Fonctions usuelles

Fonctions usuelles

I - Préliminaires Notations.

aetbdésignent deux réels tels que a < b.

I désigne un intervalle de Rnon vide et non réduit à un singleton.

E, F désignent deux parties deR.

f : E →F désigne une fonction deE dansF. Définition 1 (Fonction : Définition informelle).

(i). Une fonction est dénie par son ensemble de départ E, son ensemble d'arrivée F et son graphe {(x, f(x)), x∈E}.

(ii). Pour tout x∈E, le réel f(x)est l'image de xparf.

(iii). Soitt∈F. Tout réelx∈E tel que f(x) =t est un antécédent det parf. Notation.

F(E, F) désigne l'ensemble des fonctions deE dansF. Définition 2 (Image directe).

L'image directe de E parf est l'ensemble, noté f(E), dénit par f(E) ={f(x), x∈E}. Exercice 1.Soitf : R→R, x7→x². Déterminer

1. f([0,1]). 2.f([−1,1]). 3. f([−1,0]∪[2,3]). 4. f(R+). Définition 3 (Injectif, Surjectif, Bijectif).

(i). f est injective si pour touty∈F, il existe au plus un élémentxde Etel quef(x) =y. (ii). f est surjective si pour tout y∈F, il existe un élément x de E tel que f(x) =y. (iii). f est bijective si elle est injective et surjective.

Exercice 2.

1. Donner de nombreux exemples de fonctions injectives, surjectives ou bijectives.

2. Soitf telle que pour tout(x, y)∈C²,|f(x)−f(y)|=|x−y|. Montrer que f est injective.

Comment démontrer que. . . f est injective ?

Soientx₁, x₂ ∈E tels que f(x₁) =f(x₂). Montrer que x₁ =x₂. Comment démontrer que. . . f est surjective ?

Soity∈F. Montrer qu'il existex∈E tel que f(x) =y. Comment montrer que. . . f est bijective ?

En deux étapes : l'injectivité puis la surjectivité.

Proposition 1 (Monotonie et injectivité).

Sif est strictement monotone, alors f est injective.

Théorème 1 (Théorème de la bijection réciproque, P. A.).

Sif : E →F est une bijection, alors il existe une unique applicationg : F →E vériant

∗ Pour tout x∈E,g(f(x)) =x,

∗ Pour tout x∈F,f(g(x)) =x.

L'application g est la bijection réciproque def, notéef⁻¹.

II - Fonctions élémentaires II.1 - Valeur absolue

Définition 4 (Valeur absolue).

Soit xun réel. La valeur absolue de x, notée |x|, est le réelmax{x,−x}. Exercice 3.Déterminer l'ensemble des réelsx tels que|2x+ 3| − |2−x|=−3. Propriétés 2.

Soientx, y deux réels etεun réel strictement positif.

(i). |x|>0.

(ii). |x|= 0 ⇔ x= 0.

(iii). |y−x|6ε ⇔ x−ε6y6x+ε. (iv). |xy|=|x||y|.

Théorème 2 (Inégalité triangulaire).

Pour tous x, y réels, ||x| − |y||6|x+y|6|x|+|y|. Exercice 4.

1. Déterminer les cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire.

2. Montrer que pour tout réelx,

√1

1+|x|−1 6 ^|x|₂ . 3. Montrer que pour tout(x, y)∈R²,|xy|6 ¹₂(x²+y²). Définition 5 (Partie positive / négative).

Soit x∈R.

(i). La partie positive de x, notée x⁺, est le réelmax{x,0}. (ii). La partie négative de x, notéex⁻, est le réelmax{−x,0}. Propriété 3.

Soit x∈R.

(i). x=x⁺−x⁻. (ii). |x|=x⁺+x⁻. Propriété 4 (Régularité).

La fonction valeur absolue est continue sur Ret dérivable surR^∗. II.2 - Partie entière

Définition 6 (Partie entière).

Soitx un réel. L'unique entier relatifnvériant n6x < n+ 1 est la partie entière dex, noté bxc.

Propriété 5.

Soit xun réel bxc6x <bxc+ 1etx−1<bxc6x.

Exercice 5.Montrer que pour tout réelx positif,jp bxck

=b√ xc. Propriété 6 (Régularité).

La fonction partie entière est continue et dérivable surR\Z.

II.3 - Fonctions polynomiales Définition 7 (Puissance entière).

