Lycée Hoche MPSI B Feuille Fonctions dúne variable réelle à valeurs réelles
1. (Efu01) Remplir un tableau des expressions avec des ra- cines carrées descospπq pour(p, q)∈J1,6K.
2. (Efu02)Résoudre les équations trigonométriques.
√
3 cos 5x= cos 2x+ cos 12x (1)
tan 2x= 3 tanx (2)
(sinx)6+ (cosx)6=1
4 (3)
2 cosx
3 −sinx
2 = 2 (4)
3. (Efu03)Étudier la fonctionx→ lnxx dénie dans]0,+∞[. En déduire une inégalité entreeπ et πe.
4. (Efu04) Simplier tan 1◦tan 2◦· · ·tan 89◦. Exprimer le produit avec une notation mathématique usuelle (ra- dian).
5. (Efu05)Déterminer tous les réelsθ tels que
√
3 cosθ−sinθ≤1.
6. (Efu06)
a. Montrer que
∀x∈]−1,1[, arctan x
√1−x2 = arcsinx.
b. Pour quelsxl'équation
arccos1−x
1 +x+ arcsin 2√ x 1 +x =π est-elle dénie ? Résoudre en posantx= tan2θ. 7. (Efu07)Vérier
2 arccos3
4 = arccos1 8, arccos 9
√82 + arcsin 4
√41= π 4.
8. (Efu08)Calculerarctan 2 + arctan 3 + arctan(2 +√ 3). 9. (Efu09)Résoudre (1 +iz)n+ (1−iz)n= 0.
10. (Efu10)On admet que pour toutzcomplexe etnnaturel :
zn−1 =
n−1
Y
k=0
(z−e2ikπn ) Simplier
n−1
Y
k=0
e4ikπn −2 cosθe2ikπn + 1
11. (Efu11) Fonctions réciproques en trigonométrie hyperbo- lique.
La fonction ch dénit une bijection de [0,+∞[ dans [1,+∞[, sa bijection réciproque est notéearg ch. La fonc- tionshest bijective deRdansR, sa bijection réciproque est notée arg sh. La fonction tanhdénit une bijection de R dans ]−1,+1[, sa bijection réciproque est notée arg tanh.
a. Soitx∈[1,+∞[, exprimerarg chxà l'aide delnet de√
x2−1.
b. Soitxun nombre réel, exprimerarg shxà l'aide de lnet de√
x2+ 1.
c. Soitx∈]−1,+1[, exprimerarg thxà l'aide deln. 12. (Efu12)Simplier
arccos
r1 + cosx 2
et tracer le graphe de arccos|cosx2|. Simplier les ex- pressions
arcsin x
√1 +x2 arctan1 +x 1−x, arctan
r1 +x
1−x arcsin 2√ x 1 +x
13. (Efu13)Résoudre z2−2zcosa+ 1 = 0. Interpréter, pour zréel,
z2−2zcosa+ 1 à l'aide de modules. Résoudre
z2n−2zncosna+ 1 = 0
14. (Efu14)Calculerch(a+b),sh(a+b),ch(a) + ch(b),sh(a) + sh(b),ch(a)−ch(b).
En utilisant la dénition des fonctions hyperboliques comme parties paire et impaire de la fonction exponen- tielle, exprimer ch 3x et sh 3x en fonctions de chx et shx.
15. (Efu15) Dans cet exercice, les expressions contiennent n racines carrées emboitées. Montrer que
cos π 2n+1 = 1
2 s
2 + r
2 + q
2 +· · ·+√ 2
sin π 2n+1 =1
2 s
2− r
2 + q
2 +· · ·+√ 2 En déduire
2n s
2− r
2 + q
2 +· · ·+√ 2
n∈N∗
→π
(Utiliser(sinuun
n )n∈N∗→1 lorsque(un)n∈N∗→0) 16. (Efu16) Résoudre pour n ∈ N∗, les équations suivantes
d'inconnue complexez
(1) (1 +z)n= (1−z)n (2)
1 +iz 1−iz
n
=1 +itana 1−itana (dans l'équation(2),an'est pas congru à0 mod π2) 17. (Efu17)Exprimer
r1 + chx
2 ,
rchx−1 2 ,
rx−1 x+ 1
avec respectivement un cosinus hyperbolique, un sinus hyperbolique, une tangente hyperbolique,.
