Lycée Hoche MPSI B Feuille Introduction aux systèmes linéaires

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Introduction aux systèmes linéaires

1.

^(Esl01)

Le paramètre m et les inconnues x , y , z sont complexes. Discuter et résoudre les systèmes

(1)



 

 

x + my + m

²

z = 0 mx + y + mz = 0 m

²

x + my + z = 0 ,

(2)



 

 

x − my + m

²

z = 2m mx − m

²

y + mz = 2m

mx + y − m

²

z = 1 − m .

2.

^(Esl02)

Résoudre les systèmes

(1)



 

 

 

 

x

1

+x

2

= a x

3

+x

4

= b x

1

+x

2

+x

3

+x

4

= c x

₃

+x

₄

= d

(2)



 

 

 

 

x

₁

+2x

₂

+3x

₃

+4x

₄

= 11 2x

1

+3x

2

+4x

3

+ x

4

= 12 3x

₁

+4x

₂

+ x

₃

+2x

₄

= 13 4x

1

+ x

2

+2x

3

+3x

4

= 14

3.

(Esl03)

Discuter suivant les paramètres de l'existence et du nombre de solutions des systèmes aux inconnues (x, y, z) .

(1)



 

 

−2x + y + 2z = a

−x + 2y + 2z = b

−2x + 2y + 3z = c , (2)

( ax + y + z = α x + ay + z = β

(3)



 

 

x + ay + a

²

z = a

³

x + by + b

²

z = b

³

x + cy + c

²

z = c

³

, (4)



 



 



αx + y + z + t = 1 x + αy + z + t = β x + y + αz + t = β

²

x + y + z + αt = β

³

Pour le système (4) , on pourra additionner les lignes.

4.

^(Esl04)

Résoudre dans R.

(1)



 

 

x + 2z = 1 5x + 2y = 1 x − 2y + 6z = 3

(2)



 

 

3x + 2z = 2 5x + 2y = 1 x − 2y + 4z = 3

(3)



 

 

x + 2y + 4z = 12 5x + y − 3z = 0

3x − y + z = 10 (4)



 

 

 

 

2x − y + 3z = 3 3x + y − 5z = 0 4x − y + z = 3 x + 3y − 13z = −6 5.

^(Esl05)

Soit α 6≡ 0 mod

^π₂

. Discuter de l'existence de so-

lutions du système



 

 

x + y cos α + z cos 2α = a x cos α + y cos 2α + z cos 3α = b x cos 2α + y cos 3α + z cos 4α = c

6.

^(Esl06)

Soit λ , µ , γ , δ des nombres complexes tels que λ 6= µ et γδ 6= 0 . On dénit des fonctions g et g

⁰

de R dans C par :

∀t ∈ R ,

( g(t) = γe

^λt

+ δe

^µt

g

⁰

(t) = γλe

^λt

+ δµe

^µt

.

Pour tous α et β complexes, on dénit f par

∀t ∈ R , f (t) = αe

^λt

+ βe

^µt

.

En utilisant les formules de Cramer, exprimer des complexes K et K

⁰

tels que

f = Kg + K

⁰

g

⁰

.

7.

^(Esl07)

Soit a et b réels xés. En utilisant ce que vous savez des suites arithmético-géométriques

∀n ∈ N , u

n+1

= au

n

+ b, étudier le système



 

 

 

 

x

2

= ax

1

+ b x

3

= ax

2

+ b

...

x

_n

= ax

_n−1

+ b x

1

= ax

n

+ b

.

8.

^(Esl08)

En considérant

x

₁

+ x

₂

+ · · · + x

_n

, discuter et résoudre le système



 

 

 

 

(a + 1)x

1

+ x

2

+ x

3

+ · · · + x

n

= a

²

+ na x

1

+ (a + 1)x

2

+ x

3

+ · · · + x

n

= a

³

+ na

²

...

x

1

+ x

2

+ x

3

+ · · · + (a + 1)x

n

= a

ⁿ⁺¹

+ na

ⁿ

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai _fex_slpdf du 28 février 2020

(2)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Introduction aux systèmes linéaires : corrigés

1.

^(Csl01)

En présence d'un paramètre, la multiplication d'une équation par une expression contenant le para- mètre n'est pas une opération élémentaire et ne conserve pas l'ensemble des solutions. On ne doit pas utiliser ce genre de transformation.

Système (1).

En utilisant L

3

← L

3

−mL

2

, L

2

← L

2

−mL

1

, on obtient un système triangulaire équivalent



 

 

x + my +m

²

z = 0 (1 − |m|

²

)y+m(1 − |m|

²

)z = 0 (1 − |m|

²

)z = 0

Si |m| 6= 1 , le système admet une unique solution. Si

|m| = 1 , le système est équivalent àla seule équation

x + my + m

²

z = 0.

Système (2).

En utilisant L

₃

← L

₃

− L

₂

, L

₂

← L

₂

− mL

₁

, L

₂

↔ L

₃

, on obtient un système triangulaire équivalent



 

 

x− my+m

²

z = 2m

(1 + m

²

)y−m

²

(1 + m)z = 1 − m − 2m

²

(m − m

³

)z = 2m − 2m

²

On présente les ensembles de solutions dans les diérents cas après calculs.

Si m / ∈ {i, −i, 0, 1, −1} , m(3 + m

²

)

(1 + m

²

)(1 + m) , 1 − m 1 + m

²

, 2

1 + m

.

Si m = 0 .

{(0, 1, t) , t ∈ C } . Si m = 1 .

{(1, t − 1, t) , t ∈ C } . Si m ∈ {i, −i − 1} , pas de solution.

2.

^(Csl02)

Équation (1).