Soientx un réel etn un entier. Le réelx puissance n, notéxⁿ, vaut

∗ 1, sin= 0,

∗ x·xⁿ⁻¹, sin >0,

∗ _x−n¹ , sin <0 etx6= 0.

Propriétés 7 (Puissances et Opérations).

Soientm, n deux entiers, `un entier positif etx, y deux réels (non nuls si nécessaire).

(i). (xy)ⁿ=xⁿyⁿ. (ii). x^n+m=xⁿx^m. (iii). (xⁿ)^m=x^nm.

(iv). Formule du binôme de Newton: (x+y)^` =

P`

k=0

` k

x^ky^`−k.

Propriétés 8.

(i). Pour tout entiern, la fonction x7→xⁿ a la même parité quen.

(ii). Pour tout entier n, la fonction x 7→ xⁿ est continue et dérivable sur son intervalle de dénition et a pour dérivéex7→nxⁿ⁻¹.

Propriété 9 (Fonction racinen-ème).

Soitn∈N^?. L'application dénie surR+ parx7→xⁿréalise une bijection de R+ dansR+. Sa bijection réciproque est notée x7→ √ⁿ

x.

Exercice 6.Montrer que pour tout entier naturel supérieur à 3,√ n < √ⁿ

n!. Définition 8 (Fonction polynomiale, Degré, Racine).

Soit f : R → R. La fonction f est une fonction polynomiale si elle est identiquement nulle ou s'il existe un entier naturel n et des réels a₀, . . . , a_n tels que a_n 6= 0 et pour tout réel x, f(x) =

n

P

k=0

a_kx^k.

L'entiern est le degré, noté deg(p), de la fonction polynomiale.

Soit α un réel. Sif(α) = 0, alors α est une racine de f. Propriété 10 (Régularité).

Les fonctions polynomiales sont inniment dérivables surR.

Définition 9 (Fonctions affines).

Les fonctions anes réelles sont les applications polynomiales de degré 1.

Exercice 7.Soientf : [a, b]→R,n∈N^? et(x₀, . . . , x_n)∈Iⁿ⁺¹ tels quea=x₀ <· · ·< x_n=b. Décrire la fonction g telle que pour tout i ∈ J0, n−1K, g est ane sur [xi, xi+1] et pour tout i∈J0, nK,g(x_i) =f(x_i).

Définition 10 (Fraction rationnelle).

La fonctionf est une fraction rationnelle s'il existe deux fonctions polynomialesp, qtelles que f = ^p_q.

Propriété 11 (Régularité).

Soitf = ^p_q une fraction rationnelle etRl'ensemble des racines deq. La fonctionf est inniment dériavable surR\R.

Théorème 3 (Décomposition en éléments simples).

Soient p etq deux fonctions polynomiales telles deg(p)<deg(q). S'il existe des réels tels que q(x) =λ

n

Q

i=1

(x−a_i)^αi·Q^r

i=1

(x²+b_ix+c_i)^βi, où pour touti∈J1, rK,b²_i −4c_i<0, alors il existe une unique décomposition

p q(x) =

n

X

i=1 αi

X

j=1

λi,j

(x−ai)^j +

r

X

i=1 βi

X

j=1

µi,jx+νi,j

(x²+bix+ci)^j.

Remarque.

En pratique, 1. λi,αi = _q^p(αi)

i(αi), où q(x) = (x−αi)^αiqi(x).

2. Sip/qest paire, l'unicité de l'écriture permet d'obtenir des informations sur les coecients.

3. Sideg(q)>deg(p), on étudie la limite à l'inni de x^degqp(x)/q(x). 4. Substituer des valeurs simples.

Exercice 8.Décomposer en éléments simples

1. 1

x(x−1). 2. 1

x³−1. 3. x+ 1

x(x−1)². III - Logarithmes, Exponentielles et Puissances

III.1 - Logarithme népérien Définition 11 (Logarithme népérien).

La fonction logarithme népérien, notée ln, est l'unique primitive surR^?+ de la fonction x7→ _x¹ qui s'annule en1. Elle est donc dénie pour tout x∈R^?+ parlnx=

Z x

1

1 udu. Propriétés 12.

Soientx, y ∈R^?+, n∈Z.

(i). Morphisme de groupes :

ln(x·y) = lnx+ lny. (ii). ln x

y

= lnx−lny. (iii). ln(xⁿ) =nlnx. Propriété 13 (Régularité).

