Lycée Hoche MPSI B Feuille Intégrales et primitives

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Intégrales et primitives

1.

(Eip01)

Étudier la convergence en 0 de a 7→ R

3a a

cosx x

dx et former un développement limité.

2.

^(Eip02)

La fonction x 7→

_ln¹_x

dénie dans ]0, 1[ admet-elle un prolongement par continuité en 0 ? Ce prolongement est-il dérivable en 0 ?

Montrer la convergence en 0 de a 7→ R

a² a

dx

lnx

. On note f la fonction prolongée en 0 . Montrer que f est dérivable dans [0, 1[ mais que sa dérivée n'est pas continue en 0 . 3.

^(Eip03)

Intégrales de Wallis.

Soit

I

n

= Z

^π₂

0

sin

ⁿ

x dx

a. Pour n ≥ 2 , former une relation entre I

n

et I

n−2

. En déduire que nI

_n

I

_n−1

est indépendant de n et préciser sa valeur.

b. Montrer que la suite (I

n

)

n∈N

est décroissante et que (I

n−1

)

n∈N

∼ (I

n

)

n∈N

. En déduire un équivalent simple de (I

n

))

n∈N

.

c. Exprimer I

2p

à l'aide de factorielles.

d. (formule de Stirling) On admet qu'il existe un réel K tel que

n! ∼ Kn

ⁿ

e

⁻ⁿ

√ n

Calculer K en utilisant l'équivalent trouvé en c.

4.

^(Eip04)

Calculer les primitives des fonctions suivantes : 1

4x

²

+ 4x + 5 , 1

x

²

− 4x + 2 , 1 5 + 3 cos x 1

x

r x − 1

x + 1 , x

√ x

²

+ x + 2 , 1 e

^x

+ 2e

^−x

x

²

√ 1 − x

²

, sin x + 2 cos x sin x − cos x 5.

^(Eip05)

Pour θ ∈]0,

^π₂

[ , calculer

I(θ) = Z

^π₂

0

dt 1 + cos θ cos t 6.

^(Eip06)

En linéarisant, calculer

I

n

= Z

^π₂

0

cos(nx) cos

ⁿ

x dx 7.

^(Eip07)

Montrer que la suite

Z

1 0

dx n

²

+ x

³

n∈N

converge vers 0 . En utilisant le changement de variable y = x n

⁻²³

former un développement asymptotique de la suite.

8.

^(Eip08)

Montrer que Z

^π₄

0

ln(cos x)dx = Z

^π₄

0

ln(cos( π

4 − x))dx En déduire la valeur de

Z

^π₄

0

ln(1 + tan x)dx

9.

^(Eip09)

Calculer les intégrales suivantes : Z

1

0

e

^x+e^x

dx , Z

e^π2

1

cos(ln x)dx Z

^π₆

0

sin

²

x cos x dx ,

Z

^π₃

0

cos

³

x sin 2x dx Z

2 ln 2

ln 2

dx e

^x

− 1 ,

Z

2π 0

cos 5x cos x dx Z

^π₂

0

cos x

cos x + sin x dx , Z

^π₂

0

cos

³

x cos

³

x + sin

³

x dx (a < b)

Z

b a

x p

(x − a)(b − x)dx 10.

^(Eip10)

Calculer les intégrales suivantes :

Z

0

−1

dx p 1 + √

1 + x ,

Z

1

−1

dx 2 + √

1 − x + √ 1 + x . 11.

^(Eip11)

Soit a > 0 et f ∈ C

¹

([0, a]) telle que

f (0) = 0, ∀x ∈]0, a], f

⁰

(x) > 0 Montrer que

∀x ∈ [0, a] , Z

x

0

f (t)dt + Z

f(x)

0

f

⁻¹

(u)du = xf (x) En déduire que ∀(x, y) ∈ [0, a] × [0, f(a)] :

Z

x 0

f(t)dt + Z

y

0

f

⁻¹

(u)du ≥ xy 12.

^(Eip12)

On dénit des fonctions F et G en posant :

∀x ∈ i

− π 2 , π

2 h

, F (x) =

Z

x 0

dt cos t

∀y ∈ R , G(y) =

Z

y 0

dt ch t

Eectuer le changement de variable u = tan t dans F en déduire son expression en fonction de argsh et tan . Exprimer G en fonction de arctan et sh . Montrer que F est une bijection de

−

^π₂

,

^π₂

dans R et que F

⁻¹

= G . 13.

