transformation d’information

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Observations Modélisation: Loi de force

1. Loi de Hooke

2. Système dynamique 3. Considérations énergétiques 4. QCM

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1. Loi de Hooke 1.1 Observations

1.2 Modélisation : Loi de force

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Caractéristiques physiques

I un ressort à spirales possède une longueur caractéristique « au repos » notée`0

I on peut faire varier sa longueur`, on nommeélongationou allongementle réel`−`₀

I l’élongation est positive si le ressort est allongé, négative s’il est comprimé

I différents ressorts s’allongeront/se comprimeront différemment, ils ont desraideursdifférentes

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Caractéristiques physiques

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Caractéristiques physiques

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Caractéristiques physiques

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Mouvement

on suspend brutalement un objet :

I il finit par atteindre uneposition d’équilibre, avec une élongation non nulle

I après desoscillations amorties

I la position d’équilibre varie avec la masse : l’élongation croît avec la masse de l’objet suspendu

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Mouvement

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Mouvement

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Mouvement

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1. Loi de Hooke 1.1 Observations

1.2 Modélisation : Loi de force

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Description

I sans le ressort, l’objet chute sous l’effet d’une force, lepoids #»

P

I une force possède une direction, elle est représentée par un vecteur I le ressort exerce une force, nomméetension, notée#»

T I à l’équilibre de la masse, la force #»

T compense la force#» P :

#»T+#» P =#»0.

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Description

P I une force possède une direction, elle est représentée par un vecteur

I le ressort exerce une force, nomméetension, notée#» T I à l’équilibre de la masse, la force #»

#»T+#» P =#»0.

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Description

P I une force possède une direction, elle est représentée par un vecteur I le ressort exerce une force, nomméetension, notée#»

T

I à l’équilibre de la masse, la force #»

#»T+#» P =#»0.

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Description

P I une force possède une direction, elle est représentée par un vecteur I le ressort exerce une force, nomméetension, notée#»

T I à l’équilibre de la masse, la force #»

T compense la force#»

P :

#»T+#»

P =#»0.

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Intensité T

I c’est lanormedu vecteur#»

T

I elle varie avecl’élongation, on vérifie :

I qu’elle croît linéairement avec l’élongation en faisant croître le poids de l’objet suspendu

I qu’elle est nulle quand aucun objet n’est suspendu (en négligeant le poids du ressort lui-même)

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Intensité T

T

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Intensité T

T

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Intensité T

T

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Intensité T

T

Tension

T=k|`−`0|

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Direction, sens

I #»

P et#»

Tsont de sens opposés

I de même si le ressort estcomprimépar le poids

on propose :

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Direction, sens

I #»

P et#»

I de même si le ressort estcomprimépar le poids on propose :

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Direction, sens

I #»

P et#»

Loi de Hooke

T#»=−k(`−`0)#»e→M

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Direction, sens

I #»

P et#»

Loi de Hooke

T#»=−k(`−`0)#»e_→M

I kla constante de raideur, positive I `−`₀l’élongation, positive ou négative

I #»e→Mle vecteur unitaire (sans dimension) colinéaire au ressort et dirigé de l’autre extrémité vers l’extrémité sur laquelle s’exerce #»

T I on vérifie la nécessité du signe−pour le sens de la force

I cette expression est valable quelle que soit la direction du ressort I Atoujours faire un schéma indiquant le sens de la force s’il est

connu, et ce que représente l’élongation

(30)

Caractère vectoriel de la force

on considère une massemimmobile au bout du ressort, soumise à #»g : I ressort à la verticale : #»

T+#»

P =#»0

I ressort à l’horizontale : #» T et #»

Psont orthogonaux : la tension ne peut pas compenser le poids : le support exerce une force de réaction #»

R

telle que : #»

T +#» P+#»

R=#»0

I on traduit cette égalité sur lescomposantesdes vecteurs selon deux directions orthogonales, parprojection:

#»ex·#» T+#»

R+#» P

= 0→`=`0#»ez·#» T +#»

R+#» P

= 0→Rz=mg

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Caractère vectoriel de la force

T+#»

P =#»0 I ressort à l’horizontale : #»

T et #»

P sont orthogonaux : la tension ne peut pas compenser le poids : le support exerce une force de réaction #»

R

telle que : #»

T +#»

P+#»

R=#»0

#»ex·#» T+#»

R+#» P

= 0→`=`0#»ez·#» T +#»

