Cours
Physique-P13
Oscillateurs mécaniques
1- Généralités
1-1- Oscillateurs mécaniques
Un oscillateur est un système qui écarté de sa position d’équilibre stable oscille de part et d’autre de cette position.
Les oscillations sont dites libres, lorsque l’oscillateur libre est abandonné à lui-même.
Aucune énergie n'est fournie à l'oscillateur. Les oscillations sont dites forcées lorsqu'un dispositif extérieur fournit de l’énergie à l'oscillateur.
Un pendule simple est un solide de petite dimension de masse m suspendu en un point fixe par un fil inextensible de longueur L et de masse m négligeable. Le rapport entre la longueur du fixe et le diamètre de la masse doit être supérieur à 10 (L
m
>
10).Si le solide n’est pas de petite dimension on a un pendule pesant.
Un pendule élastique vertical ou horizontal, est constitué d'un solide accroché à un ressort de masse négligeable, l’autre extrémité du ressort étant fixe.
1-2- Elongation - Amplitude
Pour décrire le mouvement d’un pendule simple autour de sa position d'équilibre stable, on définit son abscisse angulaire
comme l'angle orienté fait par la tige avec la verticale (position d’équilibre).-
: Elongation angulaire
(t).-
m: Amplitude (valeur maximale positive).- Relation: -
m <(t)
<
mO L
d >10
m
-m +m
L
Position d
Pour décrire le mouvement d’un pendule élastique horizontal autour de sa position d'équilibre stable, on définit son abscisse x grandeur orientée, repérée par rapport à la position d’équilibre.
-x(t): Elongation.
-Xm: Amplitude (valeur maximale positive).
- Relation:Xm < x(t) < Xm
Remarque:La même description est valable pour le pendule élastique verticale.
1-3- Oscillations périodiques
Un phénomène périodique est un phénomène qui se reproduit identique à lui-même à intervalles de temps réguliersT. L'unité de la période est la seconde.
La période propre T0 d'un oscillateur caractérise ses oscillations libres en l'absence de tous frottements.
La fréquence f correspond à l'inverse de la période (f=1
T). L'unité de la période est le hertz (Hz).
2- Périodes propres d’oscillateurs libres 2-1- Pendule simple non amorti
Soit un solide de masse m ponctuel accroché à un fil de longueur l. Si on écarte de la position d’équilibre d’un petit angle
m (
m < 10°) on observe des oscillations périodiques de période propreT0.Il y a isochronisme des petites oscillations, c'est à dire que la période propre du penduleT0 ne dépend pas de l'amplitude
m tant que celle-ci reste faible (
m < 10°).La période propre du penduleT0 ne dépend pas de la massem.
-Xm 0 x(t)+Xm
x x x m x
m
m m Position d'équilibre
O
m
L
La période propre du pendule dépend de sa longueur L, et de la gravitation donc de l'intensité de la pesanteur g.
La période propreT0 des oscillations est donnée par la relation:
T
0= 2 p ඨ L g
T0: Période propre (s)
L: Longueur du pendule (m)
g: Intensité de la pesanteur (m.s-2)
La fréquence propref0, qui s'exprime en hertz (Hz), est donc donnée par la relation:
f
0= 1
T
0= 1 2 p ට g
L 2-2- Pendule élastique non amorti
Un pendule élastique vertical ou horizontal, est constitué d'un solide de masse m accroché à un ressort de masse négligeable et de constante de raideur k, l’autre extrémité du ressort étant fixe
Pendule élastique vertical Pendule élastique horizontal
Lorsqu'on écarte le solide de massem de sa position d’équilibre d’une quantitéA et qu'on le lâche, on observe des oscillations qui finissent par s'atténuer (cette atténuation dépendant de plusieurs facteurs).
La période propre T0 du pendule dépend de la masse m du solide et de la constante de raideur kdu ressort.
0 z(t)
z m
0 x(t) m x
La période propre T0 du pendule ne dépend ni de l'amplitude Xm, ni de l’écartement initial A.
La période propre des oscillations est donnée par la relation:
T
0= 2 p ට m k
T0: Période propre (s) m: Masse du solide (kg)
k: Constante de raideur du ressort (kg.m.s-2) La fréquence propref0, qui s'exprime en hertz (Hz), est donc donnée par la relation:
f
0= 1
T
0= 1 2 p ඨ k
m
3- Etude théorique du pendule simple ( hors programme )
Pour établir l'équation différentielle régissant le pendule simple on peut soit utiliser la seconde loi de Newton, soit utiliser la conservation de l'énergie mécanique.
Afin de simplifier la démarche, on pourra négliger les forces de frottements.
On rappelle que la relation reliant l'abscisse curviligne s d'un mouvement circulaire de rayon R et l'angle
est donnée par:
s = R.
