Lycée Hoche MPSI B Feuille FVG : calcul diérentiel

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille FVG : calcul diérentiel

1.

^(Edg01)

Soit U un ouvert de R ² (resp R ³ ), une application numérique f dénie dans U est dite harmonique si et seulement si ∆f = 0 où

∆f = ∂ ² f

∂ x ² + ∂ ² f

∂ y ² (resp) ∂ ² f

∂ x ² + ∂ ² f

∂ y ² + ∂ ² f

∂ z ² est le laplacien de f .

a. Pour (x, y) ∈ R ² et z = x + iy , montrer que la fonction f dénie par :

f ((x, y)) = ln e ^ze

^−z

est harmonique.

b. Montrer que si f est harmonique et de classe C ³ alors ∂f

∂ x et y ∂f

∂ x − x ∂f

∂ y sont harmoniques.

c. Vérier que

f ((x, y, z)) = arctan y

x + arctan z

y + arctan x z est harmonique sur R ^∗3 .

2.

^(Edg02)

Fig. 1 Exercice 2 . Le graphe d'une fonction. Mais laquelle ?

Fig. 2 Exercice 2 . Le graphe d'une fonction. Mais laquelle ?

Fig. 3 Exercice 2 . Le graphe d'une fonction. Mais laquelle ?

Fig. 4 Exercice 2 . Le graphe d'une fonction. Mais laquelle ?

Étudier la continuité, l'existence et la continuité des dé- rivées partielles pour les fonctions f suivantes







(x ² + y ² ) sin 1

x ² + y ² si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)







x ³ − y ³

x ² + y ² si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) ( e

^{x2 +y}¹²⁻¹

si x ² + y ² < 1

0 si x ² + y ² ≥ 1 ( x ² si |x| > y

0 si |x| ≤ y

3.

^(Edg03)

Montrer que f : M n ( R ) → M n ( R ) telle que f (X) = X ² admet des dérivées dans toutes les direc- tions. Calculer D _U f (X) .

Même question avec la fonction det de M _n ( R ) dans R.

On trouvera

D U det(M ) = tr ^t Com(M )U

4.

^(Edg04)

Soit f ∈ C ² ( R ) et g de R ² dans R dénie par

g((x, y)) =







f (x) − f (y)

x − y si x 6= y f ⁰ (x) si x = y montrer que g ∈ C ¹ ( R ² ) .

5.

(Edg05)

Prouver l'existence et comparer les dérivées partielles

∂ ² f

∂ x∂ y ((0, 0)), ∂ ² f

∂ y∂ x ((0, 0)) pour la fonction f dénie dans R ² par







xy(x ² − y ² )

x ² + y ² si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)

6.

^(Edg06)

Déterminer les extréma locaux des applications suivantes

R ² : x ² + xy + y ² + 2x + 3y R ² : x ³ + y ³ ]0, π[ ² : sin x + sin y + cos(x + y)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai _fex_dgpdf du 28 février 2020

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Lycée Hoche MPSI B Feuille FVG : calcul diérentiel

7.

^(Edg07)

Soit a > 0 , trouver le minimum de f dénie de R ² dans R par

f = p

x ² + (y − a) ² + p

y ² + (x − a) ²

8.

^(Edg08)

Soit f une fonction homogène de degré k > et C ¹ dans le plan. Cela se traduit par :

f ◦ h _O,λ = λ ^k f

où h O,λ désigne l'homothétie de centre O et de rapport λ .

a. Montrer que f(O) = 0 . b. En appliquant l'opérateur ∂

∂x sur cette relation, montrer que ∂f

∂x et ∂f

∂y sont homogènes de degré k − 1 .

c. Pour un point m xé, en dérivant l'application λ → f ◦ h o,λ (m)

démontrer la formule d'Euler

∂f

∂x (m)x(m) + ∂f

∂y (m)y(m) = kf (m)

9.

^(Edg09)

Fonctions holomorphes.

On s'interesse ici aux fonctions à valeurs complexes d'une variable complexe. On commence par redénir des notations usuelles an de les faire entrer dans le cadre des systèmes de coordonnées

x = Re, y = Im, z = x + iy, z = x − iy On notera bien que le dernière relation n'est pas une égalité entre nombres complexes mais entre fonctions complexes. De même z n'est pas le conjugué d'un nombre complexe mais la conjugaison elle même. Les fonctions x et y forment un système de fonctions coordonnées. On aura donc en particulier pour tous les w complexes :

z(w) = w, x(w) = Re w, y(w) = Im w, z(w) = w Normalement les opérateurs _∂x ^∂ et _∂y ^∂ agissent sur les fonctions à valeurs réelles, on les étend aux fonctions f à valeurs complexes par linéarité (complexe). On pose donc :

∂f

∂x = ∂ Re f

∂x + i ∂ Im f

∂x

∂f

∂y = ∂ Re f

∂y + i ∂ Im f

∂y

On dénit des opérateurs linéaires _∂z ^∂ et _∂z ^∂ sur les fonctions à valeurs complexes par les formules :

∂

∂z = 1 2

∂

∂x − i ∂

∂y

∂

∂z = 1 2

∂

∂x + i ∂

∂y

Soit f une fonction de classe C ¹ dans C.

a. Montrer que, pour tous complexes m et h :

f (m + h) − f (m) = ∂f

∂z (m)h + ∂f

∂z (m)h + r(h)

avec r(h)

|h|

− → 0 0

b. Pour tout complexe m , on note τ _m la fonction dé- nie dans C ^∗ par :

τ m (h) = f (m + h) − f (m) h

Montrer l'équivalence entre les deux propriétés suivantes :

(1) τ _m admet une limite en 0

(2) ∂f

∂z (m) = 0

On dit alors que f est holomorphe en m . c. Calculer

∂

∂z ◦ ∂

∂z et ∂

∂z ◦ ∂

∂z Montrer que

∂f

∂z = ∂f

∂z

En déduire que, lorsque f est holomorphe, ses par- ties réelles et imaginaires sont harmoniques.

