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Théorème des valeurs intermédiares
Leçon
Niveau Terminale S
Prérequis continuité d’une fonction, suites adjacentes Références [143], [144]
46.1
Le théorème des valeurs intermédiaires
Théorème 46.1— Théorème des valeurs intermédiaires. Soient I un intervalle, a et b dans I tels que
a < b. Soit f une application continue sur l’intervalle I. Soit λ, un réel compris entre f(a) et f(b).
Alors il existe (au moins) un réel c dans[a , b] tel que f(c) = λ.
Dv
•Démonstration du théorème46.1—Supposons f(a) < f(b). Nous allons construire deux suites adjacentes(an)n∈N∗et(bn)n∈N∗par l’algorithme suivant :
— Si le milieu m de l’intervalle[a , b] est tel que f(m) ≥ m alors on pose a1= a et b1= m. — Sinon, on pose a1= m et b1= b.
On recommence le découpage :
— Si le milieu m de l’intervalle[a1, b1] est tel que f(m) ≥ λ alors on pose a2 = a1 et b2= m. — Sinon, on pose a2= m et b2= b1. On a ainsi : a≤ a1≤ a2≤ b2≤ b1≤ b et f(a2) ≤ λ ≤ f(b2). a f (a) b f (b) ? λ Cf b1 a1 ? b2 b1
En réitérant le procédé, on construit ainsi une suite de segments emboîtésa: [a , b] ⊃ [a1, b1] ⊃ · · · ⊃ [an, bn] ⊃ · · · .
De plus, par construction, la longueur de[an, bn] est b2−an . Les segments [an, bn] ont donc
des longueurs qui tendent vers0. Les suites (an)n∈N∗et(bn)n∈N∗sont donc adjacentes.
Notons c leur limite commune (ce réel c est dans l’intervalle[a , b]). Montrons que f(c) = λ. On a, pour tout n ∈ N∗:
f(an) ≤ λ ≤ f(bn)
et par passage à la limite :
lim
n→+∞f(an)λ ≤ limn→+∞f(bn). Or, f est continue en c donc :
f(c) ≤ λ ≤ f(c)
et ainsi f(c) = λ. On a bien montré qu’il existe un réel c dans [a , b] tel que f(c) = λ. • a. Il s’agit d’une méthode de dichotomie.
R 46.2
1. Le théorème des valeurs intermédiaires nous dit que l’équation f(x) = λ (f(a) < λ < f(b)) admet au moins une solution dans[a , b].
2. L’hypothèse de continuité est indispensable dans le théorème. Essayer d’applique le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction « partie entière » avec a= 0, b = 1 et λ = 1
2. . . a f (a) b f (b) c λ Cf
FIGURE46.1 – Cas d’une fonction monotone
Exemple 46.3 Tout polynôme de polynôme P (à coefficients réels) de degré impair admet (au moins)
une racine réelle. En effet, comme le degré de P est impair, on a : lim
x→−∞P(x) = −∞ et x→+∞lim P(x) = +∞.
En conséquence, il existe un réel a ∈ R tel que pour tout x < a, on ait P (x) < 0 et un réel b ∈ R tel que pour tout x > b, on ait P(x) > 0. Comme P est une fonction continue, le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer l’existence d’un réel c ∈ ]a , b[ tel que P (c) = 0.
R 46.4 Le théorème des valeurs intermédiaires n’admet pas de réciproque. Une fonction f peut très bien vérifier la propriété des valeurs intermédiaires sans être continue. Considérer par exemple la fonction f définie sur I= R par : f(x) = ( sin1 x si x 6= 0 x0 si x= 0 où x0∈ [−1 , 1].
a f (a) b f (b) c λ Cf
FIGURE46.2 – Cas d’une fonction non monotone
On peut montrer (en exercice) que la fonction f est non continue en0 et vérifie pourtant la propriété des valeurs intermédiaires. En effet, soient a et b deux réels avec a < b.
— Si a et b sont non nuls et de même signe, alors c’est immédiat (puisque dans ce cas f est continue sur [a , b]).
— Si a= 0 (et b > 0) alors on prend un réel λ compris entre f(a) = x0et f(b). Comme λ ∈ [−1 , 1], on peut toujours trouver un réel X ≥ 1b tel quesin X = λ. En posant x = X1, il vient bien f(x) = λ avec
x∈ [a , b].
— On raisonne de même si on a un intervalle[a , 0] ou [a , b] lorsqu’il contient 0.
46.2
Applications
46.2.1 Le théorème du point fixe
Le théorème des valeurs intermédiaires permet de démontrer un petit théorème de point fixe. Théorème 46.5— Théorème du point fixe. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a , b]. Si f(I) ⊂ I alors f admet (au moins) un point fixe sur I. Autrement dit, il existe (au moins) un réel
xde I tel que f(x) = x.
