S1 - Oscillateur harmonique vertical

S1 - Oscillateur harmonique vertical

S2 - Oscillateur harmonique quelconque

1°) et 2°)

3°) Donc : −𝑘𝑘�𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒− 𝑙𝑙0�= −𝑚𝑚𝑚𝑚sin𝛼𝛼

⇔ 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒 =𝑙𝑙0+𝑚𝑚𝑚𝑚sin𝛼𝛼 𝑘𝑘 4°) Et : 𝑇𝑇0 = 2𝜋𝜋�^𝑚𝑚_𝑘𝑘

S3 - Masse reliée à deux ressorts

S4 - Association de ressorts

1°)

- PFD en M : 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ =−𝑘𝑘₂(𝑙𝑙₂− 𝑙𝑙₂₀)

- PFD en A : 0 = 𝑘𝑘2(𝑙𝑙₂− 𝑙𝑙20)− 𝑘𝑘1(𝑙𝑙₁− 𝑙𝑙10)

⇔ 𝑙𝑙1 = 𝑙𝑙10+k₂

k1(𝑙𝑙₂− 𝑙𝑙20) Or :

𝑙𝑙₂+𝑙𝑙₁ = x ⇔ l₁ = 𝑙𝑙₂− 𝑥𝑥 Donc : x = 𝑙𝑙10+^k_k²

1(𝑙𝑙₂− 𝑙𝑙20) +𝑙𝑙2

⇔ 𝑙𝑙₂ = k1

k₁+ k₂(x−l₁₀) + k2

k₁+ k₂𝑙𝑙₂₀

⇔ 𝑙𝑙2− 𝑙𝑙20 = k₁

k1+ k2(x−l10)− k₁ k1+ k2𝑙𝑙20

⇔ 𝑙𝑙₂− 𝑙𝑙₂₀ = k1

k1 + k2 (𝑥𝑥 − 𝐿𝐿₀)

⇒ 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ =−𝑘𝑘2� k₁

k1 + k2(𝑥𝑥 − 𝐿𝐿0)�

D’où : 𝜔𝜔02 =_m(k^k1k2

1+k₂) et 𝐿𝐿0 = 𝑙𝑙20+𝑙𝑙10

2°) PFD en m : 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ =𝑘𝑘2(𝑙𝑙₂− 𝑙𝑙20)− 𝑘𝑘1(𝑙𝑙₁− 𝑙𝑙10)

⇔ 𝑚𝑚𝑥𝑥̈=𝑘𝑘₂(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥 − 𝑙𝑙₂₀)− 𝑘𝑘₁(𝑥𝑥 − 𝑙𝑙₁₀)

⇔ 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ =−(𝑘𝑘₂+𝑘𝑘₁)𝑥𝑥+𝑘𝑘2(𝐿𝐿 − 𝑙𝑙₂₀)− 𝑘𝑘1𝑙𝑙₁₀

D’où :

𝜔𝜔₀² =k₁+ k₂

m et 𝐿𝐿0 = 𝑘𝑘₂(𝐿𝐿 − 𝑙𝑙₂₀)− 𝑘𝑘₁𝑙𝑙₁₀ k2 + k1

3°) PFD en m : 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ =−𝑘𝑘₂(𝑥𝑥 − 𝑙𝑙₂₀)− 𝑘𝑘₁(𝑥𝑥 − 𝑙𝑙₁₀) D’où :

𝜔𝜔₀² =^k1_m^+k2 et 𝐿𝐿₀ = ^{𝑘𝑘2𝑙𝑙}_𝑘𝑘^{20+𝑘𝑘1𝑙𝑙10}

2+𝑘𝑘₁

S5 - Pendule élastique spécial

D’après le PFD : 𝑚𝑚𝑥𝑥̈=−𝑘𝑘(𝑙𝑙 − 𝑙𝑙₀)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐θ= −𝑘𝑘(𝑙𝑙 − 𝑙𝑙₀)^𝑥𝑥_𝑙𝑙 = −𝑘𝑘 �1−_{�𝑎𝑎²+𝑥𝑥²}^𝑙𝑙0 � 𝑥𝑥

⇔ 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ ≈ 𝑘𝑘 �1−^𝑙𝑙_𝑎𝑎⁰� 𝑥𝑥 d’où 𝜔𝜔02 = _𝑚𝑚^𝑘𝑘 �1−^𝑙𝑙_𝑎𝑎⁰�

S6 - Pendule simple entraîné

1°) On a 𝐸𝐸_𝑝𝑝 = 𝐸𝐸_{𝑝𝑝𝑝𝑝} =−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼 2°) Soit 𝑣𝑣����⃗_𝐴𝐴= 𝑥𝑥̇𝑢𝑢����⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑣𝑣_𝑥𝑥 ����⃗_𝑝𝑝 =𝑥𝑥̇𝑢𝑢����⃗_𝑥𝑥+𝑙𝑙𝛼𝛼̇𝑢𝑢����⃗ _𝛼𝛼 Donc 𝐸𝐸𝑐𝑐= 𝑚𝑚𝑥𝑥̇²+¹₂𝑚𝑚(𝑙𝑙𝛼𝛼̇)² +𝑚𝑚𝑙𝑙𝛼𝛼̇𝑥𝑥̇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼

3°) D’où 𝐸𝐸𝑚𝑚 =−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼+ 𝑚𝑚𝑥𝑥̇²+¹₂𝑚𝑚(𝑙𝑙𝛼𝛼̇)² +𝑚𝑚𝑙𝑙𝛼𝛼̇𝑥𝑥̇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼

S7 - Mouvement au voisinage d’une position d’équilibre stable

1°) 𝐸𝐸𝑝𝑝 =−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐θ+¹₂𝑘𝑘(𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑙𝑙₀)² +¹₂𝑘𝑘(𝐵𝐵𝐴𝐴 − 𝑙𝑙₀)² +𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒

𝑂𝑂𝑂𝑂 𝐴𝐴𝐴𝐴= 𝑙𝑙0+𝑙𝑙𝑐𝑐𝑙𝑙𝑙𝑙θ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐵𝐵𝐴𝐴 =𝑙𝑙0− 𝑙𝑙𝑐𝑐𝑙𝑙𝑙𝑙θ Donc 𝐸𝐸𝑝𝑝 =−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐θ+𝑘𝑘𝑙𝑙²(𝑐𝑐𝑙𝑙𝑙𝑙θ)² +𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒

Si θ est petit on a alors

𝐸𝐸_𝑝𝑝 =−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙 �1−θ²

2�+𝑘𝑘𝑙𝑙²(θ)²+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 Si Ep(0)=0 alors :

𝐸𝐸_𝑝𝑝 =𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙θ²

2 +𝑘𝑘𝑙𝑙²(θ)²⇔𝐸𝐸_𝑝𝑝 =θ²

2 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙+ 2𝑘𝑘𝑙𝑙²) C’est une position d’équilibre stable

2°) On a 𝐸𝐸𝑐𝑐= ¹₂𝑚𝑚𝑙𝑙^2𝜃𝜃2̇ d^′𝑐𝑐ù ^{𝑑𝑑𝐸𝐸}_{𝑑𝑑𝑑𝑑}^𝑚𝑚=θ̇ �𝑚𝑚𝑙𝑙²𝜃𝜃̈+θ(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙+ 2𝑘𝑘𝑙𝑙²)�= 0

⇔𝜃𝜃̈+θ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙+ 2𝑘𝑘𝑙𝑙²

𝑚𝑚𝑙𝑙² = 0

⇔𝜃𝜃̈+θ�𝑚𝑚 𝑙𝑙 +2𝑘𝑘

𝑚𝑚�= 0

S8 – Valeurs efficaces

a) Soit < 𝑢𝑢 >=_𝑇𝑇¹∫₀^{𝛼𝛼𝑇𝑇}u_mdt =𝛼𝛼u_m

b) < 𝑢𝑢² >=_𝑇𝑇¹∫₀^{𝛼𝛼𝑇𝑇}(um)²dt =𝛼𝛼(um)² ⇒ 𝑢𝑢𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = √𝛼𝛼um

c) Pas d’erreur pour α =¹₂, par contre pour α= ¹₄ l’appareil introduit une erreur relative de : η=

�¹₂−�¹₄

�¹₄ =√2−1 = 41%

S9 – Télémétrie

S10 - Effet Doppler

S11 - Onde longitudinale sur un ressort

S12 - Séisme

S13 - Trains d’ondes

S14 - Onde progressive sinusoïdale

S15 - Résonances de la corde de Melde

S16 - Trombone de Koenig

S17 - Tube de Kundt

S18 - Frettes d’une guitare

S19 - Ecoute musicale et interférences

S20 - Accord d’un piano