R+#» P

= 0→Rz=mg

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Caractère vectoriel de la force

T+#»

P =#»0 I ressort à l’horizontale : #»

T et #»

P sont orthogonaux : la tension ne peut pas compenser le poids : le support exerce une force de réaction #»

R

telle que : #»

T +#»

P+#»

R=#»0

#»e_x·#»

T+#»

R+#»

P

= 0→`=`0#»e_z·#»

T+#»

R+#»

P

= 0→R_z=mg

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Notations

I on notePxlacomposanteduvecteur #»

Pselon levecteur unitairee#»x : Pxpeut être positive, négative ou nulle

I Pdésigne lanormeduvecteur#»

P, toujours positive ou nulle

(34)

Notations

I on notePxlacomposanteduvecteur #»

Pselon levecteur unitairee#»x : Pxpeut être positive, négative ou nulle

I Pdésigne lanormeduvecteur#»

P, toujours positive ou nulle

(35)

Forces de frottements

les oscillations sontamortiespar lesfrottements:

I avec l’air I avec le support I au sein du ressort

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Forces de frottements

les oscillations sontamortiespar lesfrottements: I avec l’air

I avec le support I au sein du ressort

(37)

Généralisation

I on peut généraliser à tout objetfaiblement déformé I on considère un objet déformé sous l’effet d’une force#»

Fopexercée par un opérateur

I à l’équilibre il exerce #»

F =−#»

Fopsur son extrémité I on observe que #»

F varie avec la déformation.

(38)

Généralisation

F =−#»

Loi de Hooke (1635-1703)

On considère un objet matériel déformé d’unvecteur déformation(ou élongation)∆l. Les faibles déformations sont dites# » élastiqueset la force exercée#»

Fe, par l’objet déformé sur une extrémité obéit à la loi de Hooke :

#»F =−k# »

∆l aveck>0nommé constante de raideur..

(39)

Généralisation

F =−#»

#»F_e=−k# »

#»F_eest diteforce de rappel élastique.

on retrouve#»

Fe=#»

T dans le cas d’un ressort idéal

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Généralisation

F =−#»

#»F_e=−k# »

(41)

Mise en équation Résolution Représentation de Fresnel Autres configurations

1. Loi de Hooke 2. Système dynamique 3. Considérations énergétiques 4. QCM

(42)

1. Loi de Hooke 2. Système dynamique 2.1 Mise en équation 2.2 Résolution

2.3 Représentation de Fresnel 2.4 Autres configurations 3. Considérations énergétiques 4. QCM

(43)

Cadre

le plus simple possible

I ressort horizontal idéal (sans masse entre autres)

I on fixe une massemà son extrémité I l’autre extrémité est fixe

I frottements négligés

(44)

Cadre

I ressort horizontal idéal (sans masse entre autres) I on fixe une massemà son extrémité

I l’autre extrémité est fixe I frottements négligés

(45)

Cadre

I l’autre extrémité est fixe

I frottements négligés

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Cadre

I l’autre extrémité est fixe I frottements négligés

(47)

Loi de la quantité de mouvement

(ou 2^eloi de Newton/principe fondamentale de la dynamique) on note : I Mla position de l’extrémité mobile

I mla masse qui y est fixée I kla raideur du ressort

(48)

Loi de la quantité de mouvement

(ou 2^eloi de Newton/principe fondamentale de la dynamique) on note : I Mla position de l’extrémité mobile

I mla masse qui y est fixée I kla raideur du ressort la masse est soumise à :

I son poids #»

P

I la réaction du support #»

R I la force de tension du ressort#»

T à tout instant :

m#»a(M) = #» P+#»

T +#» R

(49)

Loi de la quantité de mouvement

(ou 2^eloi de Newton/principe fondamentale de la dynamique) la masse est soumise à :

I son poids #»

P

T à tout instant :

m#»a(M) = #» P+#»

T +#» R

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Loi de la quantité de mouvement

(ou 2^eloi de Newton/principe fondamentale de la dynamique) la masse est soumise à :

I son poids #»

P

T à tout instant :

m#»a(M) = #»

P+#»

T +#»

R

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(52)

Position d’équilibre

on la recherche en écrivant queMesttoujoursimmobile : I #»a(M) =#»0

I doncPx+Rx+Tx= 0etPz+Rz+Tz= 0 I soitR_z=mget`=`0

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Position d’équilibre

I doncPx+Rx+Tx= 0etPz+Rz+Tz= 0

I soitR_z=mget`=`0

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Position d’équilibre

I doncPx+Rx+Tx= 0etPz+Rz+Tz= 0 I soitR_z=mget`=`0

(55)

Position d’équilibre

on la recherche en écrivant queMesttoujoursimmobile : I #»a(M) =#»

0

I doncP_x+R_x+T_x= 0etP_z+R_z+T_z= 0 I soitRz=mget`=`₀

Caractérisation

L’élongation d’un ressort idéalhorizontalest nulle à l’équilibre.