On en déduit la vitesse curviligneṡ et l'accélération curvilignes̈:
ṡ = ds dt = R
dq
dt = Rq̇ et s̈ = d2s
dt2 = Rd2q dt2 = Rq̈
3-1- Seconde loi de Newton
La seconde loi de Newton appliquée au pendule simple s'écrit:
Pሬ⃗+ Tሬሬ⃗= m aሬ⃗
Pሬ⃗ Tሬሬ⃗
h
y
x O
m
L
G
Par projection sur l'axe Gyon obtient:
-m g sinq= m s̈= m Lq̈
En faisant l'hypothèse des petits angles (sin~) on obtient l'équation différentielle:
q̈ + g L q= 0
3-2- Conservation de l'énergie mécanique
On prend comme référence pour l'énergie potentielleEP la position du pendule à l'équilibre.
Lorsque le pendule est à son élongation maximum (
m), sa vitesse est nulle. Son énergie mécanique est la somme de son énergie cinétique et énergie potentielle, c'est à dire:Em= EC+ EP= 0 + m g h = m g L (1 - cosq)
Lorsque le pendule passe par sa position d'équilibre, son énergie potentielle devient nulle, et l'énergie mécanique est donc:
Em = EC + EP = 1
2 m v2 + 0 = 1
2 m ṡ2 = 1
2 m L2 q̇2 La conservation de l'énergie mécanique permet d'écrire:
1
2 L q̇2 - g (1 - cosq) = 0 En dérivant cette dernière expression on obtient:
L q̇ q̈ + g q̇ sinq= 0
En divisant cette expression par q̇, et en faisant l'hypothèse des petits angles (sin~) on obtient l'équation différentielle:
q̈ + g L q= 0
3-3- Equation du mouvement du pendule simple
La solution générale de cette équation différentielle est de la forme:
(t) =
mcos(
0t + )
L'amplitude m du mouvement correspond à l'élongation maximale du pendule simple au cours des oscillations.
La pulsation
0 est reliée à la période propreT0 des oscillations par la relation:w0= 2p T0
La grandeur
correspond à la phase à l'origine des temps.Les valeurs de m et de
sont déterminées par les conditions initiales 0 et q̇0.Si à l'instant initial, le pendule est lâché sans vitesse initiale (q̇0=0) avec une amplitude 0, alors
=0, et l'équation du mouvement du pendule simple est:(t) =
0cos(
0t)
Le mouvement du pendule simple, sans frottements, correspond à un régime périodique de période propreT0.
Le mouvement du pendule simple, avec des frottements modérés, correspond à un régime pseudopériodique de périodeT~T0.
T0
+
0-
00
(t)
t
(t)
+
0 T-
00
(t)
t
(t)
Le mouvement du pendule simple, avec des frottements élevés, correspond à un régime apériodique.
4- Etude théorique du pendule élastique vertical ( hors programme )
4-1- Seconde loi de Newton
Lorsque le pendule élastique vertical est au repos le ressort, de longueur à videZO, s'allonge d'une quantité:
Z = Zéq-Z0Zéqest la longueur du ressort lorsqu'il est soumis au poidsP=mg.
La force Fሬሬ⃗ exercée par le ressort sur le solide est appelée force de rappel.
L'intensité F de la force de rappel exercée par le ressort a pour expression:
F= -k
D
L F: Force de rappel (N)k: constante de raideur du ressort (kg.m.s-2)
L: Allongement du ressort (m)
Les caractéristiques de la force de rappel sont les suivantes:
- Direction: l’axe du ressort.
- Sens: orientée vers l’intérieur du ressort quand celui-ci est étiré et vers l’extérieur du ressort quand celui-ci est comprimé.
- Point d'application: le point d'accrochage du ressort.
- Intensité:F = k
l.+
0-
00
(t)
t
(t)
Z0
Zéq
z(t)
z
G m
Pሬ⃗ Fሬሬ⃗ 0
La première loi de Newton appliquée au pendule élastique vertical au repos s'écrit:
Pሬ⃗ + Fሬሬ⃗ = 0ሬሬ⃗
Par projection sur l'axe Ozon obtient:
m g - k (Zéq- Z0) = 0
On en déduit la relation à l'équilibre:
m g = k (Zéq- Z0)
On écarte la masse du pendule d'une distance Zm vers le bas de sa position d'équilibre, et on l'abandonne sans vitesse initiale.
La seconde loi de Newton appliquée au pendule élastique vertical s'écrit:
Pሬ⃗ + Fሬሬ⃗ + fሬ⃗= m aሬ⃗
La force de rappelFሬሬ⃗ du ressort est proportionnelle à son allongementOGሬሬሬሬሬሬ⃗: Fሬሬ⃗=-k OGሬሬሬሬሬሬ⃗
La constante de proportionnalité correspond à la constante de raideur k (N.m-1) du ressort.
