Devoir Maison 1
Astérosismologie ; Oscillateur harmonique
Corrigé
1 Modèle de Rayleigh de vibration d’une étoile
1.1 Déterminons les dimension de la constante de gravitation universelleG.
Par définition de l’interaction gravitationnelle #On cite ses sources en donnant le nom de la loi.
F=−Gm1m2
r2 ⇔G=− F r2 m1m2
Or deux grandeurs comparables ont les mêmes dimensions. Donc #On justifie le passage aux dimen- sions.
dim(G)=dim(F)dim(r)2 dim(m)2 avec
dim(F)=MLT−2 dim(r)=L dim(m)=M d’où
dim(G)=M−1L3T−2
1.2 Lord Rayleigh propose que la fréquence de résonance d’une étoile dépende :
• du rayonRde l’étoile, avec dim(R)=L;
• de la masse volumiqueρde l’étoile, avec dim(ρ)=ML−3;
• de la constanteGde gravitation universelle, avec dim(G)=M−1L3T−2. Recherchons les réelsa,betctels que #On explique ce qu’on fait
f =kRaρbGc (sans expliciter la constante sans dimensionk).
En passant aux dimensions
(�)dim(f)=dim(R)adim(ρ)bdim(G)c ⇔ T−1=La×MbL−3b×M−cL3cT−2c (�) ⇔
−1 = −2c 0 = a−3b+3c 0 = b−c (�) ⇔
a = 0 b = 12 c = 12 On obtient la relation
f =k�
ρG indépendante du rayon de l’étoile
Ce résultat est en accord avec l’article de Rayleigh #On justifie en extrayant les passages du texte.
• "independent of the diameter", iciR0;
• "directly as the square root of the density, ici �ρ, où la masse volumiqueρ est proportionnelle à la densité.
1.3 En astérosismologie, la mesure de la fréquence permet d’accéder à la densité/la masse volumique de l’étoile.
Il faut cependant connaître la constantek, mesurable sur une étoile connue, le Soleil.
MPSI DM 1 - Astérosismologie ; Oscillateur harmonique 2020-2021 1.4 Le spectre du Soleil présente un maximum (large) autour de 2mHz. #On explicite la valeur lue sur le
graphique
D’après le résultat précédent
f =k�
ρG⇔ k=f
�4πRS3
3MSG =7 # sans unité
#on fera attention au piège, le rayon est donné en kilomètres, à convertir en mètres. On se souviendra du volume d’une boule est V =43πR3.
Le second spectre présente un pic autour de 2,4mHz. On en déduit la masse volumique d’alpha du Cen- taure.
f =k�
ρG⇔ ρ= f2
k2G =2·103kg·m−3
# Cette masse volumique 40% plus élevée que celle du Soleil. Normal pour une étoile plus massive (la masse d’une étoile augmente plus vite que son volume).
2/2 8 septembre 2021
