Oscillateur amorti

(1)

Oscillateur amorti

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

Mardi 16 novembre 2021

(2)

Oscillateur harmonique amorti par frottement visqueux Régime libre Régime sinusoïdal établi Caractéristiques des réponses harmoniques

Oscillateur amorti

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

Mardi 16 novembre 2021

(3)

Ï une seule évolution pour un système du premier ordre : on va voir qu’un oscillateur harmonique amorti peut présenter2(3) types de régimes transitoires, selon l’intensité des phénomènes dissipatifs

Ï que se passe-t-il enrégime établi,ieavec une excitation extérieure dépendante du temps ?

Ï on va se limiter au cas d’un régimesinusoïdalétabli pour lequel on pourra observer, dans certains cas le phénomène de

résonance: l’amplitude de l’oscillateur devient bien supérieure à celle de l’excitation

Ï latransformation de Fourierassure qu’on pourra ainsi décrire la réponse à n’importe quelle excitation

(4)

Ï une seule évolution pour un système du premier ordre : on va voir qu’un oscillateur harmonique amorti peut présenter2(3) types de régimes transitoires, selon l’intensité des phénomènes dissipatifs Ï que se passe-t-il enrégime établi,ieavec une excitation

extérieure dépendante du temps ?

(5)

(6)

(7)

Exemples

on retrouve ce modèle dans de nombreux domaines :

Ï excitation de suspensions de voitures par une route accidentée

Ï excitation des électrons d’un atome par le champ électromagnétique (bleu du ciel, laser)

Ï excitation des marées par l’attraction gravitationnelle du soleil et de la lune (périodiques).

Ï excitation électrocinétique par une tension sinusoïdale, Ï excitation mécanique périodique (pousser une balançoire) Ï excitation mécanique par une onde sonore (verre d’eau/

diapason)

Ï couplage des deux + rétroaction (Larsen)

(8)

Exemples

Ï excitation de suspensions de voitures par une route accidentée Ï excitation des électrons d’un atome par le champ

électromagnétique (bleu du ciel, laser)

diapason)

(9)

Exemples

diapason)

(10)

Exemples

Ï excitation électrocinétique par une tension sinusoïdale,

Ï excitation mécanique périodique (pousser une balançoire) Ï excitation mécanique par une onde sonore (verre d’eau/

diapason)

(11)

Exemples

Ï excitation électrocinétique par une tension sinusoïdale, Ï excitation mécanique périodique (pousser une balançoire)

Ï excitation mécanique par une onde sonore (verre d’eau/

diapason)

(12)

Exemples

(13)

Exemples

diapason)

(14)

Exemples

Amortissement par frottement visqueux

1. Oscillateur harmonique amorti par frottement visqueux

2. Régime libre

3. Régime sinusoïdal établi

4. Caractéristiques des réponses harmoniques

(15)

Exemples

1. Oscillateur harmonique amorti par frottement visqueux 1.1 Exemples

1.2 Amortissement par frottement visqueux

2. Régime libre

(16)

Exemples

Deux systèmes équivalents

point matériel lié à un ressort idéal, sans dissipation

˙ + )= →¨+ω = pulsation :ω =p / .

circuit LC, sans dissipation

˙ + = → ¨ +ω = + pulsation :ω = /p .

phénomènes dissipatifs Ï #»_{= −α}_˙#»en mécanique Ï = ˙ en électrocinétique

(17)

Exemples

Deux systèmes équivalents

˙ + )= →¨+ω = pulsation :ω =p / .

˙ + = → ¨ +ω = + pulsation :ω = /p .

(18)

Exemples

Deux systèmes équivalents

˙ + )= →¨+ω = pulsation :ω =p / .

˙ + = → ¨ +ω = + pulsation :ω = /p .

(19)

Exemples

Deux systèmes équivalents

˙ + )= →¨+ω = pulsation :ω =p / .

˙ + = → ¨ +ω = + pulsation :ω = /p . phénomènes dissipatifs Ï #»_{= −α}_˙#»en mécanique

Ï = ˙ en électrocinétique

(20)

Exemples

Deux systèmes équivalents

˙ + )= →¨+ω = pulsation :ω =p / .

˙ + = → ¨ +ω = + pulsation :ω = /p . phénomènes dissipatifs Ï #»_{= −α}_˙#»en mécanique

Ï = ˙ en électrocinétique

(21)

Exemples

1. Oscillateur harmonique amorti par frottement visqueux 1.1 Exemples

1.2 Amortissement par frottement visqueux

2. Régime libre

(22)

Exemples

Phénomènes dissipatifs

Amortissement des oscillations en présence de causes d’amortissement

Ï forces de frottement : #»

= −α˙#» Ï effet Joule : = − ˙

(23)

Exemples

Phénomènes dissipatifs

= −α˙#»

Ï effet Joule : = − ˙

(24)

Exemples

Phénomènes dissipatifs

= −α˙#»

Ï effet Joule : = − ˙

(25)

Exemples

Phénomènes dissipatifs

Définition (Équation canonique)

Un oscillateur harmonique d’élongation et de pulsation propreω est ditamorti par frottement visqueuxsi est solution de l’équation différentiellecanonique:

¨+ω ˙+ω = ,

caractérisée par le facteur de qualité > , sans dimension.