^(Eip13)

Soit a ∈ ]−1, 1[ et f

a

une fonction dénie dans R

par :

f

_a

(x) = π − p 1 − a

²

Z

x 0

dt 1 + a cos t Montrer que

f

a

(−x) = −f

a

(x) + 2π f

a

(x + 2π) = f

a

(2π) + f

a

(x) − π

f

a

(0) = π

Exprimer f

a

(x) en fonction de arctan et de tan

^x₂

lorsque x ∈ ]−π, π[ .

Montrer que f

a

◦ f

a

est l'identité de R.

14.

^(Eip14)

Pour p et q dans N

^∗

, on pose β(p, q) =

Z

1 0

t

^p+1

(1 − t)

^q−1

dt

Former une relation entre β(p, q) et β (p + 1, q − 1) . En

déduire la valeur de β(p, q) .

(2)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Intégrales et primitives

15.

^(Eip15)

Calculer une primitive des fonctions suivantes, pré- ciser le domaine de dénition.

1 1 + √

1 + x

²

, 1 − x

²

(1 + x

²

) √

1 + x

²

, tan x 1 + sin

²

x , sin x

3 + sin

²

x , tan x 1 + tan x ,

√ x − 1 x + 1

x

(x

²

+ 1)

¹²

+ (x

²

+ 1)

¹³

. 16.

^(Eip16)

Préciser le domaine de dénition et exprimer, à

l'aide des fonctions usuelles, des primitives des fonctions suivantes :

cos x + 2 sin x

sin x − cos x , sin x

1 + sin x , e

^x

sin x, x

²

√ 1 − x

²

, 1

(4x − x

²

)

³²

, 1 x

²

(x + √

1 + x

²

) , 1

(x − 1) √

−x

²

+ 3x − 2 , 1 (x − 2)

³

√

x

²

− 4x + 3 , 1

x + √

x

²

− 1 , 1

ch

³

x + sh

³

x − 1 , 1

ch x √

ch 2x , 1

5 ch x + 3 sh x + 4 . 17.

^(Eip17)

Soit m un nombre complexe et P un polynôme à

coecients complexes.

a. Montrer qu'il existe un unique Q ∈ C [X ] tel que mQ + Q

⁰

= P .

b. Montrer que e

^mx

Q(x) est une primitive de e

^mx

P (x) dans R.

c. Montrer que

Q =

deg(P)

X

k=0

(−1)

^k

m

^k+1

P

^(k)

18.

^(Eip18)

Pour tout réel x / ∈ {−1, +1} , on pose

I(x) = Z

π

0

ln(x

²

− 2x cos t + 1)dt

a. À l'aide de changements de variables, exprimer I(−x) , I(

¹_x

) , I(x

²

) en fonction de I(x) .

b. Soit a tel que 0 < a < 1 . Montrer que

|x| < a ⇒ |I(x)| ≤ −2π ln(1 − a).

c. En déduire la valeur de I(x) . (voir exercice ap02).

19.

^(Eip19)

Pour n entier supérieur ou égal à 2 , former une relation entre I

n

(x) et I

_n−2

(x) pour

I

n

(x) = Z

x

0

dt ch

ⁿ

t

20.

^(Eip20)

Pour n entier supérieur ou égal à 2 , former une relation entre I

n

(x) et I

n+1

(x) pour

I (x) =

Z

x

dt

21.

^(Eip21)

Soit a > 0 et f ∈ C

¹

([0, a]) telle que f (0) = 0 . Montrer que

Z

a 0

|f f

⁰

| ≤ a 2

Z

a 0

f

⁰²

Étudier les cas d'égalité.

22.

^(Eip22)

Soient f et g des fonctions continues sur [0, +∞[ . On suppose que g est à valeurs strictement positives et que

^f_g

est monotone. On note respectivement F et G les primitives de f et g nulles en 0 . Montrer que

^F_G

est monotone dans ]0, +∞[ .

23.

^(Eip23)

Soit f ∈ C

¹

([a, b]) . On pose I

_n

=

Z

b a

f (t) sin(nt)dt Montrer que (I

n

)

_n∈

N

converge vers 0 .

24.