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18. (Efu18)Résoudre le système aux inconnues réelles xet y
tanx+ tany= 1 cosxcosy=1 2
19. (Efu19) Montrer que pour tous les réels x et y tels que xy6= 1, il existe un entierk tel que
arctanx+ arctany= arctan x+y 1−xy +kπ Préciser sur un dessin la valeur dek pour chaque point de coordonnées(x, y).
20. (Efu20)Calculer
n
X
k=0
sh(kx),
n
X
k=0
ch(kx) 21. (Efu21)Montrer que, pour x6= 0,
thx= 2
th 2x− 1 thx En déduire une expression de
Sn =
n−1
X
p=0
2pth(2pa).
22. (Efu22)Soit A et B des fonctions dérivables dans un in- tervalleI. On suppose queB ne s'annule pas. Exprimer la dérivée des fonctions
arctanA
B, arctanx2−2x−1 x2+ 2x−1.
23. (Efu23)Montrer que pour tous les réelsx6= 0etx6=−1,
arctan 1
2x2 −arctan x
x+ 1 + arctanx−1
x ≡0 modπ Préciser les valeurs de la fonction dans les intervalles de dénition.
24. (Efu24)On note c= cosxets= sinxpourxtel que (cosx)3+ (sinx)3= 1
En considérant(c2+s2)(c+s)et (c+s)3, former une équation de degré3dontc+sest une racine. En déduire lesxvériant la relation.
25. (Efu25)Étudier le signe de A(x) =p
3−4 cos2x−(1 + 3 sinx) 26. (Efu26)Soits >0. Montrer que
1 x+1
y,(x, y)∈]0,1[2 tqx+y=s
. admet un plus petit élément que l'on déterminera.
Même question avec 1
x+1 y +1
z,(x, y, z)∈]0,1[3 tqx+y+z=s
puis généraliser avec une somme de n (naturel quel- conque) inverses.
27. (Efu27)Soientn, m∈Ntels que0< m < net a∈R∗+. a. En étudiant les variations d'une fonction appro-
priée, montrer que :
1 + a m
mn
<1 + a n. b. En déduire que :
∀u >1, u≤ 1 +m(um1 −1) n
!n .
c. Conclure que :
∀u >1, n(un1 −1)< m(um1 −1).
28. (Efu28)Résoudre dansR
n−1
X
k=0
sh(x+k) = 0
29. (Efu29)Montrer, en étudiant une fonction que
∀(x, y, z)∈R3, ||x| − |y|| ≤ |x+z|+|y+z|
30. (Efu30)Soitaet btels que0< a < b. Calculer la dérivée def
x7→ ln(1 +ax) ln(1 +bx)
Réduire cette expression au même dénominateur et déri- ver le numérateur. En déduire les variations def. Mon- trer
ln(1 +a
b) ln(1 +b
a)<(ln 2)2 31. (Efu31)Inégalité de Gibbs.
Soit(p1,· · · , pn)et(q1,· · ·, qn)dans]0,1[n. On veut montrer que
n
X
i=1
pi=
n
X
i=1
qi ⇒
n
X
i=1
pilnqi≤
n
X
i=1
pilnpi. Montrer que∀x >0, lnx≤x−1. En déduire l'implica- tion annoncée. Dans quel cas a-t-on l'égalité ?
32. (Ere24)Montrer que
arcsin◦sin(x) = (−1)k(x−kπ)aveck=bx π+1
2c 33. (Efu33) Exprimer tan(2x),tan(3x) comme des fonctions
de tan(x) seulement. Généraliser avec tan(nx) pour n entier naturel non nul quelconque.