10.

^(Edg10)

Montrer que la relation proposée dénit implici- tement y en fonction de x au voisinage du point M . Former un développement limité à l'ordre indiqué de la fonction implicite de x .

x ⁴ + y ³ − 2x ² y = 1 M = (0, 1) ordre 3 x ³ + y ³ + x ² + y ² + y = 0 M = (0, 0) ordre 5 xe ^y + ye ^x − 1 = 0 M = (0, 1) ordre 2 1

2 ln(x ² + y ² ) − arctan y

x = 0 M = (1, 0) ordre 3 11.

^(Edg11)

Soit a un réel strictement positif. Déterminer les

points critiques de

f = x ³ + y ³ − 3axy en précisant s'il s'agit de col ou d'extremum.

12.

^(Edg12)

Dans cet exercice, x et y désignent les fonctions coordonnées dans un repère xé et Ω est le demi-plan y > 0 . On souhaite déterminer des fonctions f dénies dans Ω et vériant

δ(f ) = 0 avec δ = x ² ∂ ²

∂x ² − y ² ∂ ²

∂y ² a. Calculer

x ∂

∂x − y ∂

∂y

◦

x ∂

∂x + y ∂

∂y

b. On introduit le système de coordonnées (u, v) déni par

u = xy, v = x y Exprimer δ en fonction de _∂u ^∂ et _∂v ^∂ .

2

(3)

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c. En déduire des solutions exprimées à l'aide de u et v .

13.

^(Edg13)

En utilisant le système ρ, θ de coordonnées po- laires, résoudre les équations aux dérivées partielles suivantes

x ∂f

∂x + y ∂f

∂y = x ² + y ² x ∂f

∂x − y ∂f

∂y = 0 x ∂f

∂x + y ∂f

∂y = p x ² + y ² 14.

^(Edg14)

Calculer le gradient de r ^α .

15.

^(Edg15)

Le but de l'exercice est de déteminer les fonctions f ∈ C ² ( R ) vériant :

∀(x, y) ∈ R ² , f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y) a. Déterminer les solutions constantes.

b. Soit f une solution non constante.

i. Montrer ue f (0) = 1 et que f ⁰ (0) = 0 . ii. Montrer que f est une fonction paire.

c. Soit f une solution non constante. On considère la fonction F dénie dans R ² par :

F ((x, y)) = f (x + y) + f (x − y) i. Justifer que F ∈ C ^∈ ( R ² ) .

ii. Calculer les dérivées partielles secondes de F . En déduire que f vérie une équation diéren- tielle de la forme

f ⁰⁰ − αf = 0

Donner les solutions de cette équation suivant les valeurs de α .

d. Déterminer toutes les solutions de l'équation.

16.

^(Edg16)

Soit ϕ une fonction continue de R. Les fonctions coordonnées canoniques de R ² sont notées x et y . On dénit une fonction f de R ² dans R par :

∀m ∈ R ² , f(m) = Z y(m)

0

(x(m) − t)ϕ(t) dt Montrer que f ∈ C ² ( R ² ) et calculer les dérivées partielles.

17.

^(Edg17)

Dans un ouvert U de R ² convenable, déterminer des solutions des équations aux dérivées partielles en utilisant le nouveau système de coordonnées indiqué.







∂f

∂x − ∂f

∂y + 3(x − y) = 0 u = xy, v = x + y



 

  2x ∂f

∂x − y(1 + y ² ) ∂f

∂y = 0 x = 1

2 (u ² + v ² ), y = u v





 x ² ∂ ² f

∂x ² − y ² ∂ ² f

∂y ² + x ∂f

∂x − y ∂f

∂y = 0 u = ln |x|, v = ln |y|





 2 ∂f

∂x − ∂f

∂y = 0

u = x + y, v = x + 2y



 

  2xy ∂f

∂x + (1 + y ² ) ∂f

∂y = 0 x = 1

2 (u ² + v ² ), y = u v

3

(4)

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1. pas de correction pour Edg01.tex 2. pas de correction pour Edg02.tex 3. pas de correction pour Edg03.tex 4. pas de correction pour Edg04.tex 5. pas de correction pour Edg05.tex 6. pas de correction pour Edg06.tex 7. pas de correction pour Edg07.tex 8. pas de correction pour Edg08.tex

9. a. On écrit le théorème d'approximation pour la partie réelle et la partie imaginaire avec h = u + iv ( u et v réels).

Re f (m + h) = Re f (m) + ∂ Re f

∂x u + ∂ Re f

∂y v + r ₁ (h) Im f (m + h) = Im f (m) + ∂ Im f

∂x u + ∂ Im f

∂y v + r 2 (h) puis on les combine :

f (m + h) = f (m) + ∂f

∂x u + ∂f

∂y u + r(h)

= f (m) + 1 2

∂f

∂x (h + h) − i 2

∂f

∂x (h − h) + r(h)

= f (m) + ∂f

∂z h + ∂f

∂z h + r(h) 10. pas de correction pour Edg10.tex

11. pas de correction pour Edg11.tex 12. pas de correction pour Edg12.tex 13. pas de correction pour Edg13.tex 14. pas de correction pour Edg14.tex 15. pas de correction pour Edg15.tex 16. pas de correction pour Edg16.tex 17. pas de correction pour Edg17.tex

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