^(Eip24)

Soit a et b réels tels que 0 < a < b . Calculer Z

a+b

b

x −

^a+b₂

(x − a)(x − b) + p

(x − a)(x − b)

25.

^(Eip25)

Soit ϕ et ψ réels tels que ϕ 6≡ 0 mod π , ψ 6≡ 0 mod π , ϕ − ψ 6≡ 0 mod 2π , ϕ + ψ 6≡ 0 mod 2π . En utilisant des éléments simples de deuxième espèce réels, calculer une primitive de

1 (x

²

− 2x cos ϕ + 1) (x

²

− 2x cos ψ + 1)

26.

^(Eip26)

Soit a

1

, · · · , a

n

∈ ]0, +∞[ deux à deux distincts.

Calculer une primitive de 1 Q

n

j=1

(x

²

+ a

²_j

)

27.

^(Eip27)

Pour quelles valeurs des paramètres les primitives des fonctions suivantes sont-elles rationnelles ?

at

²

+ bt + c

t

³

(t − 1)

²

; (t − a)(t − b) t

²

(t − c)

²

;

at + b

t

³

(t − 1)

²

; (t − a)(t − b) (t − p)

²

(t − q)

²

Pour la dernière fraction, on pourra poser

x = t − p t − q

28.

^(Eip28)

En utilisant une décomposition en éléments de deuxième espèce dans R, calculer une primitive de

1 x

³

− 1

29.

^(Eip29)

Soit F une fonction rationnelle à coecients com- plexes dont le degré est inférieur ou égal à −2 . Soit I un intervalle de R non majoré et ne contenant pas de pôle de F .

a. Montrer que toute primitive de F dans I converge en +∞ .

b. Calculer la limite en +∞ de la primitive de

^2t²

(3)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Intégrales et primitives

c. Soit s et n entiers naturels tels que s < n . Calculer la limite en +∞ de la primitive de

_1+t^2t^2s2n

dénie dans R et nulle en 0 .

30.

^(Eip30)

Deuxième formule de la moyenne.

Soit f ∈ C

¹

([a, b]) croissante et g ∈ C

⁰

([a, b]) . Montrer qu'il existe un x ∈ [a, b] tel que

Z

b a

f(t)g(t) dt = f (a) Z

x

a

g(t) dt + f (b) Z

b

x

g(t) dt 31.

^(Eip31)

Soit f ∈ C

²

([a, b], R ) . Montrer que

Z

b a

f(x)dx = b − a

2 (f (a) + f (b))

− 1 2

Z

b a

(b − x)(x − a)f

⁰⁰

(x) dx 32.

^(Eip32)

La fonction F est dénie dans R par

F (x) = Z

x

0

2t

²

1 + t

⁴

dt

Montrer que F converge en +∞ et calculer sa limite.

Étudier la limite pour x en

^π₂

de Z

x

0

√ tan t dt

33.

^(Eip33)

On veut dénir une fonction f dans R ou une

partie de R par :

f (x) = y ⇔ Z

y

x

e

^t²

dt = 1

a. Justier de l'existence, du domaine de dénition et de la régularité de f .

b. Déterminer la limite de f en +∞ et un équivalent.

34.

^(Eip34)

Soit f ∈ C

¹

([a, b]) telle que f (a) = f (b) = 0 et K > 0 majorant de f

⁰

.

a. Montrer que

∀t ∈ [a, b] , f (t) ≤

( K(t − a) K(b − t) . b. Montrer que

∀x ∈ [a, b] , Z

x

a

f (t) dt ≤ K (x − a)

²

2 .

c. Montrer que Z

b

a

f (t) dt ≤ K (b − a)

²

4 .

(4)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Intégrales et primitives : corrigés

1.

^(Cip01)

On se place dans ]0, +∞[ mais ce qui nous intéresse est le comportement en 0 . On remarque que x 7→

^cos_x^x

n'admet pas de limite en 0 . On ne peut donc pas pro- longer la fonction en 0 et considérer une intégrale de 0 à a .