Dv
•Démonstration du théorème46.5—Considérons la fonction g définie sur I par : g(x) = f(x) − x.
Montrons que0 ∈ g(I). On a :
g(a) = f(a) − a ∈ g(I) et g(b) = f(b) − b ∈ g(I).
Or, comme f(I) ⊂ I, on a f(a) ≥ a et f(b) ≤ b, c’est-à-dire g(a) ≤ 0 et g(b) ≥ 0. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel x ∈ I tel que g(x) = 0, c’est-à-dire
46.2.2 Image d’un intervalle par une application continue
Corollaire 46.6 — Image d’un intervalle par une application continue. Soit f une application conti-nue sur un intervalle I. Alorsaf(I) est un intervalle.
a. f(I) = {f(x), x ∈ I}.
Dv
•Démonstration du corollaire46.6—Soient y1et y2dans f(I) avec y1 ≤ y2. Il s’agit de montrer tout élément λ de[y1, y2] est élément de f(I). Comme y1 et y2sont dans f(I), il existe a et b dans I tels que :
f(a) = y1 et f(b) = y2.
Comme I est un intervalle, on a : [a , b] ⊂ I. Comme f est continue sur [a , b] (puisque [a , b] ⊂ I), on a, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout λ ∈ [y1, y2], il existe c ∈ [a , b] tel que f(c) = λ. D’où : λ ∈ f(I). •
R 46.7 Si f n’est pas continue, il se peut très bien que f(I) ne soit pas un intervalle : avec f(x) = E (x), E (x) désigant la partie entière de x, on a f([0 , 1]) = [0 , 1].
Exemples 46.8 1. Soit f(x) = x2pour x ∈ R.
— Image de l’intervalle ouvert I = ]1 , 2[ : f(I) = ]1 , 4[. — Image de l’intervalle ouvert J = ]−1 , 2[ : f(J) = [0 , 4[. — Image de l’intervalle fermé H = [−2 , 2] : f(H) = [0 , 4]. — Image de l’intervalle semi-ouvert K = [0 , +∞[, f(K) = K. 2. Soit g(x) = sin x pour x ∈ R.
— Image de l’intervalle ouvert I = ]0 , π[, g(I) = ]0 , 1]. — Image de l’intervalle ouvert J = ]0 , 2π[ : g(J) = [−1 , 1]. 3. Soit h(x) = x
1+|x| pour x ∈ R. On veut déterminer h(R). Comme R est symétrique par rapport
à0 et pour tout x ∈ R, on a :
h(−x) = −x
1 + |−x| = −
x
1 + |x| = −h(x),
ce qui prouve que h est impaire. Montrons que h est strictement croissante sur R+. Soient x
et y dans R+. Supposons0 ≤ x < y. Alors :
h(y) − h(x) = y 1 + y − x 1 + x = y(1 + x) − x(1 + y) (1 + x)(1 + y) = y− x (1 + x)(1 + y). Or, y − x > 0 d’où : h(x) − h(y) > 0 ⇔ h(x) < h(y).
Ceci prouve la stricte croissance de h dans R+. Comme h est impaire, on en déduit qu’elle est
strictement croissante sur R. Par ailleurs, on a : lim
x→+∞h(x) = limx→+∞
x
1 + x = 1, et, h étant impaire :
lim
Montrons que h est bornée par −1 et 1. Soit x ∈ R+. Il est clair que0 ≤ x ≤ 1 + x. Comme
1 + x ≥ 0, on peut diviser par 1 + x :
0 ≤ 1 + x ≤x 1 et comme x= |x| (puisque x ≥ 0) :
0 ≤ h(x) ≤ 1. Comme h est impaire, on en déduit que pour tout x ∈ R :
−1 ≤ h(x) ≤ 1.
Donc h est bornée par −1 et 1 (mais elle n’atteint pas ses bornes). On a donc h(R) ∈ ]−1 , 1[. Réciproquement soit y ∈ ]−1 , 1[. Comme h est continue (quotient de deux fonctions conti-nues dont le dénominateur ne s’annule pas), le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer l’existence d’un réel c ∈ R tel que f(c) = y. Donc ]−1 , 1[ ⊂ h(R). D’où :
h(R) = ]−1 , 1[.
46.2.3 Image d’un segment par une application continue
La démonstration est hors programme, on pourra admettre le théorème lors de la présentation du plan.
Théorème 46.9— Image d’un segment par une application continue. Soit f une application continue sur un segment I et à valeurs dans R. Alors f(I) est un segment.