Les forces de frottement sont opposées à la vitesse:
fሬ⃗=-h vሬ⃗(t)
Par projection sur l'axe Ozon obtient:
m g - k (z(t) - Z0) - h vz(t) = m az(t)
Soit:
m g + k Z0 - k z(t) - h z(t)̇ = m z(t)̈
En utilisant la relation obtenue à l'équilibre (m g = k (Zéq- Z0)) on obtient:
- k (z(t) - Zéq) - h ż(t) = m z̈(t)
On obtient ainsi l'équation différentielle difficile à résoudre:
z̈(t) + h
m ż(t) + k
m z(t) = k m Zéq
Toutefois, dans le cas où on néglige les forces de frottement (h=0), cette équation différentielle s'écrit:
z̈(t) + k
m z(t) = k m Zéq
4-2- Equation du mouvement du pendule élastique vertical
La solution générale de cette équation différentielle est la somme de la solution zhom(t) de l'équation homogène sans second membre et de la solution particulière zpart(t)de l'équation avec second membre:
zhom(t) = A cos(0t + ) et zpart(t) = Zéq
D'où la solution générale de cette équation différentielle:
z(t) = A cos(0t + ) + Zéq
L'amplitude A du mouvement correspond à l'élongation maximale du pendule élastique au cours des oscillations.
La pulsation
0 est reliée à la période propreT0 des oscillations par la relation:w0= 2p T0
La grandeur
correspond à la phase à l'origine des temps.Les valeurs de Aet de
sont déterminées par les conditions initiales:z(0)= Zm et ż(0)= 0 On a donc à l'instant initial:
z(0)= A cos(j) + Zéq= Zm+ Zéq et ż(0)= -w0A sin(j)= 0
On en déduit que:
j= 0 et A = Zm
La solution générale de cette équation différentielle s'écrit finalement:
z(t)= Zm cos(w0 t)+ Zéq avec w0= 2 p T0
Le mouvement du pendule élastique vertical, sans frottements, correspond à un régime périodique de période propre T0.
Le mouvement du pendule élastique vertical, avec des frottements modérés, correspond à un régime pseudopériodique de période T~T0.
Le mouvement du pendule élastique vertical, avec des frottements élevés, correspond à un régime apériodique.
T0
Z
éq+Z
mZ
éq-Z
mZ
éqz(t)
t z(t)
Z
éq+Z
m TZ
éq-Z
mZ
éqZ(t)
t Z(t)
Z
éq+Z
mZ
éq-Z
mZ
éqZ(t)
t
Z(t)
5- Etude théorique du pendule élastique horizontal 5-1- Seconde loi de Newton
On considère un ressort de constante de raideur k pouvant glisser le long d'un guide horizontal. L'une des extrémités est fixe. A l'autre extrémité est attaché un objet de masse m.
La première loi de Newton appliquée au pendule élastique horizontal au repos s'écrit:
Pሬ⃗ + Rሬሬ⃗ = 0ሬሬ⃗
Pሬ⃗correspond au poids de l'objet etRሬሬ⃗à la réaction du guide.
On écarte la masse du pendule d'une distance X0 de sa position d'équilibre, et on l'abandonne sans vitesse initiale.
La seconde loi de Newton appliquée au pendule élastique horizontal s'écrit:
Pሬ⃗ + Fሬሬ⃗ + fሬ⃗= m aሬ⃗
La force de rappelFሬሬ⃗ du ressort est proportionnelle à son allongement OGሬሬሬሬሬሬ⃗: Fሬሬ⃗ = -k OGሬሬሬሬሬሬ⃗ = -k x(t) i⃗
La constante de proportionnalité correspond à la constante de raideur k (N.m-1) du ressort.
Les forces de frottement sont opposées à la vitesse:
fሬ⃗ = - h vሬ⃗= - h ẋ(t) i⃗
Par projection sur l'axe Oxon obtient:
- k x(t) - h vx(t) = m ax(t) Soit:
X0
0 x(t)
x G m
Pሬ⃗ Rሬሬ⃗ Fሬሬ⃗ O
⃗i
On obtient ainsi l'équation différentielle difficile à résoudre:
ẍ(t) + h
m ẋ(t) + k
m x(t) = 0
Toutefois, dans le cas où on néglige les forces de frottement (h=0), cette équation différentielle s'écrit:
ẍ(t) + k
m x(t) = 0
5-2- Equation du mouvement du pendule élastique horizontal
La solution générale de cette équation différentielle est de la forme:
x(t) = A cos(0t + )
L'amplitude A du mouvement correspond à l'élongation maximale du pendule élastique au cours des oscillations.
