Rappel : Oscillation libre non Amorti

1 | Elaboré par Afdal Ali / GSM : 26548242

Cour physique : Mécanique forcée 4éme M-S exp

Rappel : Oscillation libre non Amorti

 L’élongation x est sinusoïdalepériodique.

 L’élongation x subie des oscillations sans diminution d’amplitude.

 Les caractéristiques d’oscillation.

 Fréquence propre : N 0

 Période propre : T

= _{𝟐𝟐 𝝅𝝅} ^𝟏𝟏 � _𝒎𝒎 ^𝑲𝑲 .

0

 Pulsation propre :W

= 2 π� ^𝒎𝒎 _𝑲𝑲 .

o

Les oscillations forcées

=� _𝒎𝒎 ^𝑲𝑲 .

 Le corps est soumis a une force excitatrice ou force moteur F.

 F est sinusoïdalepériodique en fonction du temps.

1- Equation différentielle

 En applique la RFD :𝜮𝜮 𝑭𝑭 ����⃗

_app 𝑷𝑷 ��⃗ +𝑻𝑻��⃗ + 𝒇𝒇�⃗+𝑭𝑭��⃗+𝑹𝑹 ��⃗ = m 𝒂𝒂��⃗

= m 𝒂𝒂��⃗

 Par projection sur (x x’)

-Kx – hv + F = m a ⟹ m ^𝒅𝒅 _{𝒅𝒅𝒅𝒅} ^{𝟐𝟐 𝒙𝒙} _𝟐𝟐 + h ^{𝒅𝒅𝒙𝒙} _{𝒅𝒅𝒅𝒅} + K x = F

 L’équation différentielle admet comme solution x =x m sin(wt+Ɛ x ) et F(t) = F m sin(wt + Ɛ F

 On donne le deux courbes x = f(t) et F = f(t)

)

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Cour physique : Mécanique forcée 4éme M-S exp

2- Influence de l’excitateur N sur l’amplitude

 On remarque expérimentalement que l’amplitude X m

 X

varie en fonction de la fréquence N de l’excitateur.

m

 LorsqueN =N

augmente, atteint un maximum puis diminue

r, X m

N

et maximale, c’est la résonance d’élongation

2 r = N o 2 - _{𝟖𝟖 𝝅𝝅} ^𝒉𝒉 _𝟐𝟐 ^𝟐𝟐 _{𝒎𝒎 𝟐𝟐} : N r < N 0

3- Détermination de X .

m et Ɛ x

1

par la méthode de Fresnel

er cas : w ² < _𝒎𝒎 ^𝑲𝑲 =w 0 2 N < N (Ɛ

0

F –Ɛ x ) ϵ[0 ; ^𝝅𝝅 _𝟐𝟐 [tg (Ɛ F – Ɛ x

tg(Ɛ

) ˃ 0.

F –Ɛ x

F est en avance de phase par rapport aX.

) = 𝑲𝑲 − 𝒎𝒎 𝒘𝒘 ^{𝒉𝒉 𝒘𝒘 𝟐𝟐}

2 ^ème cas : w ² ˃ _𝒎𝒎 ^𝑲𝑲 ⟹w ^>w o ⟹ N ˃ N (Ɛ

0

F –Ɛ x ) ϵ ] ^𝝅𝝅 _𝟐𝟐 ; π [tg(Ɛ F – Ɛ x

tg (Ɛ

)< 0.

F – Ɛ x

F est en avance de phase par rapport àX.

) = 𝑲𝑲 − 𝒎𝒎 𝒘𝒘 ^{𝒉𝒉 𝒘𝒘 𝟐𝟐}

3 ^ème cas :m w ² = K ⟹w = w 0 ⟹ N = N Ɛ

0

F –Ɛ x = ^𝝅𝝅 _𝟐𝟐 etƐ F ˃Ɛ x : X m

F est en quadrature avance par rapportà x.

= ^{𝑭𝑭𝒎𝒎} _{𝒉𝒉 𝒘𝒘} .

D’après Pythagore

(h X m w) ² + [ K X m – m w ² X m ] ² = Fm X

2

m

Remarque

= ^{𝑭𝑭𝒎𝒎}

� 𝒉𝒉 ^𝟐𝟐 𝒘𝒘 ^𝟐𝟐 + ( 𝒌𝒌 – 𝒎𝒎 𝒘𝒘 ^𝟐𝟐 ) ^𝟐𝟐

V m =X m

Ɛ

w = ^{𝑭𝑭𝒎𝒎}

�𝒉𝒉 ^𝟐𝟐 + ( _𝒘𝒘 ^𝒌𝒌 – 𝒎𝒎 𝒘𝒘 ) ^𝟐𝟐

v =Ɛ x + ^𝝅𝝅 _𝟐𝟐 .