Une étude de fonctions montre que

∀x > 0, 1 − x

²

2 ≤ cos x x ≤ 1 On en déduit

ln 3 − 2a

²

≤ Z

3a

a

cos x

x dx ≤ ln 3

Par le théorème d'encadrement, la fonction converge vers ln 3 en 0 . Considérons

F :



 

 

 

 

[0, +∞[ → R

a 7→



 

  Z

3a

a

cos x

x dx si a > 0

ln 3 si a = 0

La fonction F ainsi prolongée est continue et, à priori, dérivable seulement dans l'ouvert avec

∀a > 0, F

⁰

(a) = cos 3a − cos a a

Comme cette fonction converge en 0 , le théorème de la limite de la dérivée montre que F et C

¹

. On peut intégrer son développement limité

F

⁰

(a) = − 4a + o(a

²

) F (a) = ln 3 − 2a

²

+ o(a

³

) 2. pas de correction pour Eip02.tex

3. pas de correction pour Eip03.tex 4.

^(Cip04)

Primitive de

_4x2+4x+5¹

. 1

4x

²

+ 4x + 5 = 1 (2x + 1)

²

+ 4

= 1 4

1 (x +

¹₂

)

²

+ 1 . Une primitive est donc

F (t) = 1

4 arctan(t + 1 2 ) Primitive de

_x2−4x+2¹

1 x

²

− 4x + 2 =

1 2√ 2

x − 2 − √ 2 +

−

¹

2√ 2

x − 2 + √ 2 Une primitive est donc

F(t) = 1

√ ln |x − 2 − √ 2| − 1

√ ln |x − 2 + √ 2|

Primitive de

_{5+3 cos}¹ _x

. Pour t dans R, changement de variable u = tan

^x₂

dans F(t) .

F(t) = Z

t

1 5 + 3 cos x dx

= Z

tan₂^t

2 du

5(1 + u

²

) + 3(1 − u

²

)

= 1 4

Z

tan₂^t

du 1 + (

^u₂

)

²

= 1

2 arctan 1

2 tan( t 2 )

Primitive de

_x¹

q

x−1

x+1

. On se place dans [1, +∞[ . Première méthode.

F(x) = Z

x

1

r t − 1 t + 1

dt t =

Z

x 1

√ t

²

− 1 t(t + 1) dt.

Changement de variable t = ch u .

F(x) =

Z

argch(x) 0

ch u − 1 ch u du

= argch(x) −

Z

argch(x) 0

1 ch u du

= argch(x) −

Z

argch(x) 0

ch u 1 + sh

²

u du

= argch(x) − arctan ◦ sh ◦ argch(x)

= argch(x) − arctan( p

x

²

− 1).

Deuxième méthode.

Changement de variable u = q

t−1 t+1

. F(x) =

Z

q_x−1

x+1

0

4u

²

(1 + u

²

)(1 − u

²

) du = · · · Primitive de

^√_x2+x+1^x

pas encore de correction Primitive de

_ex+2e¹ ^−x

pas encore de correction Primitive de

^√_1−x^x² 2

pas encore de correction Primitive de

^sin_sin^{x+2 cos}_x−cos_x^x

pas encore de correction 5. pas de correction pour Eip05.tex 6.

^(Cip06)

cos(nx) cos

ⁿ

x = Re

e

^ix

+ e

^−ix

2 e

^ix

ⁿ

= 1

2

ⁿ

Re(e

^2ix

+ 1)

ⁿ

= 1 2

ⁿ

n

X

k=0

n k

cos(2kx)

Lors de l'intégration, des sin(2kx) apparaissent. Leur contribution est nulle entre 0 et

^π₂

sauf pour k = 0 . La valeur de l'intégrale proposée est donc

π

(5)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Intégrales et primitives : corrigés

7.

^(Cip07)

Notons I

n

l'intégrale à étudier.

Comme n

²

+ x

³

≥ n

²

,

0 ≤ I

_n

≤ 1 n

²

Ce qui assure la convergence vers 0 .

Le changement de variable indiqué conduit à I

n

= n

⁻⁴³

Z

n⁻²3

0

dy

1 + y

³

= n

⁻⁴³

F (n

⁻²³

) où F est la primitive nulle en 0 de

y 7→ 1 1 + y

³

On peut intégrer en 0 un développement de la dérivée : F(y) = y − 1

4 y

⁴

+ o(y

⁴

) On en tire

I

n

= n

⁻⁴³

n

⁻²³

− 1 4 n

⁻⁸³

= n

⁻²

− 1

4 n

⁻⁴

+ o(n

⁻⁴

) 8.