34. (Efu34)Pourx∈]0,π2[, calculer
n
X
k=1
coskxcos(kx),
n
X
k=1
coskxsin(kx) Pourcosx6= 0, calculer
1 +cosx
cosx+cos 2x
cos2x+· · ·+cosnx cosnx
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Pour toutxréel, calculer
n
X
k=0
cos2kx,
n
X
k=0
sin2kx,
n
X
k=0
cos3kx,
n
X
k=0
n k
coskx
35. (Efu35)Inégalité entre moyennes géométrique et arithmé- tique.
a. Soit a et b strictement positifs. En étudiant une fonction bien choisie montrer que
∀n∈N, n≥2⇒(n−1)an+bn≥nan−1b.
b. Soitx1,· · · , xn strictement positifs. On pose
An= 1 n
n
X
k=1
ak, a=An−1, b=a
1
nn.
Montrer que
An≥A
n−1
n−1n a
1
nn
c. Montrer par récurrence que la moyenne géomé- trique desxiest inférieure àAn.
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1. pas de correction pour Efu01.tex
2. (Cfu02)Solutions des équations trigonométriques.
(1) (transformation d'une somme en produit) (1)⇔√
3 cos(5x) = 2 cos(5x) cos(7x)
cos(5x) = 0⇔5x≡ π
2 modπ
⇔x≡ π
10 mod π 5
cos(7x) =
√3 2 ⇔
7x≡ π
6 mod 2π ou
7x≡ −π
6 mod 2π
⇔x≡ ± π
42 mod 2π 7 (2) (arc double)
(2)⇔ 2 sinxcosx
cos2x−sin2x = 3sinx cosx
⇔
sinx= 0 ou
2 cosx
cos2x−sin2x = 3 1 cosx (E) Avec
sinx= 0⇔x≡0 modπ et
(E)⇔2 cos2x= 3(cos2x−sin2x)
⇔cos2x= 3 sin2x⇔x≡ ±π
6 modπ (3) Désignonssinxparsetcosxparcet faisons bais-
ser le degré en remarquant que
1 = (c2+s2)3=c6+ 3c4s2+ 3c2s4+s6
=s6+c6+ 3c2s2⇒s6+c6= 1−3s2c2 Alors :
(3)⇔4s2c2= 1⇔(sin(2x))2= 1
⇔2x≡ π
2 modπ⇔x≡ π
4 mod π 2 (4) On se ramène à des x6 en utilisant
sin 3y= 3 sinycos2y−sin3y cos 2y= cos2y−sin2y
On note s = sinx6 et c = cosx6, puis on exprime en fonction desseulement
(4)⇔2(c2−s2)−3sc2+s3= 2
⇔2(1−2s2)−3s(1−s2) +s3= 2
⇔s(4s2−4s−3) = 0⇔s(2s−3)(2s+ 1) = 0 Commesest un sinus,s6=32. Les solutions sont donc seulement obtenues pours= 0ou−12soit les nombres congrus à0 modulo π ou à −π6 modulo 2π ou à 7π6 modulo2π.
3. pas de correction pour Efu03.tex 4. pas de correction pour Efu04.tex
5. Cfu05Utilisons la méthode du cours pour transformer une combinaison linéaire trigonométrique
acosθ+bsinθ
=p a2+b2
a
√a2+b2cosθ+ b
√a2+b2sinθ
. Ici
√
3 cosθ−sinθ= 2 √3
2 cosθ−1 2sinθ
!
= 2 cosπ
6 cosθ−sinπ 6 sinθ
= 2 cos(θ+π 6).
L'inéquation est donc équivalente à cos(θ+π
6)≤1 2.
Pourθ+π6 entre0et2π, l'inéquation est vériée si (5)
Fig. 1 Exercice5 fu05
π
3 ≤θ+π
6 ≤2π−π 3 ⇔θ∈
π 6,3π
2
.
Par périodicité, pour toutk∈Z, on peut ajouter2kπà cet intervalle.