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4- Détermination de N r

 À la résonance d’élongation X

à la résonance d’élongation

m

 Pour que X

est maximal.

m

 avec : f(w) = h

est maximal il faut que f(w) soit minimal

2 w ² + (k – mw ² ) L’étude de f(w)

2

f’(w) = 2 w [ h ² – 2m (K – mw ² f ’(w) = 0 w

)]

r = 0 ouW r ² = W 0 2 - _{𝟐𝟐𝒎𝒎} ^{𝒉𝒉 𝟐𝟐} _𝟐𝟐 N ² r = N o 2 - _{𝟖𝟖 𝝅𝝅} ^𝒉𝒉 _𝟐𝟐 ^𝟐𝟐 _{𝒎𝒎 𝟐𝟐}

5- L’amplitude X m

 L’équation différentielle devient : m ^{𝒅𝒅 𝟐𝟐 𝒙𝒙}

𝒅𝒅𝒅𝒅 ^𝟐𝟐 + K x = F et le déphasage si h = 0

 La construction de Fresnel 1 ^er cas :m w ² <K ⟹ w < w 0 ⟹ N< N Ɛ

0

F =Ɛ x ⟹ F et x sont en phaseFm m w ² X

X m

m = (𝑲𝑲 – 𝒎𝒎𝒘𝒘 ^{𝑭𝑭𝒎𝒎 𝟐𝟐} ) K X 2

m

ème cas :m w ˃ K ⟹w˃w 0 ⟹ N ˃ N Ɛ

0

F =Ɛ x

X

+ π⟹ F et x sont en opposition de phase

m = _{(𝐅𝐅𝐰𝐰 𝟐𝟐} ^{𝐅𝐅𝐅𝐅} – 𝐊𝐊 ) m w ² X Fm K X

m

à 𝒍𝒍𝒂𝒂 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒂𝒂𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 :X

m

m

⟹ 𝑲𝑲 – 𝒎𝒎𝒘𝒘 ^𝟐𝟐 0

+ ∞

⟹ww

⟹ N N

o

⟹ Rupture du ressort

0

w O w _r ∞

f’(w) - ⁺

f(w)

X m

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6- Résonance de vitesse a- L’équation différentielle

m ^{𝒅𝒅𝒅𝒅} _{𝒅𝒅𝒅𝒅} + hv + K ∫ vdt= f V =V m sin(wt +Ɛ v

F = F

)

m sin (wt+Ɛ F

b- La construction de Fresnel )

1 ^er cas : _𝒘𝒘 ^𝒌𝒌 < m w ⟹ w 0 < w ⟹ N˃ N (Ɛ

0

F –Ɛ v ) ϵ [0 ; ^𝝅𝝅 _𝟐𝟐 [⟹ tg(Ɛ F –Ɛ v

tg(Ɛ

) ˃ 0

F –Ɛ v

F est en avance de phase par rapport à v.

) = 𝒎𝒎 𝒘𝒘 − _𝒘𝒘 ^𝒌𝒌 𝒉𝒉

2 ^ème cas : _𝒘𝒘 ^𝑲𝑲 ˃ m w ⟹ w 0 ˃ w ⟹ N < N (Ɛ

0

F –Ɛ v ) ϵ [- ^𝝅𝝅 _𝟐𝟐 ; 0 [ ⟹ tg(Ɛ F –Ɛ v

tg(Ɛ

)< 0

F –Ɛ v

F est retard de phase par rapport à v.

) = 𝒎𝒎 𝒘𝒘 − _𝒘𝒘 ^𝒌𝒌 𝒉𝒉

3 ^ème cas : w =w o ⟹ N = N Ɛ

o

F =Ɛ V

v ⟹ F et v sont en phase.

m

 Pour les trois cas, et d’après Pythagore = ^{𝑭𝑭𝒎𝒎} _𝒉𝒉

V m = ^{𝑭𝑭𝒎𝒎}

�𝒉𝒉 ^𝟐𝟐 + ( _𝒎𝒎 ^𝒌𝒌 – 𝒎𝒎𝒘𝒘 ) ^𝟐𝟐 :V m

 On donne la courbe qui donneV varie avec N

m

 A la résonance de vitesse l’amplitude V

= f(w).

m

⟹ à la résonanceV

est maximale

m = ^{𝑭𝑭𝒎𝒎} _𝒉𝒉 et N = N Remarque : X

0

m = ^{𝑽𝑽𝒎𝒎} _𝒘𝒘 = ^{𝑭𝑭𝒎𝒎}

�𝒉𝒉 ^𝟐𝟐 𝒘𝒘 ^𝟐𝟐 + ( _𝒎𝒎 ^𝒌𝒌 – 𝒎𝒎 𝒘𝒘 ) ^𝟐𝟐 . Ɛ x = Ɛ v - ^𝝅𝝅 _𝟐𝟐 .