La pulsation
0 est reliée à la période propreT0 des oscillations par la relation:w0= 2p T0
La grandeur
correspond à la phase à l'origine des temps.Les valeurs de Aet de
sont déterminées par les conditions initiales:x(0)= X0 et ẋ(0)= 0 On a donc à l'instant initial:
x(0)= A cos(j) = X0 et ẋ(0)= -w0A sin(j)= 0 On en déduit que:
j= 0 et A = X0
La solution générale de cette équation différentielle s'écrit finalement:
x(t)= X0 cos(w0 t) avec w0= 2 p T0
Le mouvement du pendule élastique horizontal, sans frottements, correspond à un régime périodique de période propre T0.
Le mouvement du pendule élastique horizontal, avec des frottements modérés, correspond à un régime pseudopériodique de périodeT~T0.
Le mouvement du pendule élastique horizontal, avec des frottements élevés, correspond à un régime apériodique.
Remarque:Le régime critique correspond à un amortissement précis, le régime critique est un régime apériodique particulier qui correspond au retour le plus rapide (le moins lent) du système à son état d'équilibre.
C’est un régime qui marque la fin du régime Pseudo-périodique et le début du régime apériodique
T0
X
0X
00
x(t)
t x(t)
X
0 TX
00
x(t)
t x(t)
X
0X
00
x(t)
t
x(t)
6- Oscillations forcées - Résonance 6-1 Dispositif expérimental
Un oscillateur, de fréquence propre f0= 1
T0 , subit des oscillations forcées s'il oscille à une fréquencef imposée par un appareil extérieur appelée excitateur
On fait varier la fréquence f de l'excitateur et on note l’amplitude Xm pour chaque valeur de la fréquence f. On obtient ainsi la courbe de réponse (courbe de résonance) ci-dessous:
L'amplitude du résonateur passe par un maximum pour une fréquence particulière fr
imposée par l'excitateur. Cette fréquence de résonance fr est proche de la fréquence propref0du résonateur si l'amortissement est faible.
Excitateur de fréquencef
variable
Résonateur de fréquence
propre f0
Amplitude
fR Fréquence (Hz)
Amplitude
Frottements très importants Pas de résonance Frottements importants
Résonance floue Frottements
faibles Résonance
aiguë
Si l’amortissement est faible on aura alors:fR f0.
Si l'amortissement augmente (en plaçant le solide du résonateur dans des liquides de plus en plus visqueux) la fréquence de résonance diminue et la résonance devient plus floue. Il n'y aurait plus de résonance si l'amortissement devenait très important.
Plus l’amortissement est fort et plus la fréquence de résonance est inférieure à la fréquence propre.
6-2- Applications
Pour certains dispositifs, la résonance doit être évitée.
C'est le cas de la suspension automobile où l’ensemble caisse-suspension constitue un oscillateur.
Il faut éviter la résonance aiguë qui entraîne une influence sur les différentes pièces mécaniques et le corps humain. Selon la fréquence propre de la voiture, les secousses font osciller certaines parties du corps:
- A 1Hz, c'est le tube digestif qui oscille, ce qui conduit au mal de mer. Néanmoins cette fréquence est choisie car elle est proche de la période de marche à pied.
- A 20Hz, c'est la tête qui oscille (système nerveux) ce qui conduit à des maux de tête.
- De 35Hz à 75Hz, ce sont les globes oculaires qui oscillent.
De même, les navires sont construits de telle sorte que leur période propre soit nettement supérieure à la période moyenne de la houle. L’amplitude des oscillations forcées est alors faible.
Un pont suspendu dont le tablier est maintenu par des câbles peut effectuer des oscillations. En 1850 à Angers, une troupe traversant au pas cadencé un pont suspendu sur le Maine provoque la rupture par résonance.
Le Tacoma bridge s’est effondré en 1940, sous l’effet des bourrasques de vent (photo ci contre).
Lors de l'utilisation d'un haut-parleur et d'un microphone, il faut éviter la résonance, ce qui favoriserait certaines fréquences. Pour que tous les sons de 20Hz (grave) à 20000Hz (aigu) soient reproduits, il faut que la résonance soit très amortie, et que la fréquence propre du système soit plus grande que celle des sons à reproduire.
Ainsi, pour reproduire toutes les fréquences audibles, on utilise plusieurs haut-parleurs:
- Les graves (20Hz à 600Hz).
- Les médiums (600Hz à 3000Hz).
- Les aigus (3000Hz à 20000Hz).
Pour certains dispositifs, la résonance est recherchée.
Les tuyaux d’orgue, instrument à musique à vent, les trombones à coulisse, etc. sont des résonateurs à fréquences multiples qui n’entrent en résonance que pour certaines fréquences particulières (fondamentales et harmoniques).
Si on excite plusieurs lames avec une fréquence donnée, seule la lame dont la fréquence correspond à la fréquence d’excitation se met à vibrer.