Opérations L3 ← L

₃

− L

₁

− L

₂

, L

₄

← L

₄

− L

₂

. Le système est équivalent à



 

 

 

 

x

1

+x

2

= a x

₃

+x

₄

= b

0 = c − a − b 0 = d − b

Si b − d 6= 0 ou c − a − b 6= 0 , pas de solution.

Sinon les solutions sont

(a − λ, λ, b − µ, µ) avec (λ, µ) ∈ R

²

Équation (2). En ajoutant toutes les équations, on obtient

x

1

+ x

2

+ x

3

+ x

4

= 5

que l'on soustrait à toutes les autres. On obtient le sys- tème équivalent :



 

 

 

 

x

₂

+2x

₃

+3x

₄

= 6 x

1

+2x

2

+3x

3

= 7 2x

1

+3x

2

+ x

4

= 8 3x

1

+ x

3

+2x

4

= 9

Opérations : L

3

← L

3

− 2L

2

, L

4

← L

4

− 3L

2

.



 

 

 

 

x

2

+2x

3

+3x

4

= 6 x

₁

+2x

₂

+3x

₃

= 7

− x

2

−6x

3

+ x

4

= −6

−6x

2

−8x

3

+2x

4

= −12 Opération L

4

← L

4

− 2L

3

−4x

2

+ 4x

3

= 0.

Opération L

₁

← L

₁

+ L

₃

:

−4x

3

+ 4x

4

= 0.

On en déduit x

2

= x

3

= x

4

et il existe une unique solution

(2, 1, 1, 1).

3.

^(Csl03)

Système (1).

(1) ⇔



 

 

−x + 2y + z = b

−3x − 2z = a − 2b

−3y + z = c − 2b

⇔



 

 

−x + 2y + z = b

−3y − 2z = a − 2b

−2y − z = c − 2b

⇔



 

 

−x + z + 2y = b

−z − 2y = c − 2b y = a + 2b − 2c Le système (1) admet donc toujours une unique solution.

Système (2).

(2) ⇔

( z+ ax+ y = α (1 − a)x+(a − 1)y = β − α Si a 6= 1 , les solutions sont

λ + β − α

a − 1 , λ, −a(λ + β − α

a − 1 ) − λ + α

λ ∈ R .

Si a = 1 et α 6= β pas de solution.

Si a = 1 et α = β , le système est équivalent à l'unique équation

x + y + z = α.

Système (3). On va montrer que si a , b , c sont deux à deux distincts, le système admet un unique triplet solution.

Opérations L

3

← L

3

− L

2

, L

2

← L

2

− L

1

puis on divise L

2

par b − a et L

3

par c − a .



 

 

x+ay+ a

²

z = a

³

y+(a + b)z = b

²

+ ab + a

²

y+ (c + b)z = b

²

+ cb + c

²

⇔



 

 

x+ay+ a

²

z = a

³

y+(a + b)z = b

²

+ ab + a

²

(c − a)z = (c − a)(a + b + c)

.

2

(3)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Introduction aux systèmes linéaires : corrigés

On en déduit z = a + b + c , x = abc , y = −(ab +bc + ca) . Système (4).

Ne pas utiliser l'algorithme de Gauss mais ajouter toutes les lignes :

(3 + α)(x + y + z + t) = 1 + β + β

²

+ β

³

. Pour α + 3 6= 0 , notons

S = 1 + β + β

²

+ β

³

α + 3

Le système admet une unique solution car il est équi-

valent à 

 



 



(α − 1)x + S = 1 (α − 1)y + S = β (α − 1)z + S = β

²

(α − 1)t + S = β

³

4.

^(Csl04)

Système (1). Unique solution

1 3 , − 1

3 , 1 3

.

Système (2). Par opérations élémentaires équivalent à



 

 

2y+5x = 1 3x+2z = 2

−2y+ x+4z = 3

⇔



 

 

2y+5x = 1 3x+2z = 2 6x+4z = 4

⇔



 

 

2y+5x = 1 3x+2z = 2 0 = 0 .

Solutions : 2

3 , − 7 6 , 0

+ λ

− 2 3 , 5

3 , 1

, λ ∈ R .

Système (3). Unique solution (2, −1, 3).

Système (4). Par opérations élémentaires équivalent à



 

 

 

 

y+3x− 5z = 0

−y+2x+ 3z = 3

−y+4x+ z = 3 3y+ x−13z = −6

⇔



 

 

 

 

y+3x−5z = 0 5x−2z = 3 7x−4z = 3

−8x+2z = −6

⇔



 

 

 

 

y−5z+3x = 0

−2z+5x = 3

−4z+7x = 3 2z−8x = −6

⇔



 

 

 

 

y−5z+3x = 0 z−4x = −3

−2z+5x = 3

−4z+7x = 3

⇔



 

 

 

 

y−5z+3x = 0 z−4x = −3

−3x = −3

−9x = −9 Unique solution

(1, 2, 1).

5.

^(Csl05)

On utilise la formule

cos((p + q)α) = cos(qα) cos(qα) − sin(qα) sin(qα).

Après les opérations

L2 ← L

2

− cos(α)L

1

, L3 ← L

3

− cos(2α)L

1

, on obtient le système équivalent



 

 

x+y cos(α) +z cos(2α) =a

−y sin

²

(α) +z sin(2α) sin(α)=b − a cos(α)

−y sin(2α) sin(α)+z sin

²

(2α) =c − a cos(2α) Comme α 6≡ 0 mod

^π₂

, on peut diviser par sin(α) et sin(2α) :



 

 

 

 

x+y cos(α)+z cos(2α)=a

−y +2z cos(α)= b − a cos(α) sin

²

(α)

−y +2z cos(α)= c − a cos(2α) sin(2α) sin(α) Le système admet des solutions si et seulement si