1 Fonctions usuelles

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M ath ematiques ´ - ECS1

1

F onctions usuelles

Lyc´eeLaBruy`ere 30avenue deParis 78000 Versailles

2014, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c

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1 Fonctions usuelles

1.1 La fonction exponentielle 1.1.1 Définition

— La fonction exponentielle est l’unique fonction f dérivable surRsatisfaisant f(0)=1, et pour toutx∈R, f⁰(x)= f(x).

Cette fonction est notéeexpet l’image d’un réelxpar exp est notée e^x.

1.1.2 Propriétés algébriques

exp(0)=e⁰=1, exp(1)=e valeur approchée de e : e∼2.718...) pour toutx∈R,y∈R, e^x⁺^y=e^x×e^y pour toutx∈R, e^−x= 1

e^x

pour toutα∈R, x∈R, e^αx=(e^x)^α

1.1.3 Représentation graphique Tableau des variations.

x

exp⁰

exp

−∞ 0 +∞

+ 1 +

0 0

+∞ +∞

Courbe représentative.

2

(3)

1.2 La fonction logarithme ³

~i

~j

0 x

y y=e^x

La fonction exp est continue surR et strictement croissante. Avec lim

x→−∞e^x = 0 et

x→lim+∞e^x= +∞, exp est une bijection deRsur ]0,+∞[ d’après le théorème de la bijection.

1.1.4 Limites à connaître pour toutα∈R, lim

x→+∞x^αe^−x=0

lim

x→0

e^x−1 x =1

pour toutα∈R, lim

x→+∞

e^x x^α = +∞

lim

x→+∞ 1+1 x

!x

=e

lim

n→+∞

1+x

n n

=e^x 1.1.5 Inégalités à connaître

pour toutx∈R, e^x≥1+x(à savoir démontrer) 1.1.6 Primitives

sik,0 alorsx7→e^kxadmetx7→ e^kx

k pour primitive surR.

1.2 La fonction logarithme

1.2.1 Définition et propriétés

— La fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur ]0,+∞[ à valeurs dansR.

Cette fonction est notée ln et l’image d’un réelxpar ln est notée lnx.

La fonction ln est une bijection de ]0,+∞[ surR.

La fonction ln est dérivable sur ]0,+∞[ et pour toutx>0 ln⁰x=1

x On a donc : pour toutx>0,

lnx=Z x 1

1 tdt.

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4 Fonctions usuelles

1.2.2 Propriétés algébriques ln 1=0 et ln e=1

pour toutx∈R, ln(e^x)=x

pour toutx>0,y>0, ln(xy)=lnx+lny, ln(^x_y)=lnx−lny pour toutx>0, ln¹_x =−lnx

pour toutα∈R, x>0, ln(x^α)=αlnx pour toutx∈R,a>0, a^x=e^x^ln^a

x

1 x

ln

0 +∞

+

−∞

+∞ +∞ 1

0

e

1

La courbe représentative dans un repère orthonormé de la fonction logarithme se dé- duit de celle de la fonction exponentielle par une symétrie par rapport à la droite d’équation y=x(la première bissectrice du repère).

~i

~j

0 x

y y=lnx

(5)

1.3 Les fonctions cosinus et sinus ⁵

1.2.4 Limites à connaître pour toutα >0, lim

x→0x^αlnx=0

lim

x→1

lnx

x−1 =1, c’est aussi : lim

x→0

ln(1+x)

x =1

pour toutα >0, lim

x→+∞

lnx x^α =0 1.2.5 Inégalités à connaître

pour toutx>0, lnx≤x−1 (à savoir démontrer) 1.2.6 Primitives

une primitive dex7→lnxsur ]0,+∞[ estx7→xlnx−x

siuest dérivable sur un intervalleIet siune s’annule pas surIalors une primitive de ^u_u⁰ est ln|u|.

1.3 Les fonctions cosinus et sinus 1.3.1 Définitions et propriétés

x y

−1 1

cosx

sinx M(x)

I J

O

Soit x∈Ret M le point d’abscisse curviligne x sur le cercle trigonométrique.

• Lecosinusde xnotécosxest l’abscisse du point M dans le repère (O,~i, ~j).

• Lesinusde xnotésinxest l’ordonnée du point M dans le repère (O,~i, ~j).

A tout réelx, on peut donc faire correspondre les nombres cosxet sinx.

— La fonction x ∈ R 7→ sinx, notée sin, est appelée fonction sinus et la fonction x∈R7→cosx, notée cos, est appelée fonction cosinus.

— La fonction cosinus est paire et la fonction sinus impaire : pour tout réelx, cos(−x)=cosx, et sin(−x)=−sinx.

Elles sont 2π-périodiques : pour tout réelx,

cos(x+2π)=cosx, et sin(x+2π)=sinx.

Elles sont dérivables surRet leurs dérivées sont données par cos⁰x=−sinx, sin⁰x=cosx.