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Position d’équilibre

I doncP_x+R_x+T_x= 0etP_z+R_z+T_z= 0 I soitRz=mget`=`₀

Caractérisation

L’élongation d’un ressort idéalhorizontalest nulle à l’équilibre.

I Ace sera différent pour un ressort vertical

I Ace n’est pas parce que l’élongation est nulle à un instant que le ressort va demeurer immobile

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Équation différentielle d’évolution de l’élongation

cas général :Mpeut être en mouvement

I on orientee#»_xdans le sens du ressort

I on choisit l’originex= 0quandl=l0: soitx=`−`0

I le support imposeaz= 0: on a toujoursRz=mg I on a maintenant :

(58)

Équation différentielle d’évolution de l’élongation

cas général :Mpeut être en mouvement I on orientee#»_xdans le sens du ressort

(59)

Équation différentielle d’évolution de l’élongation

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Équation différentielle d’évolution de l’élongation

I le support imposeaz= 0: on a toujoursRz=mg

I on a maintenant :

(61)

Équation différentielle d’évolution de l’élongation

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Équation différentielle d’évolution de l’élongation

Équation fondamentale

ma_x =−k(`−`0) =−kx=md²x

dt² −→ d²x dt² + k

mx= 0

(63)

Résolution d’une équation différentielle ?

I c’est une équation vérifiée par lafonctionx(t) I elle fait intervenirx(t)et ses dérivées

I une même équation différentielle aura souvent uneinfinitéde solutions ayant la même forme

(64)

Résolution d’une équation différentielle ?

I c’est une équation vérifiée par lafonctionx(t) I elle fait intervenirx(t)et ses dérivées

I une même équation différentielle aura souvent uneinfinitéde solutions ayant la même forme

Méthode

I reconnaître une équation différentielle connue

I chercher parmi toutes ses solutions celle qui correspond aux conditions initialesdu phénomène physique, valeurs dex(t0)et

dx

dt(t0)à l’instantt0par exemple

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Solution générale

Théorème (Solution canonique) Lessolutions de l’équation différentielle

d²X

dt² +ω²X= 0 sont les fonctions sinusoïdales de pulsationω:

X(t) =Xmcos(ωt+ϕ)

On définit également la fréquencef =ω/(2π)et la périodeT= 1/f = 2π/ω=. Un système régit par cette équation différentielle est unoscillateur harmonique. La pulsation d’un système masse-ressort estω=

qk m.

I iciX=x−`eqdécrit l’écart à la position d’équilibre I ω= 2πfou2πνavec f ouνlafréquencede l’oscillation

I ωest caractéristique du système physique : il faut changer le ressort ou la masse pour la modifier

I en revanche, l’élongation maximale, les instants où elle est atteinte, dépendent de l’excitation qu’on a donnée initialement

(66)

Solution générale

d²X

qk m. I iciX=x−`eqdécrit l’écart à la position d’équilibre

I ω= 2πfou2πνavec f ouνlafréquencede l’oscillation

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Solution générale

d²X

qk m. I iciX=x−`eqdécrit l’écart à la position d’équilibre I ω= 2πfou2πνavec f ouνlafréquencede l’oscillation

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Solution générale

d²X

qk m. I iciX=x−`eqdécrit l’écart à la position d’équilibre

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Solution générale

d²X

qk m. I iciX=x−`eqdécrit l’écart à la position d’équilibre I ω= 2πfou2πνavec f ouνlafréquencede l’oscillation

sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 27/51

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Courbe

0 T/2 T 3T/2

Xm

−ϕ/ω

t

x

I xmest l’amplitudeiel’élongation maximale atteinte au cours du mouvement

I la phaseϕcaractérise le décalage entre l’instantt= 0et l’instant du premier passage par0

I ϕreprésente l’avancedu signal par rapport à un signal de phase nulle

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Déphasages

0 T/2 T 3T/2

T/4=^π/(2ω)