La fonction logarithme népérien est une fonction continue et strictement croissante deR^?+dans R. De plus, lim

x→0⁺lnx=−∞et lim

x→+∞lnx= +∞.

La fonction lnest dérivable sur R^?+ et pour tout réel strictement positif x,ln⁰(x) = ¹_x. Exercice 9.

1. Montrer que la fonction lnest inniment dérivable surR^?+ et déterminer ses dérivées succes- sives.

2.SoientI un intervalle deRetu : I →R^? une fonction dérivable. Déterminer la dérivée de la fonction ln◦|u|.

III.2 - Exponentielle Définition 12 (Exponentielle).

La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction réciproque de la fonction logarithme né- périen.

Propriétés 14.

Soientx, y ∈R, n∈Z.

(i). exp(0) = 1.

(ii). Morphisme de groupe : exp(x+y) = exp(x)·exp(y).

(iii). exp(x−y) = ^exp(x)_exp(y). (iv). exp(nx) = (exp(x))ⁿ.

Propriété 15 (Régularité).

La fonction exponentielle est une fonction strictement croissante de R dans R^?₊. De plus,

x→−∞lim exp(x) = 0 et lim

x→+∞exp(x) = +∞.

III.3 - Logarithmes et exponentielles de base a Notation.

adésigne un réel appartenant à l'ensemble ]0; 1[∪]1; +∞[. Définition 13 (Logarithme de basea).

Le logarithme de base a, noté log_a, est l'application deR^?+ dansR dénie pour tout x ∈ R^?+

parlog_a(x) = lnx lna. Propriétés 16.

Soientx, y ∈R^?+. (i). log_a(a) = 1.

(ii). log_a(x·y) = log_ax+ log_ay.

(iii). log⁰_a(x) = _xln¹_a.

Exercice 10.Discuter la montonie de la fonction log_a en fonction des valeurs dea.

Définition 14 (Exponentielle de basea).

L'exponentielle de base a, notée exp_a, est l'application de R dansR^?+, fonction réciproque de log_a.

Propriétés 17. Soientx, y ∈R.

(i). exp_a(1) =a.

(ii). exp_a(x+y) = exp_a(x)·exp_a(y).

(iii). exp⁰_a(x) = ln(a) exp_a(x).

III.4 - Fonctions puissances Définition 15 (Fonctions puissances).

Soit a∈R. La fonction puissance est la fonctionϕa : R^?+ →R^?+, x7→exp(alnx). Notation.

Pour tout x∈R^?+,x^a= exp(alnx). Propriétés 18.

Soienta, b∈R,x, y∈R^?₊. (i). x^ay^a= (xy)^a. (ii). x^ax^b =x^a+b.

(iii). (x^a)^b =x^ab. (iv). ln(x^a) =alnx.

Exercice 11.Soitx∈R. Déterminer la limite de la suite dénie pour tout entier naturel non nul nparun= 1 + ^x_nn

.

Exercice 12.Discuter la monotonie des fonctions puissance ϕa en fonction des valeurs dea. III.5 - Croissances comparées

Proposition 19 (Logarithme vs Puissance). Soienta, b∈R^?+. On a lim

x→0x^a|lnx|^b = 0 et lim

x→+∞

(lnx)^b x^a = 0. Proposition 20 (Exponentielle vs Puissances).

Soienta, b∈R^?+. On a lim

x→−∞|x|^aexp(bx) = 0et lim

x→+∞

exp(bx)

x^a = +∞.

Exercice 13.Énoncer et démontrer les propriétés de comparaison entre logarithmes et puissances d'une part, exponentielles et puissances d'autre part, lorsque les réels a et b sont négatifs ou nuls.

IV - Trigonométrie circulaire IV.1 - Cercle trigonométrique

Pour tout réel x, on lit les valeurs de son sinus, de son cosinus et de sa tangente sur le cercle trigonométrique.

x 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂ cosx 1

√ 3 2

√ 2 2

1

2 0

sinx 0 ¹₂

√2 2

√3

2 1

tanx 0 ^√1

3 1 √

3 k

Propriété 21 (Théorème deThalès).

Soit ABC un triangle rectangle en A. On note a (resp. b, c) la longueur du segment [BC]

(resp.[AC],[AB]) et β l'angle non orientéCBA\. Alors, cosβ= c

a,sinβ= b

a et tanβ = b c.

Exercice 14. Soient α, β deux réels. Exprimer cos(α +β) en fonction de cosα,cosβ,sinα et sinβ.

