Stanislas
T.D. 3
Fonctions usuelles
Trigonométrie hyperbolique réciproque - Tracé de courbes
MPSI 1 2015/2016
Exercice 1. (Trigonométrie hyperbolique réciproque) 1. Définitions.
a)Montrer que la fonction cosh admet une bijection réciproque sur R+ notée argch. Préciser sa monotonie et ses ensembles de départ et d'arrivée.
b)Montrer que la fonctionsinh admet une bijection réciproque surRnotéeargsh. Préciser sa monotonie et ses ensembles de départ et d'arrivée.
c)Montrer que la fonctiontanhadmet une bijection réciproque surRnotéeargth. Préciser sa monotonie et ses ensembles de départ et d'arrivée.
2. Pour toutx∈[1,+∞[, déterminer sinh(argch(x)) sous forme de radicaux.
3. Soitx∈[1,+∞[. On pose y= argch(x).
a)Montrer que ey est racine du trinôme X2−2xX+ 1.
b)En déduire, en justiant soigneusement votre raisonnement, l'expression deargchxen fonc- tion dex.
4. Reprendre la question précédente en considérant la fonctionargsh puis la fonctionargth. 5. Régularité. Préciser les domaines de dérivation ainsi que la valeur des fonctions dérivées de argch,argsh etargth.
6. Déterminer l'ensemble des réelsx tels queargth(x) = argch 1x .
Exercice 2. (Résolution d’une inéquation logarithmique)La fonctionloga désigne la fonction loga- rithme de basea. Soit f la fonction dénie par f(x) = logx(x+ 1). Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,−→
i ,−→ j).
1. Préciser le domaine de dénitionD de f. 2. Variations.
a)Étudier les variations de la fonction x7→xln(x) surR?+. b)Dresser le tableau de variations de f.
c)Préciser l'équation de la tangente en0 à la courbe représentativeC de f. 3. Soitϕla fonction dénie par
ϕ(x) = logx+1(x).
a)Préciser son domaine de dénition et étudier ses variations.
b)Construire la courbe représentativeC0 de ϕ.
c)Déterminer les coordonnées des points communs des courbes représentatives def etϕ. 4. Résoudre l'inéquation
logx(x+ 1)>logx+1(x).
Stanislas A. Camanes