6. Cfu06
a. Notons
θ= arctan x
√1−x2. On veut montrer queθ= arcsinx.
Par dénition, θ est dans le bon intervalle −π2,−π2
pour arcsin. Il reste à montrer que sinθ=x.
Exprimonssinθen fonction detanθ: sinθ= cosθtanθ= tanθ
±√
1 + tan2θ = tanθ
√
1 + tan2θ carcosθ≥0 à cause de l'intervalle. Alors :
sinθ= x
√ 1−x2
1 q
1 +1−xx22
=x.
b. L'expression est dénie pour lesxtels que 1−x
1 +x et 2√ x
1 +x dans [−1,1]
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En écrivant que les carrés sont≤1, on obtient la seule conditionx≥0 car le deuxième quotient est toujours dans l'intervalle. On pose x = tan2θ ou plutôtθ= arctan√
xce qui assure0≤θ < π2. 1−x
1 +x= 1−tan2θ
1 + tan2θ = cos2θ−sin2θ= cos 2θ 2√
x 1 +x= 2
√ tan2θ
1 + tan2θ = 2 cosθsinθ= sin 2θ.
Comme0≤2θ≤π,
arccos1−x 1 +x= 2θ.
En revanche, learcsin(sin 2θ)est égal à
2θ si0≤2θ≤ π 2 π−2θ si π
2 <2θ≤π .
On en déduit que l'ensemble des solutions est formé par lesxdu second cas c'est à dire x >1.
7. pas de correction pour Efu07.tex 8. pas de correction pour Efu08.tex 9. pas de correction pour Efu09.tex 10. pas de correction pour Efu10.tex 11. pas de correction pour Efu11.tex 12. (Cfu12)
Pourarccosq
1+cosx
2 . Utilisercosx= 2 cos2x2 −1. Pourarcsin√x
1+x2. Noterx= tanθavecθ= arctanx. Pourarctan1+x1−x. Penser àsin etcosdex+π4. Pourarctanq
1−x
1+x. On remarque quexdoit apparte- nir à]−1,1]. Poserx= cosθavecθ= arccosx∈[0, π[. Pourarcsin2
√x
1+x. Poserx= tan2θavecθ= arctan√ x. 13. pas de correction pour Efu13.tex
14. Cfu14
ea = cha+ sha eb= chb+ shb
)
⇒ea+b= (chachb+ shashb) + (chashb+ shachb) En multipliantaetbpar−1, la première parenthèse est conservée et la deuxième multipliée par -1. On en déduit
ch(a+b) = chachb+ shashb sh(a+b) = chashb+ shachb
ea+eb =ea+b2 2 cha−b 2 e−a+e−b =e−a+b2 2 cha−b
2
⇒
cha+ chb= 2 cha−b
2 cha+b 2 sha+ shb= 2 cha−b
2 sha+b 2
ea−eb=ea+b2 2 sha−b 2 e−a−e−b=e−a+b2 2 sha−b
2
⇒cha−chb= 2 sha−b
2 sha+b 2 . On utilise la formule du binôme et on sépare les parties paires et impaires
e3x= (chx+ shx)3
= ch3x+ 3ch2xshx+ 3 chxsh2x+ sh3x
⇒
(ch(3x) = ch3x+ 3 chxsh2x sh(3x) = 3ch2xshx+ sh3x. 15. pas de correction pour Efu15.tex
16. pas de correction pour Efu16.tex
17. (Cfu17) Notons A(x), B(x), C(x) les trois expressions à exprimer et utilisons
chx+ 1 = 1
2 ex+e−x+ 2
= 1
2 ex2 +ex22 et la formule analogue pourchx−1 :
chx+ 1 = 2 chx
2 2
chx−1 = 2 shx
2 2
On en déduit
A(x) = chx
2, B(x) = sh(x
2)
CommeB(x)est dénie pourxen dehors de[−1,1[, on peut considérer
x=
( chtsix≥1