Pour tout x∈R,

cos(−x) = cosx sin(−x) = −sinx cos(π−x) = −cosx sin(π−x) = sinx cos(π+x) = −cosx sin(π+x) = −sinx cos(^π₂ +x) = −sinx sin(^π₂ +x) = cosx

Exercice 15.Soitx un réel. Pour tout entier naturel n, exprimercos(x+nπ) (resp.sin(x+nπ)) en fonction decosx(resp. sinx).

Théorème 4 (Théorème dePythagore). Pour tout x∈R,cos²x+ sin²x= 1.

IV.2 - Régularité Propriété 22.

(i). La fonction sinus, notéesin, est continue, dérivable, 2π-périodique et impaire.

(ii). La fonction cosinus, notéecos, est continue, dérivable, 2π-périodique et paire.

(iii). La fonction tangente, notéetan, est dénie pour toutx∈R\{^π₂+πZ}partanx= ^sin_cos^x_x. Elle est continue (sur son ensemble de dénition), dérivable (sur son ensemble de dé- nition), π-périodique et impaire.

Propriété 23 (Dérivation).

Les fonctions sinus et consinus sont dérivables et

sin⁰= cos, cos⁰ =−sin.

La fonction tangente est dérivable sur son ensemble de dénition et tan⁰ = 1 + tan².

Exercice 16.

1. Montrer que la fonctioncos(resp. sin) est inniment dérivable et, pour tout n∈N, exprimer sa dérivéen-ème en fonction des fonctions cosetsin.

2. Montrer que pour toutx∈R\_π

2 +πZ ,tan⁰(x) = _cos¹2(x). Définition 16 (Exponentielle complexe).

Pour tout nombre complexe z, il existe un unique couple (x, y) ∈ R² tel que z = x+iy. On notee^z =e^x(cosy+isiny).

Propriété 24.

Pour tout nombre complexez₀, la fonctionϕ : R→C, x7→e^xz0 est continue et dérivable sur Ret

∀ x∈R, ϕ⁰(x) =z0e^xz0. IV.3 - Équations trigonométriques

Notation.

Pour tous réels x, y, v, la relation x ≡ y [v] se lit x est congru à y modulo v et signie qu'il existe un entier relatifk tel quex=y+kv.

Exercice 17. Soient x, y deux réels tels que x ≡ y [3π]. Soit z = 2x+ 3. Montrer que z ≡ 2y+ 3 [6π].

Proposition 25.

Pour tout couple de réels(x, y), (i). sinx= siny si et seulement si

x≡y [2π] oux≡π−y [2π]. (ii). cosx= cosy si et seulement si

x≡y [2π] ou x≡ −y [2π]. (iii). tanx= tany si et seulement si

x≡y [π].

Exercice 18.Résoudre l'équationcosx= siny.

Lemme 1 (Paramétrisation du cercle unité).

Pour tous réelsx, y tels quex²+y²= 1, il existe un réelθ tel que x= cosθ, y= sinθ.

Théorème 5.

Soienta, bdeux réels. Il existe deux réels ϕ, ψ tels que pour tout θ∈R, acosθ+bsinθ=p

a²+b²cos(θ−ϕ) =p

a²+b²sin(θ+ψ).

Exercice 19.Déterminer l'ensemble des réelsθ tels queq

3

2cosθ+^√1

2sinθ= 1. IV.4 - Formulaire de trigonométrie circulaire

Pour tous réelsx, a, b, p, q, Théorème dePythagore cos²x+ sin²x= 1

Formules d'addition cos(a+b) = cosacosb−sinasinb cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa sin(a−b) = sinacosb−sinbcosa tan(a+b) = tana+ tanb

1−tanatanb Formules de duplication cos 2a= 2 cos²a−1 = 1−2 sin²a

sin 2a= 2 sinacosa tan 2a= 2 tana

1−tan²a

Formules de factorisation cosp+ cosq= 2 cos^p+q₂ cos^p−q₂ cosp−cosq=−2 sin^p+q₂ sin^p−q₂ sinp+ sinq = 2 sin^p+q₂ cos^p−q₂ sinp−sinq = 2 cos^p+q₂ sin^p−q₂ Passage à l'angle moitiét= tan^x₂ cosx= 1−t²

1 +t² sinx= 2t

1 +t² tanx= 2t

1−t² Formules d'Euler cosx= e^ix+e^−ix

2 sinx= e^ix−e^−ix

2i

Exercice 20.Montrer que lim

u→0 cosu−1

u² =−¹₂. IV.5 - Fonctions circulaires réciproques Définition 17 (Fonction Arc sinus).