Pour démontrer le théorème46.9, on a besoin du lemme suivant :
Lemme 46.10 Soit f une fonction numérique définie sur un segment [a , b]. Si f est continue sur [a , b], f est bornée sur [a , b].
Dv
• Démonstration du lemme 46.10— On suppose que f est non bornée et on reprend la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires. On suppose que c est la limite com-mune des suites (an) et (bn) construite dans cette démonstration. Or f est non bornée sur
[an, bn], on peut donc construire une suite réelle (cn)n∈Ntelle que pour tout n, cn ∈ [an, bn]
et |f(cn)| ≥ n. La première relation nous montre que la suite (cn)n∈Nconverge vers c ce qui est contradictoire avec la seconde relation si on suppose f continue sur[a , b]. • •Démonstration du théorème46.9—Soit[a , b] un segment de I. D’après le lemme précé-dent, il existe deux réels m et M tel que f([a , b]) soit l’un des intervalles ]m , M[, [m , M[, ]m , M], [m , M], On justifiera de l’impossibilité des trois premières formes en introduisant les fonctions
x7→ 1
f(x) − m ou x7→ 1 M − f(x)
46.2.4 Théorème de bijection
Le théorème de bijection est une particularisation du théorème des valeurs intermédiaires. On ajoute une condition de plus pour la fonction f : la stricte monotonie.
Théorème 46.11— Théorème de bijection. Soit f une application continue et strictement monotone sur un intervalle I. Soient a et b dans I avec a < b. Soit λ un réel compris entre f(a) et f(b). Alors il existe un unique c dans[a , b] tel que f(c) = λ.
•Démonstration du théorème46.11—
Existence L’existence a déjà été prouvée : c’est le théorème des valeurs intermédiaires.
Unicité L’unicité découle de la stricte monotonie. On va la démontrer dans le cas où f est stric-tement croissante (le cas stricstric-tement décroissante) est analogue. Supposons qu’il existe deux réels c et c0dans[a , b] tels que f(c) = λ et f(c0) = λ. Si c < c0alors par stricte croissante de f :
f(c) < f(c0).
Ce qui contredit la condition f(c) = f(c0) = λ. Si c > c0alors par stricte croissante de f : f(c) > f(c0).
Ce qui contredit la condition f(c) = f(c0) = λ. Finalement c = c0, ce qui prouve l’unicité. •
R 46.12 En résumé, lorsque f est une fonction définie sur un intervalle I, et lorsque λ ∈ f(I), l’hypothèse de continuité de f nous fournit l’existence d’au moins une solution (dans I) de l’équation f(x) = λ. Si l’on ajoute l’hypothèse de stricte monotonie de f, nous sommes alors assurés de l’unicité de cette solution.
a f (a) b f (b) c λ Cf
FIGURE46.3 – Si l’on ajoute l’hypothèse de stricte monotonie de f, nous sommes alors assurés de l’unicité de cette solution.
Dans le cas où f est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I, on a donc moyen de déterminer l’image d’un intervalle[a , b] :
— f([a , b]) = [f(a) , f(b)] lorsque f est strictement croissante ; — f([a , b]) = [f(b) , f(a)] lorsque f est strictement décroissante.
Corollaire 46.13 Soit f une fonction continue et strictement monotone sur I= [a , b]. Si f(a)f(b) < 0 alors l’équation f(x) = 0 admet une unique solution dans I.
Dv
•Démonstration du corollaire46.13—Si f(a)f(b) < 0, cela signifie que f(a) et f(b) sont de signes contraires. Autrement dit,0 est intermédiaire entre f(a) et f(b). On conclut avec le
théorème de bijection. •
Exemple 46.14 Soit g la fonction définie sur R par :
g(x) = (1 + x)3+ x.
On démontre que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [−1 , 0]. La fonction g est clairement continue et strictement croissante sur R (comme somme et composée de fonctions qui le sont). De plus :
g(−1) = −1 < 0 et g(0) = 1 > 0.
Le réel λ= 0 est donc bien compris entre g(−1) et g(0). On en déduit que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle[−1 , 0] :
x −∞ −1 α 0 +∞
g0(x) +
%
g 0
%
On donne maintenant un encadrement de α d’amplitude10−1à l’aide d’un petit tableau de valeurs :
x −0, 9 −0, 8 −0, 7 −0, 6 −0, 5 −0, 4 −0, 3 −0, 2 −0, 1
g(x) −0, 899 −0, 792 −0, 673 −0, 536 −0, 375 −0, 184 0, 043 0, 312 0, 629
On en déduit :
−0, 4 < α < −0, 3.
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