Le circuit RLC libre et amorti

(1)

Le circuit RLC libre et amorti

I- Etude expérimentale

1- Production des oscillations libres et amorties a- Expérience et observations

Après avoir chargé le condensateur (position 1).On bascule l’interrupteur sur la position 2, on obtient les oscillogramme suivant relatifs à

la tension aux bornes du condensateur et celle aux bornes du résitor

Réaliser l’expérience b- Interprétation

A l’état d’équilibre, la tension uc aux bornes du condensateur ainsi que sa charge q est nulle. On constate que l’oscillogramme relatif à u

C

est symétrique par rapport à l’axe des temps ce qui montre que la charge q du condensateur varie et change de signe à des intervalles successifs et égaux. La charge q prend au cours du temps des valeurs alternativement positives et négatives autour de celle prise à l’état d’équilibre (q = 0).

On dit que la charge(q) oscille au cours du temps. La charge q est appelée grandeur oscillante et le circuit RLC est appelé oscillateur.

Cette décharge se fait d’elle-même, les oscillations sont dites libres. On constate aussi :

*L’amplitude (la valeur maximale) de la tension uc diminue au cours du temps : les oscillations sont alors amorties ;

* les tensions uc et u

_R

sont presque périodiques, on dit alors qu’elles sont pseudopériodique.

2-Influence de la résistance du circuit

Commencer i

K

C R

A B E

u

C

u

R

(1)

(2) L

, r

(2)

II- Etude théorique (Le condensateur est chargé et K en (2) 1-Equation différentielle

Loi des mailles : u

_b

+ u

_R

+ u

_c

= 0

Loi d’ohm u

b

= r.i + L di

dt ^{et u}

^R

^{= Ri} On a i = C ^du

^C

dt et ^di dt = C

2 2

d u

C

dt  u

_b

= r.i + L di

dt ^{= r.} C ^du

^C

dt ^{+ L} C

2 2

d u

C

dt et u

_R

= Ri = R C ^du

^C

dt Donc u

b

+ u

R

+ u

c

= r. C ^du

^C

dt + L C

2 2

d u

C

dt + R C ^du

^C

dt + u

c

= 0  L C

2 2

d u

C

dt + (R+r) C ^du

^C

dt + u

_c

= 0  ^{d u}

² ₂^C

dt + ^(R+r) L . ^du

^C

dt + ¹

LC u

_c

= 0 

2 2

d u

C

dt + ¹

 . ^du

^C

dt + w

²₀

u

_c

=0 avec  = ^L

(R+r) et w

₀

= ¹

LC (pulsation propre de l’oscillateur) C’est l’équation différentielle relative è u

_c

(t) dont la solution est hors programme

Remarque :L'évolution de la charge du condensateur d'un circuit RLC série est régie en régime libre par l'équation différentielle

2 2

d dt

q + ^R L . d

dt

q + ¹

LC . q = 0 2-Nature d’oscillation

Un circuit RLC série auquel on a transféré initialement de l'énergie peut être le siège d'oscillations électriques libres amorties, c'est le régime pseudo -périodique

*Régime pseudo périodique et régime apériodique

Les oscillations libres d'un circuit RLC série sont d'autant plus amorties et leur pseudo -période est d'autant plus grande que la résistance R du circuit est plus grande tout en restant inférieure à une valeur R

C

. Pour des valeurs suffisamment élevées de la résistance R, c'est le régime apériodique

3-La non conservation de l’énergie totale de l’oscillateur

Les oscillations libres d'un circuit RLC série sont dues aux transformations mutuelles de ses énergies électrique et magnétique

En régime libre, l'énergie totale d'un circuit RLC série ne se conserve pas car sa résistan ce a- Expression de l’énergie totale E

E = E

C

+ E

L

avec E

C

= ¹ C.u

²_C

2 c’est l’énergie électrique emmagasinée par le condensateur E

_L

= ¹ L.i

²

2 c’est l’énergie magnétique emmagasinée par la bobine Donc E = 1

²_C

2 C.u + 1

²

2 L.i

b- La non conservation de l’énergie totale E dE

dt = d 1

_C²

1

²

( C.u L.i )

dt 2  2 = ¹ C.(2.u .

_C

^du

^C

) ¹ L.(2.i. ^di )

2 dt  2 dt = C.u .

_C

^du

^C

L.i. ^di dt  dt (1)

(3) (2)

Régime pseudopériodique

Régime apériodique critique Régime apériodique K

C R

A B u

_C

u

R

(2) L

, r

u

b

(3)

Or i = C ^du

^C

dt  ^dE dt =

2

C C C

C 2

du du du

C.u . L.C. .C

dt  dt dt =

2

C C

C 2

du du

C. (u . L.C )

dt  dt

Or d’après l’équation différentielle on a

2 C

C 2

u . L.C du

 dt = - (R+r) C ^du

^C

dt = -(R+r) i Donc dE

dt = -(R+r) i² < 0 donc l’énergie totale E décroît au cours du temps

Application

Le circuit de la figure -1- comprend :

- Un générateur G de courant d’intensité constante I

₀

= 0,5 mA.

- Un condensateur de capacité C.

- Une bobine d’inductance L = 0,1 H et de résistance r = 10 Ω.

- Un résistor de résistance R

₀

= 30 Ω.

- Un interrupteur inverseur K.

1- Le condensateur est initialement déchargé, à l’instant t = 0s, on ferme l’interrupteur K en position (1).

Donner en fonction de temps les expressions de la charge électrique q accumulée sur l’armature positive du condensateur et la tension u

c

à ses bornes.

