Correction – Méca2 Oscillateurs mécaniques : oscillateur libre et amorti

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Correction – Méca2

Oscillateurs mécaniques : oscillateur libre et amorti

Expérience 1 :

Etude statique, loi de Hooke et mesure de la constante de raideur k

* En appliquant le principe fondamental de la dynamique, donner la relation entre L, m et k.

* Vous disposez de plusieurs masses m, d’un ressort et d’une règle graduée. Proposez une expérience qui vous permette de calculer la valeur de la constante de raideur k.

On mesure L=L_eq‐L₀ en fonction de la masse.

Il faut mettre les masses en kg et les longueurs en mètres.

On obtient une droite croissante passant pas l’origine avec un coefficient directeur égal à g/k.

* Pour chaque courbe tracée, on vous demande de représenter les rectangles d’erreurs de chaque point. Donner la valeur de k aux incertitudes près.

On extrait la valeur de k à partir du coefficient directeur, pour l’incertitude voir l’annexe des énoncés La valeur de k est donnée en N/m

Expérience 2 :

Oscillations libres non entretenues Etude préliminaire :

* En appliquant le principe fondamental de la dynamique, donner l’équation différentielle du mouvement et en déduire la relation entre la période T0 des oscillations, k et m.

z"+₀²z=0 avec ₀²=k/m

Puisque T_o=2/₀ alors T_o²=4²*m/k Analyses et résultats :

* T₀ est‐il dépendant de l’amplitude l₀? Justifier Non (Cf. étude préliminaire)

* Refaire cette expérience avec 4 autres masses et tracer le graphe T₀² f m( ) en n’oubliant pas les rectangles d’erreur.

T_O est mesurée en seconde et m en kg.

On obtient une droite croissante passant par l’origine et de pente 4² /k

* En déduire la constante de raideur k du ressort utilisé. Comparez votre résultat avec celui de la première expérience.

On extrait la valeur de k (en N/m) à partir de la pente de la droite. On doit trouver une valeur très proche de celle calculée dans l’expérience 1.

Expérience 3 :

Oscillations amorties non entretenues Etude préliminaire :

* En utilisant les résultats énoncés concernant le régime pseudo‐périodique, donner l’expression de ln( (z nT)) en fonction de , m, n et T où T est la pseudo‐période et n un nombre entier.



² ²



exp( ) cos ( _o )

zK t   t donc



² ²



lnzlnKtln cos (^ ^o  )t ^= 2

ln  ln cos (^ ^ ) ^^

 

K t t

T

D’où ^{ln (} ⁾^^ln ^^ ^^{ln cos (}^ ^ ²^⁾ ^^^^^^ln ^^ ^^{ln cos}

  

^



 

z nT K nT nT K nT

T

Finalement :

ln (z nT)lnctenT ctenT

On obtient une droite décroissante de pente 

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Manipulations :

* Tracer l’évolution de l’amplitude en fonction du temps et en déduire le régime des oscillations.

Position [m]

Temps [s]

Régime pseudo‐périodique (faibles amortissements)

* Tracer ln(z(nT)) appelé le décrément logarithmique en fonction de nT et en déduire la valeur de  le coefficient d’amortissement.

On prend les valeurs indiquées par les carrés sur la figure (ils sont espacés de T à chaque fois) et on trace ln(z(nT))=f(nT). On obtient un tracé comme la figure ci‐dessous à partir duquel on peut extraire la pente et la valeur de  qui est en kg^‐1.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 -5,0

-4,8 -4,6 -4,4 -4,2 -4,0 -3,8

Tracé expérimental Régression linéaire

Ln(z(nT))

nT [s]

Y=-0,5034 X