(26)

Exemples

Phénomènes dissipatifs

Définition (Équation canonique)

Un oscillateur harmonique d’élongation et de pulsation propreω est ditamorti par frottement visqueuxsi est solution de l’équation différentiellecanonique:

¨+ω ˙+ω = ,

caractérisée par le facteur de qualité > , sans dimension.

mécanique = /(αω )=p /α

électrocinétique ^p

(27)

Portrait de phase Réponse à un échelon

Trois régimes de relaxation vers l’asymptote Allure des courbes

Aspect énergétique

Exercice : charge d’un dipôle RLC série

1. Oscillateur harmonique amorti par frottement visqueux 2. Régime libre

(28)

2.1 Portrait de phase 2.2 Réponse à un échelon

2.3 Trois régimes de relaxation vers l’asymptote 2.4 Allure des courbes

2.5 Aspect énergétique

2.6 Exercice : charge d’un dipôle RLC série 3. Régime sinusoïdal établi

(29)

En présence de dissipation,3types d’évolution sont possibles, selon la valeur du facteur de qualité (l’un des 3 est un cas particulier)

(30)

Illustration : régime pseudopériodique =

−1 −0,5 0 0,5 1

−1

−0,5 0 0,5 1

X/X_m

˙ X/(ωX)0m

Ï l’écart à l’attracteur ( = , ˙= ) diminue,

Ï phénomèneirréversible: courbe non symétrique, évolution non périodique Ï nombre infini de « tours »

(pseudopériode) avant l’équilibre,

Ï pour élevé, faible diminution relative d’énergie (−∆Em/Em) par tour

(31)

Illustration : régime pseudopériodique =

−1 −0,5 0 0,5 1

−1

−0,5 0 0,5 1

X/X_m

˙ X/(ωX)0m

Ï l’écart à l’attracteur ( = , ˙= ) diminue, Ï phénomèneirréversible:

courbe non symétrique, évolution non périodique

Ï nombre infini de « tours » (pseudopériode) avant l’équilibre,

(32)

Illustration : régime pseudopériodique =

−1 −0,5 0 0,5 1

−1

−0,5 0 0,5 1

X/X_m

˙ X/(ωX)0m

courbe non symétrique, évolution non périodique Ï nombre infini de « tours »

(33)

Illustration : régime pseudopériodique =

−1 −0,5 0 0,5 1

−1

−0,5 0 0,5 1

X/X_m

˙ X/(ωX)0m

courbe non symétrique, évolution non périodique Ï nombre infini de « tours »

(34)

Illustration : régime apériodique = , et = ,

−1 −0,5 0 0,5 1

−1

−0,5 0 0,5 1

X/Xm

˙ X/(ωX)0m

Q = 0,2 Q = 0,2 Q = 0,4 Q = 0,4

Ï la perte d’énergie est plus rapide

Ï la trajectoire ne fait plus le tour de l’attracteur

Ï on met toujours un temps infini pour se stabiliser à l’attracteur

Ï le 3^ecas a la même allure

(35)

Illustration : régime apériodique = , et = ,

−1 −0,5 0 0,5 1

−1

−0,5 0 0,5 1

X/Xm

˙ X/(ωX)0m

Q = 0,2 Q = 0,2 Q = 0,4 Q = 0,4

(36)

Illustration : régime apériodique = , et = ,

−1 −0,5 0 0,5 1

−1

−0,5 0 0,5 1

X/Xm

˙ X/(ωX)0m

Q = 0,2 Q = 0,2 Q = 0,4 Q = 0,4

(37)

Illustration : régime apériodique = , et = ,

−1 −0,5 0 0,5 1

−1

−0,5 0 0,5 1

X/Xm

˙ X/(ωX)0m

Q = 0,2 Q = 0,2 Q = 0,4 Q = 0,4

(38)

(39)

Réalisation

Excitation par une fonction de Heaviside : ( )= ∞ ( ):

¨+ω

˙+ω =ω ( )

mécanique en lâchant la masse initialement soutenue ou en déplaçant brutalement le point d’attache du ressort électrocinétique en excitant le dipôle par un échelon de tension

le système évolue vers ∞=

(40)