^(Cip08)

La première égalité vient du changement de va-

riable y =

^π₄

− x . On obtient Z

^π₄

0

ln(1 + tan x)dx = π ln 2 8 en remarquant que

1 + tan x = cos x + sin x cos x =

√ 2 cos(

^π₄

− x) cos x

9.

^(Cip09)

Les intégrales suivantes se calculent avec des pri- mitives.

Z

1 0

e

^x+e^x

dx = e

^e

− e, Z

e^π2

1

cos(ln x)dx = 1

2 e

^π²

− 1 , Z

^π₆

0

sin

²

x cos x dx = 1

2 (ln 3 − 1) , Z

^π₃

0

cos

³

x sin 2x dx = 31 80 , Z

2 ln 2

ln 2

dx

e

^x

− 1 = ln 3 2 ,

Z

2π 0

cos 5x cos x dx = 0, Notons

I = Z

^π₂

0

cos x

cos x + sin x dx J = Z

^π₂

0

sin x cos x + sin x dx Le changement de variable y =

^π₂

− θ dans I montre que I = J . Comme I + J =

^π₂

, on déduit

I = J = π 4 Le calcul est le même pour

Z

^π₂

0

cos

³

x cos

³

x + sin

³

x dx

10.

^(Cip10)

Calcul des intégrales Z

0

−1

dx p 1 + √

1 + x

= 4 3 (2 − √

2)

Z

1

−1

dx 2 + √

1 − x + √

1 + x = 4 √

2 − π − 2

x f (x)

f (x)

Fig. 1 Exercice 11 (Cip11)

11.

^(Cip11)

Notons I

1

la première intégrale ( x en haut) et I

2

la deuxième ( f (x) en haut). Dans I

2

, eectuons le changement de variable

t = f

⁻¹

(u) u = f (t) du = f

⁰

(t)dt qui conduit à

I

₂

= Z

x

0

tf

⁰

(t)dt puis une intégration par parties

I

₂

= [tf (t)]

^x₀

− Z

x

0

f (t)dt = xf(x) − I

₁

On présente en gure 1 une interprétation géométrique.

La surface au dessous des graphes sont décalées pour faciliter la visualisation. Notons S

₁

celle de droite at- tachée au graphe de f et S

₂

celle de gauche attachée au graphe de f

⁻¹

. L'aire est conservée par symétrie et la surface symétrique de S

₂

par rapport à la bissectrice vient compléter S

₁

pour former le rectangle.

12. pas de correction pour Eip12.tex

13. pas de correction pour Eip13.tex

14. pas de correction pour Eip14.tex

15.

^(Cip15)

(6)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Intégrales et primitives : corrigés

Primitive de

₁₊^√¹_1+x2

.

F(x) = Z

x

0

dt 1 + √

1 + t

²

chgt t = sh u

=

Z

argsh(x) 0

ch u

1 + ch u du chgt v = e

^u

= Z

x+√

x²+1 0

v

²

+ 1 v(v + 1)

²

dv v

²

+ 1

v(v + 1)

²

= 1

v − 2

(v + 1)

²

F(x) = ln

x + p x

²

+ 1

+ 2

1 + x + √ x

²

+ 1 . Primitive de

_(1+x^1−x2)√²

1+x²

à compléter Primitive de

_1+sin^tan^x2x

à compléter Primitive de

_3+sin^sinx2x

à compléter Primitive de

_1+tan^tan^x_x

à compléter Primitive de

^√_x+1^x−1

dans [1, +∞[ .

F(x) = Z

x

1

√ t − 1

t + 1 dt chgt u = √ t − 1

= Z

√x−1

0

2u

²

u

²

+ 2

= 2 √

x − 1 − 2 √

2 arctan

r x − 1 2 . Primitive de

^x

(x²+1)¹2+(x²+1)¹3

à compléter 16. pas de correction pour Eip16.tex

17. pas de correction pour Eip17.tex 18.

^(Cip18)

a. On obtient I(−x) = I(x) avec le changement de variable u = π−t dans l'intégrale exprimant I(−x) . On obtient

I( 1

x ) = I(x) − π ln(x

²

) = I(x) − 2π ln |x|

en réduisant au même dénominateur et dévelop- pant le ln . Pour I(x

²

) , on factorise d'abord

x

²

− e

^it

=

x − e

ⁱ^t²

x + e

ⁱ²^t

⇒ I(x

²

) = Z

π

0

ln(x

²

− 2x cos t 2 + 1)dt +

Z

π 0

ln(x

²

+ 2x cos t

2 + 1)dt.