−chtsix <−1 On en tire, pourx≥0,
C(x) =
tht
2 six≥1 cht2
sh2t six <−1
18. (Cfu18)Après réduction au même dénominateur de la pre- mière équation, le système devient
sin(x+y) =1 2 cos(x) cos(y) =1 2
⇔
sin(x+y) =1 2 cos(x+y) + cos(x−y) = 1
⇔ D'après la première équation, on doit avoir
cos(x+y) =±
√ 3 2
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Mais dans la deuxième équation, seul cos(x+y) =
√3 2
est possible, sinon lecosserait plus grand que1. On en tire qu'il existeu∈Ztel que
x+y= π 6 + 2uπ et la deuxième équation s'écrit :
cos(2x−π 6) = 1−
√3 2 Finalement, les solutions sont données par :
x≡ π
12±α modπ y≡ −π
6 +x mod 2π avec
α= arccos(1−
√ 3 2 ) 19. pas de correction pour Efu19.tex 20. pas de correction pour Efu20.tex 21. pas de correction pour Efu21.tex 22. Cfu22Calcul de dérivée
arctanA B
0
= A0
B −AB0 B2
1 1 + BA2
= A0B−AB0 A2+B2 . En particulier,
A= (x2−1)−2x A0 = 2(x−1) B = (x2−1) + 2x B0 = 2(x+ 1)
)
⇒
(A0B−AB0= 4(x2+ 1) A2+B2= (x2+ 1)2 La dérivée demandée est
4 x2+ 1.
23. (Cfu23) Notons respectivementα, β et γ les trois termes et calculons
tan(α+β) =
1 2x2 −x+1x
1 + 2x12x+1x = −2x3+x+ 1 2x3+ 2x2+x
=(1−x)(2x2+ 2x+ 1)
x(2x2+ 2x+ 1) = 1−x x en divisant−2x3+x+ 1par−x+ 1car1est une racine évidente. Ceci permet de conclure :
tan(α+β) =−tanγ⇒α+β+γ≡0 modπ Calcul de la valeur de la somme.
Dans]− ∞,−1[. Limite en−∞: 0−π +π = 0.
Dans]−1,0[. Limite à gauche de0 : π2 −0 +π2 =π. Dans]1,+∞[. Limite en+∞: 0−π4 +π4 = 0. 24. (Cfu24)Avec les indications de l'énoncé etc3+s3= 1:
c+s= (c2+s2)(c+s) = 1 +c2s+cs2 (c+s)3= 1 + 3(c2s+cs2)
)
⇒
(c+s)2−3(c+s) =−2 Or1 est racine évidente de
z3−3z+ 2 = 0 En divisant parz−1, on factorise :
z3−3z+ 2 = (z−1)2(z−2)
On doit donc avoirc+s= 1 c'est à dire xcongru à π2 ou0modulo2π.
25. (Cfu25)Examinons s'il existe desxtels queA(x) = 0.
A(x) = 0⇒3−4 cos2x= (1 + 3 sinx)2
⇒ −2 + 9 sin2x+ 4 cos2x+ 6 sinx= 0
⇒2 + 5 sin2x+ 6 sinx= 0 Or l'équation5z2+ 6z+ 2 = 0est sans racine réelle car de discriminant−4.
La fonctionAgarde donc un signe constant dans chacun de ses intervalles de dénition I+ = [π6,5π6 ] et I− = [−5π6,−π6].
CommeA(π2) =√
3−4<0etA(−π2) =√
3 + 4>0, la fonctionAest négative dansI+ et positive dansI−. 26. Cfu26Méthode 1. On étudie la fonction
x7→ 1 x− 1
s−x
en calculant sa dérivée. Elle atteint sa valeur minimale en s2. Cette valeur minimale est 4s.
On montre par récurrence que la plus petite valeur pour l'ensemble des sommes de ntermes est ns2. Elle est at- teinte pour tous lesxi égaux à ns.