T/2=^π/ω

a <0, ˙X0,X˙0>0

t

X X˙ X¨

phases remarquables

I ϕ= 0: signauxen phase

I ϕ=π/2: signalen quadrature avance (vitesse / position)

I ϕ=−π/2: signal enquadrature retard I ϕ=±π: signal enopposition de phase

(accélération / position)

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Déphasages

0 T/2 T 3T/2

T/4=^π/(2ω)

T/2=^π/ω

a <0, ˙X0,X˙0>0

t

X X˙ X¨

phases remarquables

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Déphasages

0 T/2 T 3T/2

T/4=^π/(2ω)

T/2=^π/ω

a <0, ˙X0,X˙0>0

t

X X˙ X¨

phases remarquables

I ϕ=−π/2: signal enquadrature retard

I ϕ=±π: signal enopposition de phase (accélération / position)

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Déphasages

0 T/2 T 3T/2

T/4=^π/(2ω)

T/2=^π/ω

a <0, ˙X0,X˙0>0

t

X X˙ X¨

phases remarquables

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Validation du modèle

on vérifie que le mouvement est bien sinusoïdal, en particulier I la vitesse est bien en quadrature avance par rapport à la position

I l’accélération est bien en opposition de phase

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Validation du modèle

on vérifie que le mouvement est bien sinusoïdal, en particulier I la vitesse est bien en quadrature avance par rapport à la position I l’accélération est bien en opposition de phase

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Illustration

animation¹

1. http ://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/

Oscillateurs/oscillateur_horizontal.php

(78)

Conditions initiales

pour un même système (ieune même pulsation), il existe une infinité de solutions de même pulsation, elles diffèrent par :

I leuramplitude|X_m|(on choisiraX_m>0) I leurphaseϕ

I ces paramètres peuvent être quelconques, ils dépendent des conditions initialesx(t0)etdx

dt(t0), aussi notéex(t˙ 0)

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Conditions initiales

I leuramplitude|X_m|(on choisiraX_m>0)

I leurphaseϕ

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Conditions initiales

(81)

Conditions initiales

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Conditions initiales

on prendt0= 0pour simplifier :

I on détermineX_metϕà l’aide dex(0)etdx dt(0) I cas simples :

I X(0) =u06= 0etdX dt(0) = 0 I X(0) = 0etdX

dt(0) =v06= 0

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Conditions initiales

I on détermineX_metϕà l’aide dex(0)etdx dt(0)

I cas simples :

dt(0) =v06= 0

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Conditions initiales

dt(0) =v06= 0

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Conditions initiales

I X(0) =u06= 0etdX dt(0) = 0

I X(0) = 0etdX

dt(0) =v06= 0

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Conditions initiales

dt(0) =v06= 0

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Autre expression

on peut écrire la solution générale sous une autre forme : X(t) =Xmcos(ωt+ϕ) =X1cos(ωt) +X2sin(ωt)

I les constantesX1etX2s’expriment en fonction deX0etϕ I elles sont plus difficiles à interpréter :X_m=p

X₁²+X₂², tan(ϕ) =−X2/X1(à établir avec laconstruction de Fresnel) I mais elles sont facilement reliées àx(0)etdx

dt(0)

(88)

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Principe

I on a une oscillation x=Xmcos(ωt)

I on lui associe un complexe de moduleXmet d’argumentωt: x=Xmexp(iωt): c’est sa représentation de Fresnel I l’évolution temporelle dex

correspond à unerotationdu vecteur d’affixexdans le plan complexe

I on a à chaque instantx=Re(x),x est l’abscisse du complexex I six=Xmcos(ωt+ϕ),

x=Xmexp(i(ωt+ϕ)): le vecteur d’affixexest tourné deϕ

x

ωt Xm

−Xm

(90)

2.3 Représentation de Fresnel 2.4 Autres configurations

3. Considérations énergétiques 4. QCM

(91)

Changement d’origine

choisir une autre origine pourxrajoute une constante dans l’expression : laposition d’équilibrex_edans les nouvelles coordonnées :

x(t) =x_e+X0cos(ωt+ϕ)avecx_e=l0

l’élongationest toujoursnulleà l’équilibre pour un ressort horizontal

(92)

Ressort vertical

pour un ressort vertical, l’élongation à l’équilibre est non nulle y(t) =ye+Ymcos(ωt+ϕ)

avecle=l0+^mg_k

la pulsation est indépendante de#»g (mais pas dem)