Lycée Hoche MPSI B Feuille Suites de fonctions
1. (Esf01) Étudier la convergence simple ou uniforme des suites de fonctions.
n∈N∗sur [0,+∞[
x n(1 +xn) n∈Nsur[0,1[,
ne−x+x2 n+x
n∈N∗, sur [a,+∞[aveca >0puis sur]0,+∞[, ln(x+1
n) n∈Nsur[0,+∞[.,
nx2e−nx n∈Nsur[0,+∞[,
nx 1 +n3x2 fn est dénie surR+ parfn(0) = 0 et
∀x >0, fn(x) =sin(nx) n√
x . fn est dénie surR+ parfn(0) =−1 et
∀x >0, fn(x) = 4−(lnx)2n 3 + (lnx)2n SurR,
x2e−sinxn fn(x)est dénie par
n2x , x∈[0,1 n]
−n2x+ 2n , x∈[1 n,2
n] 0 , x∈[2
n,1]
fn est dénie dans]0,+∞[,n∈N inf(n, 1
√x)
fn est dénie dansR,fn(x) = 0en dehors de[−n, n]
et
fn(x) = (1−x n)n
dans [−n, n]. Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions sur[0,+∞].
2. (Esf02) Montrer que, si une suite (fn)n∈N d'applications croissantes sur un intervalleI converge simplement sur Ivers une fonctionf, alorsf est croissante.
3. (Esf03)SoitX un ensemble et (fn)n∈Nune suite d'appli- cations deX dans Rqui converge uniformément surX vers une applicationf. Montrer que
( fn
1 +fn2)n∈N converge uniformément vers
f 1 +f2 Gà cnà craliser.
4. (Esf04) Soit(Pn)n∈N la suite d'applications dénies dans [0,1]par
P0 = 0
Pn+1(x) = Pn(x) +1
2(x−Pn(x)2)
a. Vérier que pour tout entiernet toutxdans[0,1],
0≤√
x−Pn(x)≤ 2√ x 2 +n√
x
b. En déduire que(Pn)n∈Nconverge uniformément sur [0,1]vers l'application racine carrée.
5. (Esf05) Soit(fn)n∈Nune suite d'applications bornées qui converge uniformément vers une fonction f. Montrer que la suite (efn)n∈N est bornée. Montrer que la suite (efn)n∈Nconverge uniformément versef.
6. (Esf06)Théorème d'approximation de Weierstrass.
Soitn∈N∗, x∈[0,1]et f ∈ C([0,1],R).
On se donne aussi des variables aléatoires X1,· · ·, Xn
mutuellement indépendantes et suivant la loi de Ber- noulli de paramètrex. On note
Sn=
n
X
k=1
Xk, Zn = 1
nSn, Bn(f)(x) =E(f(Zn)) a. Quelle est la loi deSn? Préciser
E(Sn), V(Sn), E(Zn), V(Zn)
b. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Chebychev, montrer que
∀α >0 : X
|kn−x|≥α
k n
xk(1−x)n−k ≤ 1 4nα2 c. Montrer que
Bn(f)(x)−f(x)
=
n
X
k=0
k n
xk(1−x)n−k
f(k
n)−f(x)
d. En déduire, en utilisant le théorème de Heine que la suite de fonctions(Bn(f))n∈N converge unifor- mément versf dans[0,1].
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai _fex_sfpdf du 28 février 2020
Lycée Hoche MPSI B Feuille Suites de fonctions : corrigés
1. pas de correction pour Esf01.tex 2. pas de correction pour Esf02.tex 3. pas de correction pour Esf03.tex 4. pas de correction pour Esf04.tex 5. pas de correction pour Esf05.tex 6. (Csf06)
a. La variableSnsuit une loi binomiale de paramètres net x. Avec le cours :
E(Sn) =nx, V(Sn) =nx(1−x), E(Zn) =x, V(Zn) = x(1−x)
n b. On applique l'inégalité de Bienaymé-Chebychev à
la variableZn :
P(|Zn−x|)≤x(1−x) nα2 ≤ 1
4nα2
car il est bien connu que x(1 −x) ≤ 14 pour x entre0 et 1. En interprétantSn comme le nombre d'éléments d'une partie aléatoire d'un ensemble à néléments, l'événement(|Zn−x|)est réalisé pour les tirages de parties àkéléments avec
nk −x ≥α. On en déduit
P(|Zn−x|) = X
|kn−x|≥α k
n
xk(1−x)n−k
c. La formule de transfert montre que Bn(f)(x) =
n
X
k=0
k n
xk(1−x)n−kf(k n) On obtient la formule demandée en soustrayant à cette relation le développement du binôme de
f(x) = (x+ (1−x))nf(x)
d. D'après le théorème de Heine appliqué à la fonction continuef dans le segment[0,1], pour tout ε >0, il existeα >0 tel que
∀(u, v)∈[0,1],|u−v| ≤α⇒ |f(u)−f(v)| ≤ ε 2 On en déduit pour chaquex∈[0,1],
|Bn(f)(x)−f(x)| ≤ ε 2 + 1
4nα2
en séparant leskselon quenk est proche ou loin dex et en majorant avec les inégalités déjà introduites.
Comme la majoration est valable pour tous lesx:
N∞(Bn(f)−f)≤ε 2 + 1
4nα2
On termine avec le raisonnement usuels en deux étapes successives.
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