Réalisation

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

0 0,5 1 1,5

t/T0 X/Y0

Q = 3 Q = 0,3

0 0,5 1 1,5 2

−1

−0,5 0 0,5 1

X/Y₀

˙ X/(ωY)00

Q = 3 Q = 0,3

(41)

(42)

Régimes transitoires

Théorème (Régimes transitoires) On distingue trois régimes transitoires : régime apériodique pour <

( )= ∞+ ⁻

ω

¡ coshω + sinhω¢

régime critique pour =

( )= ∞+ ^−ω ¡

+ ω ¢ régime pseudo-périodique amorti pour >

( )= ∞+ ⁻

ω

¡ cosω + sinω¢

= ∞+ ⁻

ω

cos¡ ω +ϕ¢

(43)

Caractéristiques

Ï l’écart à l’asymptote − ∞décroît exponentiellement en un temps de l’ordre de ^{max( ; / )}_ω

Ï quel que soit le régime transitoire dépend de deux paramètres ( ^, ) ou ( ^,ϕ),déterminés par les conditions initiales

Ï dans le cas = /, on aartificiellementrajouté unω pour que les deux constantes et aient la même dimension, celle de

(44)

Caractéristiques

(45)

Caractéristiques

(46)

Résistance et frottement critiques

Résistance critique

Un dipôle RLC série est caractérisé par unerésistance critique = p / . Soumis à un échelon de tension, la nature de son évolution temporelle dépend de − . Elle est :

apériodique pour les forts amortissementsie > ↔ < , critique pour = ↔ = ,

pseudopériodique amorti pour les faibles amortissementsie < ↔ > . La « durée » du régime transitoire est minimale pour = , infinie pour = et → ∞.

(47)

Résistance et frottement critiques

Résistance critique

Un dipôle RLC série est caractérisé par unerésistance critique = p / . Soumis à un échelon de tension, la nature de son évolution temporelle dépend de − . Elle est :

apériodique pour les forts amortissementsie > ↔ < , critique pour = ↔ = ,

pseudopériodique amorti pour les faibles amortissementsie < ↔ > . La « durée » du régime transitoire est minimale pour = , infinie pour = et → ∞.

Ï dans un oscillateur mécanique, c’est le coefficient de frottement α = ω qui jouera le rôle de

Ï = Ω, = mH, = µF→ ≡ω /( π)= , Hz et = ,

(48)

(49)

Simulations

Ï Animation circuit RLC Ï Animation oscillateur amorti

(50)

Régimes apériodique et critique

0 1 2 3 4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

t/T0 uc/E

Q = 0,5 Q = 0,2 Q = 0,1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

−0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

t/T0 uc/E

uC

u_R

uL

(51)

Régimes apériodique et critique

0 1 2 3 4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

t/T0 uc/E

Q = 0,5 Q = 0,2 Q = 0,1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

−0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

t/T0 uc/E

u_C

u_R

uL

Ï ressemble à une exponentielle mais la tangente peut être nulle à l’origine

Ï un seul maximum ou minimum, dépasse au plus une fois l’asymptote ( et l’accélération)

(52)

Régime pseudopériodique amorti

0 1 2 3 4 5 6

0 0,5 1 1,5

t/T0 uc/E

Q = 7 Q = 4 Q = 0,5

0 2 4 6 8 10

0 0,5 1 1,5 2

t/T0 uc/E

Q = 8 Q = 20 Q =∞R = 0

(53)

Régime pseudopériodique amorti

0 1 2 3 4 5 6

0 0,5 1 1,5

t/T0 uc/E

Q = 7 Q = 4 Q = 0,5

0 2 4 6 8 10

0 0,5 1 1,5 2

t/T0 uc/E

Q = 8 Q = 20 Q =∞R = 0

Ï pseudopériodiquecar − ∞= ⁻

ω

( )avec ( )périodique de période

= π/ω

Ï les passages par l’asymptote sont équidistants de π/ω Ï infinité de maximas locaux/ dépassement de\(x∞\)_

(54)

Décrément logarithmique

Enveloppe exponentielle

En régime pseudopériodique amorti :

Ï l’amplitude des oscillations est « enveloppée » par des exponentielles de constante de temps /ω .

Ï pour toute grandeur , : la quantité^ln ₍₊^{( )−}_π_/_ω^∞₎₋_∞ est une

constante, indépendante de , nomméedécrément logarithmique et notéeδ. On a :

δ= π

p − '

→∞

π

(55)

Décrément logarithmique

Enveloppe exponentielle

En régime pseudopériodique amorti :

Ï l’amplitude des oscillations est « enveloppée » par des exponentielles de constante de temps /ω .