La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l'intervalle [−^π₂;^π₂]. Elle admet donc une fonction réciproque appelée Arc sinus dénie de [−1; 1]dans[−^π₂;^π₂]. Cette fonction est notée arcsin.

Propriétés 26.

(i). La fonction Arc sinus est strictement croissante et impaire sur [−1; 1].

(ii). Pour tout x∈[−1; 1],arcsinx est l'unique élément de[−^π₂;^π₂]dont le sinus vaut x.

Exercice 21.Simplier les expressions suivantes.

1. Pourx∈[−1; 1],sin(arcsinx). 2. Pourα∈[−^π₂;^π₂],arcsin(sinα).

3. arcsin(sin 4π). 4. arcsin(sin^5π₆ ). Exercice 22.Montrer que pour toutx∈[−1; 1],cos(arcsinx) =√

1−x². Définition 18 (Fonction Arc cosinus).

La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [0;π]. Elle admet donc une fonction réciproque appelée Arc cosinus dénie de[−1; 1] dans[0;π]. Cette fonction est notée arccos.

Propriétés 27.

(i). La fonction Arc cosinus est strictement décroissante sur [−1; 1].

(ii). Pour tout x∈[−1; 1],arccosx est l'unique élément de[0;π]dont le cosinus vautx.

Exercice 23.Simplier les expressions suivantes.

1. Pourx∈[−1; 1],cos(arccosx).

2. Pourα∈[0;π],arccos(cosα).

3. arccos(cos 4π).

4. arccos cos −^π₃ .

Exercice 24.Montrer que pour toutx∈[−1; 1], 1. sin(arccosx) =√

1−x². 2. arcsin(x) + arccos(x) = ^π₂.

Définition 19 (Fonction Arc tangente).

La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l'intervalle]−^π₂;^π₂[. Elle admet donc une fonction réciproque appelée Arc tangente dénie de Rdans]−^π₂;^π₂[. Cette fonction est notée arctan.

Propriétés 28.

(i). La fonction Arc tangente est strictement croissante et impaire sur R.

(ii). Pour tout x∈R,arctanx est l'unique élément de]−^π₂;^π₂[dont la tangente vaut x.

Exercice 25.Simplier les expressions suivantes.

1. Pourx∈R,tan(arctanx). 2. Pourα∈]−^π₂;^π₂[,arctan(tanα).

3. arctan(tan 4π). 4. arctan(tan^5π₆ ). Exercice 26.Montrer que pour toutx∈R,

1. cos arctanx= ^{√ 1}

1+x². 2. sin(arctanx) = ^{√ x}

1+x².

V - Trigonométrie hyperbolique

Définition 20 (Cosinus, Sinus, Tangente hyperboliques).

Les fonctions cosinus hyperbolique, notéecosh, sinus hyperbolique, notéesinh, tangente hyper- bolique, notéetanh, sont dénies par

∀x∈R,coshx= e^x+e^−x

2 ,sinhx= e^x−e^−x

2 ,tanhx= sinhx coshx.

Exercice 27.Montrer que pour toutx∈R,sinh(x)6 ^e₂^x 6cosh(x)ettanh(x)∈]−1,1[. Propriétés 29.

(i). cosh(0) = 1,sinh(0) = 0.

(ii). La fonction coshest paire, les fonctionssinh ettanhsont impaires.

(iii). ∀x∈R,exp(x) = cosh(x) + sinh(x).

Exercice 28.Montrer que toute fonction réelle à valeurs réelles peut être décomposée en la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Propriété 30 (Régularités).

Les fonctions de trigonométrie hyperbolique sont dérivables surR. De plus, sinh⁰ = cosh,cosh⁰ = sinh,tanh⁰ = 1−tanh².

Corollaire 6 (Monotonie).

(i). La fonction coshest strictement croissante deR+ dans[1; +∞[. (ii). La fonction sinhest strictement croissante de RdansR.

(iii). La fonction tanhest strictement croissante deRdans]−1,1[. Proposition 31 (Paramétrage de l’hyperbole).

Pour tout x∈R,

cosh²x−sinh²x= 1.

Exercice 29.Écrire les formules d'addition pour les fonctions de la trigonométrie hyperbolique.