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pour toutk∈Z, cos(kπ)=(−1)^ket sin(kπ)=0 pour tout réelx, cos²x+sin²x=1

pour tout réelx, cos(x+π)=−cosx, sin(x+π)=−sinx pour tout réelx, cos(x+^π₂)=−sinx, sin(x+^π₂)=cosx pour tout réelx, cos(π−x)=−cosx, sin(π−x)=sinx Formules de transformation : pour tous réelsxety,

cos(x+y)=cosxcosy−sinxsiny sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny cosx+cosy=2 cos(^x⁺₂^y) cos(^x−y₂ ) cosx−cosy=−2 sin(^x⁺₂^y) sin(^x−y₂ ) sinx+siny=2 cos(^x⁺₂^y) sin(^x−y₂ ) Formules de duplication : pour tout réelx,

cos 2x=cos²x−sin²x=1−2 sin²x=2 cos²x−1 sin 2x=2 sinxcosx

Formules de linéarisation : pour tous réelsxety, cosxcosy= 1

2(cos(x+y)+cos(x−y)) sinxcosy=1

2(sin(x+y)+sin(x−y)) sinxsiny= 1

2(cos(x−y)−cos(x+y)) 1.3.3 Représentation graphique

Tableau des variations.

x cos⁰x

cos

0 π

+ 1

1

−1

π 2

0

x sin⁰x

sin

0 ^π₂ π

+ 0 −

0 0

1 1

0 0 Courbes représentatives.

~i

~j

0 x

y y=cosx

y=sinx

(7)

1.4 La fonction tangente ⁷

1.3.4 Limites à connaître

lim

x→0

1−cosx x² = 1

2

lim

x→0

1−cosx

x =0

lim

x→0

sinx x =1 1.3.5 Inégalités à connaître

pour toutx∈R, −1≤cosx≤1 et−1≤sinx≤1 pour toutx∈R, |sinx| ≤ |x|(à savoir démontrer)

1.3.6 Résolution d’équations

cosx=cosθ⇐⇒











x≡θ[2π]

ou x≡ −θ[2π]

sinx=sinθ⇐⇒











x≡θ[2π]

ou x≡π−θ[π]

1.3.7 Primitives

une primitive det7→cos(αt) avecα,0 estt7→ sin(αt) α une primitive det7→sin(αt) avecα,0 estt7→ −cos(αt)

α

pour calculer des intégrales de produit de fonctions trigonométriques de la forme cos^ktsin^`t, on peut linéariser et utiliser les résulats précédents.

1.4 La fonction tangente

1.4.1 Définition et propriétés

La fonction tangente, notée tan, est définie sur tout intervalle de la formei

−^π₂ +kπ;^π₂+kπh oùkest un entier relatif par la formule

tanx= sinx cosx.

La fonction tangente est impaire : pour tout réelxnon congru à ^π₂[π], tan(−x)=−tanx,

elle estπ-périodique : pour tout réelxnon congru à ^π₂[π], tan(x+π)=tanx.

Elle est dérivable sur son ensemble de définition et sa dérivée est donnée par tan⁰x=1+tan²x= 1

cos²x.

(8)

Parπ-périodicité, l’étude suri

−^π₂;^π₂h suffit : x

tan⁰x

tan

−^π₂ ^π₂

+

−∞

+∞ 0

0

Les limites en−^π

2 et^π₂ sont infinies : lim

x→−^π₂tanx=−∞et lim

x→^π₂tanx= +∞, donc les droitesx=−^π

2 etx= ^π₂ sont asymptotes à la courbe.

~i

~j

0 x

y y=tanx

La fonction tangente est continue et strictement croissante sur ]− ^π₂,^π₂[, c’est une bijection de l’intervalle ]−^π₂,^π₂[ surR.

Les égalités suivantes ont lieu lorsque chaque membre est défini :

(9)

1.4 La fonction tangente ⁹

tan(^π₂ +x)= −1 tanx tan(^π₂ −x)= 1

tanx tan(x+y)= tanx+tany

1−tanxtany, tan(x−y)= tanx−tany 1+tanxtany tan 2x= 2 tanx

1−tan²x, 1+tan²x= 1

cos²x En posantt=tan^x₂,

cosx= 1−t²

1+t², sinx= 2t²

1+t², tanx= 2t 1−t²

Ces formules sont très utiles pour le changement de variable dans une intégrale.

1.4.4 Limites à connaître

lim

x→0

tanx x =1 1.4.5 Inégalités à connaître

pour toutx∈]−^π

2,^π₂[, |tanx| ≥ |x| (à savoir démontrer) 1.4.6 Résolution d’équations

tanx=tanθ⇐⇒x≡θ[π]

1.4.7 Primitives

une primitive de tan sur ]−^π₂,^π₂[ est la fonctiont7→ −ln|cost|