La formule à l'ordrenentraine celle à l'ordren+ 1 car 1
x+ 1
x2
+· · ·+ 1 xn+1
≥ 1 x+ n
s−x. On étudie la fonction en dérivant
x7→ 1 x− n2
s−x. Elle atteint sa plus petite valeur en n+1s .
Méthode 2. Avec une décomposition idiote et la formule de Cauchy-Schwarz.
n=√ x1 1
√x1
+· · ·+√ x2 1
√xn
⇒n2≤(x1+· · ·+xn)
| {z }
=s
1
x1 +· · ·+ 1 xn
.
27. (Cfu27)
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a. Étudier f :x7→ (1 +mnx)mn −1−x, puis utiliser f(na).
b. Exprimer a pour que u = (1 + ma)m puis utiliser l'inégalité de la question a.
c. Commencer par prendre la puissance 1n de l'inéga- lité du b.
28. (Cfu28)En utilisant la dénition deshet la propriété fon- damentale de l'exponentielle puis en multipliant par2, on écrit
n−1
X
k=0
sh(x+k) = 0⇔
n−1
X
k=0
exek=
n−1
X
k=0
e−xe−k
⇔e2x= Pn−1
k=0e−k Pn−1
k=0ek =1 +e−1+· · ·+e−(n−1) 1 +e1+· · ·+en−1
=e−(n−1) en−1+en−2+· · ·+ 1
1 +e1+· · ·+en−1 =e1−n Comme la fonction exponentielle réelle est bijective, il existe une unique solution :
1−n 2
29. (Cfu29)Pourxety xés, considérons la fonctionf z7→ |x+z|+|y+z|
Pour xer les idées supposons que x < y. Les valeurs absolues changent de signe en−xet−y(avec−y <−x).
On en déduit que f est constante entre −y et −x de valeur
x+z−y−z=x−y
Dans le cas général, on a toujours un intervalle sur lequel la fonction est constante et de valeur
max(x, y)−min(x, y) =|x−y|
On a donc prouvé
∀(x, y, z)∈R3, |x−y| ≤ |x+z|+|y+z|
On termine avec la relation de cours conséquence de l'in- égalité triangulaire
||x| − |y|| ≤ |x−y|
30. pas de correction pour Efu30.tex
31. (Cfu31)On montrelnx≤x−1en étudiant la fonctionx← lnx−x. Pour chaquei, appliquons l'inégalité précédente en pqii :
lnqi pi
≤ qi pi
−1⇒pilnqi pi
≤qi−pi. On somme ensuite surice qui donne l'inégalité
n
X
i=1
pilnqi ≤
n
X
i=1
pilnpi
car lesqi et lespiont la même somme.
32. pas de correction pour Efu32.tex
33. pas de correction pour Efu33.tex
34. (Ccu16)Nommons A, B,· · ·, G les sommes que l'on nous demande de calculer.
A+iB =
n
X
k=1
(cosx eix)k =1−(cosx)nenix
1−cosx eix (cosx eix) Or
eix
1−cosx eix = 1
e−ix−cosx= i sinx
⇒
A= (cosx)n+1sin(nx) sinx
B= cosx(1−(cosx)ncos(nx)) sinx
La troisième somme est la partie réeelle d'une somme géométrique de raison
eix
cosx avec 1− eix
cosx=−itanx
C= Re
1−
eix cosx
n+1
1−coseixx
= sin(n+ 1)x sinx(cosx)n PourD,E,F on linéarise :
cos2u= 1 2+1
2cos(2u), sin2u=1 2 −1
2cos(2u), cos3u= 1
4(cos(3u) + 3 cosu)
D=n+ 1 2 +1
2Re
1−ei(n+1)2x 1−ei2x
=n+ 1
2 +sin((n+ 1)x) cos(nx) sin(x) E=n+ 1
2 −sin((n+ 1)x) cos(nx) sin(x) 35. (Cfu35)Étudier la fonctionf telle que
f(x) =xn−nx+n−1 et considérerf(ab).
