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r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r →∞ V → 0 u B ( rB ) idl dV F B div B B B E E E E E M 0 z = = = = B = ∧ ( = B B B q E i B ( S − ( ( ) E z z e = E ) ) ( u u . 0 P d r ) − = E − ( ( E N )) dx + E dy + E dz ) = − E dz z r 0 z z z x y z 0 + = 0

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Le potentiel V est toujours continu

Le potentiel V n’est pas un vecteur, c’est un scalaire L’unité de E est le V/m

Le sens des lignes de champ électrique est celui des potentiels décroissants.

Le lieu où les lignes de champ se resserrent correspond à une plus grande intensité de ce champ.

a une unité , ce n’est pas un nombre. De même µ0 a une unité.

Avant l’application du théorème de Gauss il faut faire impérativement l’analyse des symétries afin de déduire les variables dont le champ dépend et comment il est dirigé. Pour les variables dont dépend le champ il faut étudier l’invariance de la répartition des sources selon chaque coordonnée

d’espace, et pour la direction du champ il faut trouver un ou des plans de symétrie ou d’antisymétrie qui passent par le point où on cherche à exprimer le champ.

Les champs ! sont continus pour une répartition volumique des sources.

Si ! est continu, le potentiel V ne peut pas présenter de point anguleux .

Les constantes qui apparaissent lors de l’intégration de E pour obtenir V sont déterminées par l’application de la continuité de V (toujours valable), et par la convention ! quand ! pourvu qu’il n’y ait pas de sources à l’infini.

Quand la charge (ou masse) volumique dépend de r le calcul de la charge (ou masse) totale se fait par intégrale en couches successives. En particulier pour une densité volumique ρ non uniforme on n’a pas Q = 4/3 ρπR3

Au champ électrique uniforme correspond le potentiel électrique V= -E0 rcosθ +Cte. En

effet, d’où V=-E0z + Cte . Avec z = rcosθ en

coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) on obtient bien V= - E0 rcosθ + Cte

Un dipôle placé dans un champ ! uniforme est soumis à une résultante de force nulle mais placé dans un champ ! non uniforme est soumis à une résultante non nulle ! P et N étant les emplacements des 2 charges du dipôle.

Si un énoncé propose un champ magnétique ! alors cette égalité n’est pas rigoureuse . En effet, il existe obligatoirement une composante radiale pour ce champ. Puisque ! , cela implique d’après formulaire, ! (pour une symétrie de révolution cylindrique où rien ne dépend de θ); on voit ainsi que Br n’est pas nulle. Une conséquence dans les exercices où on parle d’un dipôle magnétique (boucle de courant) de moment magnétique ! placé dans un champ magnétique ! où ! est le vecteur parallèle à l’axe de la boucle est l’existence d’une force parallèle à l’axe z qui s’exerce sur la boucle de courant. En effet, pour la force de Laplace !

c’est bien la composante radiale Br et non la composante axiale Bz qui est responsable de cette force.

Le champ électrique dû à un dipôle possède 2 composantes : 1 radiale et 1 orthoradiale.

Le théorème d’Ampère est exploitable uniquement quand le calcul de la circulation de ! est simple, ç-à-d quand la norme de ! est constante sur le contour choisi, (elle peut toutefois être nulle sur une partie de ce contour). Par exemple il est inexploitable pour calculer le champ au centre d’une spire car on ne peut pas trouver de contour fermé passant par le centre de la spire qui vérifie les conditions ci-dessus.

ε0

E r r B

E r

V →0

r→ ∞

E =r E0e r z

dV =−r

E .dr r =−(Exdx+Eydy+Ezdz)=−E0dz

E r

E r

F =r q(r

E (P)− r E (N))

B =r B(z)u r z

div(r B )=0

∂(rBr) r∂r +∂Bz

∂z =0

M r =ir S

B =r B(z)u r z

u r z

idl∧r B

B r

B r

(2)

Une densité de courant volumique est une intensité par unité de surface traversée par ce courant.

L’unité est donc A.m-2

n’implique pas uniforme : par ex B = 3y2 ex + 5x ey -xy ez donne bien div B = 0 Le constat est le même pour tout vecteur dont la divergence est nulle. En revanche si le vecteur ne possède qu’une seule composante cartésienne alors ! implique B uniforme (puisqu’alors la divergence ne contient qu’un seul terme de dérivée ).

Ce n’est qu’en régime statique que ! , pas en régime variable

ΔV=0 n’implique pas nécessairement V = Cte ni même des dérivées partielles premières constantes.

Par exemple V(x, y, z) = 3x2-3y2

Attention , l’équation différentielle mdv/dt = qdV/dx (v vitesse et V potentiel) n’implique pas mv = eV . En effet on ne peut intégrer une équa diff par rapport à 2 variables différentes (v est l’intégration de dv/dt par rapport au temps alors que V est celle de dV/dx par rapport à l’espace x).

divr

B =0

B r

divr B =0

E =r −gradV

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