Lycée Hoche MPSI B Feuille Suites et fonctions à valeurs complexes

Lycée Hoche MPSI B Feuille Suites et fonctions à valeurs complexes

1.

Dénition de l'exponentielle complexe

On rappelle que, si a est un nombre réel, on note a

= max(a, 0), a

= max(−a, 0) On a alors a = a

− a

.

a. Montrer, pour tout r réel positif la convergence de la suite réelle (1 +

r +

r

+ · · · +

r

)

. b. Soit (u

)

une suite de nombres complexes, on

pose

s

= u

+ u

+ · · · + u

S

= |u

| + |u

| + · · · + |u

|.

Montrer que la convergence de la suite à valeurs réelles (S

)

entraîne celle de la suite complexe (s

)

. Dans toute la suite et pour tout z ∈ C, on note

s

(z) = 1 + 1 1! z + 1

2! z

+ · · · + 1 n! z

, S

(z) = 1 + 1

1! |z| + 1

2! |z|

+ · · · + 1 n! |z|

= s

(|z|)

c. Montrer que (s

(z))

converge. On note s(z) sa limite.

d. Montrer que s(z) = s(z) .

e. i. Montrer que, pour tout complexes z et z

,

s

(z)s

(z

) − s

(z + z

)

= X

(i,j)∈{0,...,n}², i+j>n

z

z

i!j!

ii. Montrer que pour tout complexes z et z

,

X

(i,j)∈{0,...,n}², i+j>n

z

z

i!j!

≤ s

(|z| + |z

|) − s

(|z| + |z

|) iii. En déduire

∀(z, z

) ∈ C

, s(z + z

) = s(z)s(z

) f. Soit z un nombre complexe xé, montrer que la

dérivée de t → s(tz) est zs(tz) .

En fait on dénit la fonction exponentielle complexe en posant exp(z) = s(z) pour tout nombre complexe z . On vient de démontrer certaines des propriétés admises en début d'année lors de la présentation des fonctions usuelles.

2.

Soit z un nombre complexe de partie réelle a et de partie imaginaire b . On se propose de déterminer la limite de la suite

(1 + z

n )

n∈N 1Voir le coursNombres complexes

a. Montrer qu'il existe un entier N tel que n ≥ N ⇒ Re(1 + z

n )) > 0

b. Former l'expression trigonométrique de 1 +

en utilisant la fonction arctan .

c. montrer que

(1 + z n )

n∈N

→ e

3.

a. En multipliant par sin

simplier

n

Y

k=1

cos θ

2

avec n ∈ N

et θ

6≡ 0 mod π.

En déduire la limite de la suite.

b. On dénit une suite complexe par récurrence :

∀n ∈ N , z

= 1

2 (z

+ |z

|) .

Montrer la convergence et préciser la limite en fonc- tion de la condition initiale z

= ρe

.

4.

Soit (z

)

une suite complexe telle que z

n∈N

→ 1, ∀n ∈ N , |z

− z

| < 1.

a. Montrer qu'il existe N ∈ N tel que

∀n ≥ N, |Re(z

)| ≥ 1 2 . b. On suppose que Re(z

) ≥

. Montrer que

∀n ≥ N, Re(z

) ≥ 1 2 . En déduire que (Im(z

))

N

converge vers 0 . c. Conclure.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Lycée Hoche MPSI B Feuille Suites et fonctions à valeurs complexes : corrigés

1. pas de correction pour Evc01.tex 2. pas de correction pour Evc02.tex 3. pas de correction pour Evc03.tex 4. pas de correction pour Evc04.tex

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