2 – Oscillateur RLC amorti

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Partie III – Signal et rayonnement III.1. Oscillateurs libres amortis

2 – Oscillateur RLC amorti

1 – Décharge d’un condensateur dans une bobine idéale (circuit LC)

• Circuit étudié : Représenter le circuit permettant : o Dans un premier, de charger le condensateur ;

o Dans un second temps, de le décharger dans une bobine idéale.

1.1. Charge préalable du condensateur (rappel 1BCPST)

• Etude théorique :

o Etablir l’équation suivie par la tension aux bornes du condensateur.

o Au bout de combien de temps est-il chargé ?

1.2. Décharge du condensateur dans une bobine idéale

o Etablir, mettre sous forme canonique et résoudre l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur 𝑢_𝐶(𝑡).

o Nommer, exprimer et proposer une unité pour le terme 𝜔₀. Indiquer est sa signification physique ? o Tracer l’évolution des grandeurs 𝑢_𝐶(𝑡), 𝑖(𝑡).

Doc 1 – Décharge du condensateur dans une bobine idéale

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• Etude énergétique :

o Montrer que l’énergie électromagnétique totale (condensateur et bobine) se conserve à partir de l’équation différentielle,

o Vérifier le résultat à partir des expressions obtenues pour les grandeurs 𝑢_𝐶(𝑡) et 𝑖(𝑡).

Doc 2 – Décharge du condensateur dans une bobine idéale – aspect énergétique

2 – Décharge d’un condensateur dans une bobine réelle (circuit RLC)

2.1. Equation différentielle

• Quelle est la différence entre une bobine idéale et une bobine réelle ?

o Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension 𝑢_𝐶(𝑡) et la mettre sous forme canonique : 𝑑²𝑢𝐶

𝑑𝑡² +𝜔0

𝑄 𝑑𝑢𝐶

𝑑𝑡 + 𝜔₀² 𝑢_𝐶 = 0

o Nommer et exprimer (en fonction des grandeurs caractéristiques des dipôles) les termes 0 et Q.

• Relaxation :

o Que signifie le terme « relaxation » ?

o Justifier l’existence de 3 modes de relaxation.

2.2. Bilan énergétique

• Montrer que l’énergie électromagnétique totale (bobine et condensateur) diminue au cours du temps.

• Quel dipôle est responsable des pertes énergétiques ?

• Facteur de qualité :

o Que se passe-t-il si R tend vers 0 ?

o Justifier le nom de facteur de qualité pour la grandeur Q.

2.3. Régime de relaxation apériodique

• A quelle condition observe-t-on ce mode de relaxation ?

• Résoudre l’équation différentielle.

• Comment vérifier que la solution est physiquement acceptable ?

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-3- Doc 3 – Relaxation apériodique

2.4. Régime de relaxation critique

• Comment vérifier que la solution est physiquement acceptable ? Doc 4 – Relaxation critique

2.5. Régime de relaxation pseudo-périodique

• Analyse physique :

o Quel terme est responsable du caractère oscillant de la relaxation ? Qu’appelle-t-on « pseudo-pulsation » ? o Comment évaluer le temps caractéristique d’une telle relaxation ?

o Comment vérifier que la solution est physiquement acceptable ?

• Méthode : comment tracer à la main ces courbes ?

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-4- Doc 5 – Relaxation pseudo-périodique

• Quelle est l’influence de la résistance sur ce tracé ? Que se passe-t-il si R tend vers 0 ? Doc 6 – Relaxation pseudo-périodique : influence de R

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3 – Exploitation d’un oscillogramme de relaxation pseudo-périodique

Exercice-type

Dans le circuit reproduit ci-dessous, le condensateur initialement déchargé. A t = 0, l’interrupteur est fermé. Le graphe obtenu est tel que l’axe des abscisses est le temps (en s) et l’axe des ordonnées, la tension 𝑢_𝐶(𝑡) (en V).

Déterminer les valeurs des grandeurs E, R et C.

3.1. Pseudo-pulsation

• Comment évaluer la pseudo-pulsation sur un tracé de relaxation pseudo-périodique ?

• Dans quel cas peut-on raisonnablement confondre pseudo-pulsation  et pulsation propre 0 ?

3.2. Décrément logarithmique

• Définir le décrément logarithmique.

• A partir de l’expression littérale de la tension uC(t) en régime pseudo-périodique, relier le décrément logarithmique au facteur de qualité Q.

• Quelle simplification peut-on opérer si Q est suffisamment grand ?