2 – Oscillateur RLC amorti

-1-

Partie III – Signal et rayonnement III.1. Oscillateurs libres amortis

2 – Oscillateur RLC amorti

1 – Décharge d’un condensateur dans une bobine idéale (circuit LC)

• Représenter le circuit permettant :

o Dans un premier, de charger le condensateur ;

o Dans un second temps, de le décharger dans une bobine idéale.

1.1. Charge préalable du condensateur

• Sachant que, lors de sa charge, la tension aux bornes du condensateur suit une loi du type : 𝑢 " 𝑡 = 𝐸 1 − 𝑒 ^{* + t} , au bout de combien de temps peut-on considérer le condensateur chargé ? (voir 1 ^ère année)

1.2. Décharge du condensateur dans une bobine idéale

• Etablir et résoudre l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur.

• Nommer et exprimer le terme 𝜔 - apparaissant dans la forme canonique de l’équation. Quelle est sa dimension ? 𝑑 ^/ 𝑢 _"

𝑑𝑡 ^/ + 𝜔 _- ^/ 𝑢 _" = 0

Doc 1 – Décharge du condensateur dans une bobine idéale

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• Montrer que l’énergie électromagnétique totale (condensateur et bobine) se conserve.

Doc 2 – Décharge du condensateur dans une bobine idéale – aspect énergétique

2 – Décharge d’un condensateur dans une bobine réelle (circuit RLC)

2.1. Equation différentielle

• Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur.

• Nommer et exprimer en fonction des grandeurs caractéristiques des dipôles, les termes w ₀ et Q apparaissant dans sa forme canonique :

𝑑 ^/ 𝑢 _"

𝑑𝑡 ^/ + 𝜔 _- 𝑄

𝑑𝑢 _"

𝑑𝑡 + 𝜔 _- ^/ 𝑢 _" = 0

• Justifier l’existence de 3 modes de relaxation.

2.2. Bilan énergétique

• Montrer que l’énergie électromagnétique totale (bobine et condensateur) diminue au cours du temps.

• Quel dipôle est responsable des pertes énergétiques ?

• Que se passe-t-il si R tend vers 0 ?

2.3. Régime de relaxation apériodique

• A quelle condition observe-t-on ce mode de relaxation ?

• Quelle est la forme mathématique des solutions dans ce cas ?

• Résoudre l’équation différentielle.

• Comment vérifier que la solution est physiquement acceptable ?

-3- Doc 3 – Relaxation apériodique

2.4. Régime de relaxation critique

• A quelle condition observe-t-on ce mode de relaxation ?

• Quelle est la forme mathématique des solutions dans ce cas ?

• Résoudre l’équation différentielle.

• Comment vérifier que la solution est physiquement acceptable ? Doc 4 – Relaxation critique

2.5. Régime de relaxation pseudo-périodique

• A quelle condition observe-t-on ce mode de relaxation ?

• Quelle est la forme mathématique des solutions dans ce cas ?

• Analyse physique :

o Quel terme de la solution est responsable de l’atténuation des oscillations ? Qu’appelle-t-on « facteur d’amortissement » ?

o Quel terme est responsable du caractère oscillant de la relaxation ? Qu’appelle-t-on « pseudo-pulsation » ? o Comment évaluer le temps caractéristique d’une telle relaxation ?

o Comment vérifier que la solution est physiquement acceptable ?

• Résoudre l’équation différentielle dans ce cas.

• Méthode : comment tracer à la main ces courbes ?

-4- Doc 5 – Relaxation pseudo-périodique

• Quelle est l’influence de la résistance sur ce tracé ? Que se passe-t-il si R tend vers 0 ? Doc 6 – Relaxation pseudo-périodique : influence de R

3 – Exploitation d’un oscillogramme de relaxation pseudo-périodique

3.1. Pseudo-pulsation

• Comment évaluer la pseudo-pulsation sur un tracé de relaxation pseudo-périodique ?

• Dans quel cas peut-on raisonnablement confondre pseudo-pulsation w et pulsation propre w 0 ?

3.2. Décrément logarithmique

• Définir le décrément logarithmique.

• A partir de l’expression littérale de la tension u C (t) en régime pseudo-périodique, relier le décrément logarithmique au facteur de qualité Q.

• Quelle simplification peut-on opérer si Q est suffisamment grand ?

-5- 3.3. Application

• A partir de l’oscillogramme suivant, en émettant les hypothèses nécessaires, déterminer les caractéristiques de la bobine réelle utilisée (résistance interne et inductance).

Doc 7– Oscillogramme enregistré pour la décharge d’un condensateur C = 1,0 µF

-6 -4 -2 0 2 4 6

0 5 10 15 20

u C (V )

t (ms)