2- À l’instant t

₁

on bascule K sur la position (2).

a- Montrer que l’équation différentielle reliant la tension u

C

aux bornes du condensateur et ses dérivées est

L C

2 C 2

d u

dt + (R

0

+ r).C ^du

^C

dt +u

C

= 0

b- Exprimer l’énergie totale E

tot

du circuit (R

0

+ r, L, C) en fonction de L, C, u

C

et i.

c- Montrer que cette énergie décroît au cours du temps.

3- Un dispositif approprié permet de visualiser à partir de l’instant t

₁

, la courbe

donnant la variation au cours du temps de la tension u

C

aux bornes du condensateur et correspondante à la figure-2-

Energie

Temps Energie totale

E

C

E

_L

L,r I

₀

K (1) C

(2) R

0

A B

Figure -1-

Figure-2-

t(s)

t = 0,03 s 12

8 u

_C

(V)

t

1

0 Figure-2-

(4)

a- Déterminer la tension u

C

à l’instant ou on a basculé K sur la position (2) b- De quel régime s’agit-il ? Justifier la réponse.

c- Déterminer la pseudo période T des oscillations de la tension u

_C

aux bornes du condensateur d- La résistance totale du circuit étant faible, on admet que la pseudo période T est égale à la période propre T

0

de l’oscillateur (L,C) déterminer la capacité C du condensateur et déduire l’instant t

1

e- Déterminer la variation de l’énergie du circuit entre les instants t

₁

et t

₁

+ 3T..

f- Déduire que cette énergie décroît au cours du temps et déterminer l’énergie perdue entre t

1

et t

1

+ 3T

Correction

1- L’interrupteur K en position (1)

q = I

0

.t Puisque le courant qui circule dans le circuit est constant.

u

c

= ^q

C = ^{I .t}

⁰

C

2- À l’instant t

1

, on bascule K sur la position (2) a- D’après la loi des mailles, on a u

R0

+ u

b

+ u

C

= 0.

avec u

R0

= R

0

.i et u

b

= r.i + L ^di

dt ce qui nous donne R

0

.i + r.i + L di

dt + u

C

= L di

dt + (R

0

+ r).i + u

C

= 0 or i = dq du

^C

dt  C  dt  di dt =

2 C 2

C d u

 dt On déduit alors que L

2 C 2

C d u

 dt + (R

0

+ r). du

^C

C  dt + u

C

= 0 qui est l’équation différentielle relative à la tension u

_C

b- L’énergie totale E

_tot

= E

_L

+ E

_C

avec E

_L

= ¹

2 .L.i² (L’énergie magnétique de la bobine) et E

C

= ¹

2 . C u 

²_C

(L’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur) Donc E

_tot

= 1

2 .L.i² + 1

2 . C u 

²_C

c- dE

^tot

dt = 1

2 .L.2.i. di dt + 1

2 .C.2.u

C

. du

^C

dt = L.i. di

dt +. C.u

C

. du

^C

dt = or i = du

^C

C  dt  di

dt =

2 C 2

C d u

 dt donc dE

^tot

dt = L. du

^C

C  dt .

2 C 2

C d u

 dt + C.u

_C

. du

^C

dt = C. du

^C

dt (L.

2 C 2

C d u

 dt + u

_C

).

D’après l’équation différentielle L.

2 C 2

C d u

 dt + u

C

= - (R

0

+ r).C ^du

^C

dt  ^dE

^tot

dt = - (R

0

+ r).

2

du

C

C dt

  

 

 

= - (R

₀

+ r).i² < 0 ^dE

^tot

dt < 0 et par suite E

_tot

diminue au cours du temps

3-a- On a basculé K sur la position (2) à l’instant t

₁

donc u

_C

(t

₁

) = 12 V

b- Il s’agit-il du régime pseudo périodique puisqu’on a obtenue des oscillations amorties c- On a t =3.T = 0,03 s  T = t

3  = 0,01s

d- T = T

₀

= 2  L.C  T ² = 4 

²

L.C  C = ^T

²₂

4  L =

-4 2

10 4.(3,14) .0,1 = 25.10

^-6

F u

C

(t

1

) = ^{I .t}

⁰ ¹

C = 12 V  t

1

=

^C

0

C.u I =

-6 -3

25.10 .12

0,5.10 = 0 ;6 s

I

0

K (1) C

A B u

C

L,r K

(2) C R

0

A B i

i u

_b

u

R0

(5)

e- La variation de l’énergie dans le circuit entre les instants t

1

et t

2

= t

1

+ 3T est

On a E

tot

= E

L

+ E

C

= 1

2 .L.i² + 1

2 . C u 

²_C

E

_tot

= E

_L

+ E

_C

= ¹

2 .L.i² + ¹

2 . C u 

²_C

E

tot

= E

totfinal

- E

tot initial

= E

tot

(t

2

) - E

tot

(t

1

) E

tot

(t

1

) = E

L

(t

1

) + E

C

(t

1

) = ¹

2 .L.i²(t

1

) + ¹

2 . C u (t ) 

²_C ₁

or pour t = t

1

u

C

est max donc i(t

1

) =0  E

_tot

(t

₁

) = ¹

2 . C u (t ) 

²_C ₁

de même pour t = t

2

u

C

est max  E

tot

(t

2

) = ¹

2 . C u (t ) 

²_C ₂

E

_tot

= ¹

2 . C u (t ) 

²_C ₂

- ¹

2 . C u (t ) 

²_C ₁

= ¹

2 . C (u (t ) - u (t )) 

²_C ₂ _C² ₁

= ¹

2 25.10

^-6

(8²-12²) = -10

^-3

J L’énergie perdue dans le circuit es 0,4 J

f- E

tot

< 0 donc il s’agit d’une perte d’énergie

L’énergie perdue est |E

tot

| = 10

^-3

J

Le circuit RLC libre et amorti