Ï pour toute grandeur , : la quantité^ln ₍₊^{( )−}_π_/_ω^∞₎₋_∞ est une

constante, indépendante de , nomméedécrément logarithmique et notéeδ. On a :

δ= π

p − '

→∞

π

Ï l’enveloppe est atteinte avec une périodicité de π/ω, mais le contact n’est pasexactement sur les maxima locaux

Ï peut être déterminé :

Ï par la constante de l’exponentielle (si est élevé)

(56)

(57)

Circuit LC oscillant

pas de source de dissipation, par analogie avec l’oscillateur mécanique :

(58)

Circuit LC oscillant

Équipartition de l’énergie La somme des énergies

électrostatique et magnétiquese conservedans un circuit

oscillant. Elle estpériodiquement transférée de la forme magnétique à la forme électrostatique à la pulsation ω . En moyenne temporelle :

〈E_élec〉 = 〈Emag〉 = = , ₀ _0,5 ₁ _1,5

0 0,5 1

E/Etot

E_L E_C

(59)

Circuit LC oscillant

Ï en particulier : pas d’état asymptotique

Ï les énergies oscillent deux fois plus rapidement que ( )et ( )

(60)

Circuit LC oscillant

(61)

Circuit LC oscillant

(62)

Avec amortissement

Décroissance de l’énergie

L’énergie mécaniqueEm= + ˙ d’un oscillateur harmonique amorti par frottement visqueux décroît avec le temps jusqu’à un équilibre d’élongation nulle ( = ; ˙= ).

Ï Em

=P³#»^´_{= −α}

É (Emag+Eélec)

= − É . Ï = − ∞dans le cas de la réponse à un échelon

Ï l’énergie est dissipée par effet Joule/ par frottement

(63)

Régime très faiblement amorti À

en régime très faiblement amorti : À

(64)

Régime très faiblement amorti À

Décroissance quasi-exponentielle Ï l’évolution de la somme des

énergie magnétique et électrostatique estpeu différente d’une décroissance exponentiellede temps caractéristique /ω Ï ladiminution relative

d’énergie par effet Joule sur une pseudo-période est inversement proportionnelle à

0 1 2 3 4 5

0 0,5 1

t/T0

E/Etot0

E_C E_L E_tot

(65)

(66)

Conditions initiales et asymptotiques

On considère le circuit de la figure ci-contre. L’interrupteur est initialement ouvert et le condensateur déchargé. On ferme l’interrupteur à l’instant = .

1 a Établir les équations différentielles vérifiées par les tensions aux bornes de chacun des dipôles et le courant les traversant.

b Exprimer de deux manières différentes le facteur de qualité en fonction de la pulsation caractéristiqueω du circuit et des constantes de temps des dipôles

− et − série.

E

i

R u_R

L u_L

C u_C

(67)

Conditions initiales et asymptotiques

2 a Quelles seront les valeurs pour À /ω et pour = ⁺de la tension , de l’intensité et de la tension ?

b En déduire les conditions initiales des équations différentielles vérifiées par , et .

c En déduire, pour le régime pseudopériodique amorti, l’ expression, pour > de la tension , en fonction uniquement de , etω .

(68)

Correction

1 a

+ω

+ω = → +ω

+ω = b

ω = p =ω = ω

2 a condensateur↔interrupteur ouvert, (bobine↔interrupteur fermé)

= = → = = → =

b = = → = = → = : ( )= , ( )=

(69)

Correction : expressions générales

( )=



 − ^−ω ^/( ⁾



cos µω q

−

¶ +

sin³_ω p

−

´

p −









( )=

sin³_ω p

−

´

p −

−ω /( )

( )= ^−ω ^/( ⁾



cos µω q

−

¶

−

sin³_ω p

−

´

p −





(70)

Équation canonique Cadre mathématique Réponse harmonique Détermination

(71)

3. Régime sinusoïdal établi 3.1 Équation canonique 3.2 Cadre mathématique 3.3 Réponse harmonique 3.4 Détermination

(72)

Exemple en mécanique

Point matériel de masse en mouvement unidimensionnel vertical soumis dansT galiléen à :

Ï son poids #»

= #»

Ï une force de frottement visqueux #»

= −α˙#»

Ï la force de rappel d’un ressort dont l’autre extrémité est mobile : ( )

(73)

Exemple en mécanique

Ï son poids #»

= #»

Ï une force de frottement visqueux #»_{= −α}_˙#»

Ï la force de rappel d’un ressort dont l’autre extrémité est mobile : ^{( )}

+α

+ = ( ).

(74)

Exemple en mécanique

Ï son poids #»

= #»

Ï une force de frottement visqueux #»_{= −α}_˙#»

Ï la force de rappel d’un ressort dont l’autre extrémité est mobile : ^{( )}

+α

+ = ( ).

Ï 2^emembre variable ^{( )}

équivalent à exercer directement sur la force # »

(75)

Exemple en électrocinétique

circuit RLC série soumis à une tension excitatrice ^{( )}variable