En posant u =

₂^t

dans la première intégrale et u = π −

^t₂

dans la seconde, on obtient

I(x

²

) = 2I(x).

b. Voir exercice cu31.

c. Soit |x| < 1 . Posons a = |x| et x

₀

= x et

Alors :

∀n ∈ N , x

_n

∈ [−a, a] , I(x

_n

) = 2

ⁿ

I(x).

Or, d'après b.

∀n ∈ N , |I

n

| ≤ −2π ln(1 − a).

La suite géométrique (de raison 2) I(x

n

) est bornée donc elle est nulle c'est à dire I(x) = 0 . Pour |x| >

1 ,

I(x) = I( 1 x )

| {z }

=0

+ 2π ln(x) = 2π ln(x).

19. pas de correction pour Eip19.tex 20. pas de correction pour Eip20.tex 21.

^(Cip21)

On utilise

f (x) = Z

x

0

f

⁰

et F(x) = Z

x

0

|f

⁰

|

pour majorer : Z

a

0

|f (x)f

⁰

(x)| dx = Z

a

0

Z

x 0

f

⁰

(t) dt

|f

⁰

(x)| dx

≤ Z

a

0

Z

x 0

|f

⁰

(t)| dt

| {z }

=F(x)

|f

⁰

(x)|

| {z }

=F⁰(x)

dx

≤ 1

2 F

²

a

0

≤ 1 2

Z

a 0

|f

⁰

(t)| dt

2

≤ a 2

Z

a 0

(f

⁰

(t))

²

dt en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Dans un cs d'égalité, toutes les inégalités de la chaînes doivent être des égalité, en particulier la dernière (de Cauchy-Schwarz). On en déduit que |f

⁰

| doit être constante. Comme f

⁰

est supposée continue, elle doit être constante donc f doit être polynomiale de degré 1 . 22. pas de correction pour Eip22.tex

23. pas de correction pour Eip23.tex 24.

^(ip24)

Après le changement de variable

x = a + b

2 + b − a 2 ch t on obtient

Z

a+b b

x −

^a+b₂

(x − a)(x − b) + p

(x − a)(x − b) = ln(1 +

√ ab) 25. pas de correction pour Eip25.tex

26. pas de correction pour Eip26.tex 27. pas de correction pour Eip27.tex

28.

^(Cip28)

La décomposition en éléments simples réels s'écrit 1

t

³

− 1 = a

t − 1 + bt + c 1 + t + t

²

avec a , b , c réels. On obtient

1 1 2

(7)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Intégrales et primitives : corrigés

en supertildant en 1 et en j . On en déduit 1

t

³

− 1 = 1 3

1 t − 1 − 1

6 2t + 1 t

²

+ t + 1 + 1

2 1 t

²

+ t + 1 L'intégrale cherchée est donc :

1 3 ln |t − 1| − 1

6 ln(t

²

+ t + 1) + 1

√ 3 arctan 2t + 1

√ 3 29.

^(Cip29)

a. Une première démonstration par majoration. La fonction est de signe constant au voisinage de +∞ . Supposons la positive (on peut utiliser −F ). L'hy- pothèse sur les degrés permet de la majorer par une fonction de la forme

t 7→ A t

²

Les primitives de F sont donc croissantes et majo- rées au voisinage de +∞ ce qui assure la conver- gence.

Présentons une démonstration plus algébrique.

Dans la décomposition en éléments simple de F considérons la somme des résidus :

X

z∈Pr

λ(z) t − z + X

z∈Pc

λ(z) t − z

où P

r

P

c

désignent respectivement les ensembles de pôles réels et non réels de la fraction. D'après le cours, une primitive de cette fonction est

X

z∈Pr

λ(z) ln |t − z|

+ X

z∈Pc

λ(z)

ln |t − z| + i arctan t − Re(z) Im(z)

Chacune des parties en arctan converge en +∞ vers

π

2

. Pour montrer la convergence des parties loga- rithmiques, il faut les considérer toutes à la fois.

Mélangeons tous les pôles, réels ou non :

p

X

k=0

λ

k

ln |t − z

k

|

=

p

X

k=0

λ

_k

! ln |t| +

p

X

k=0

λ

_k

ln |1 − z

_k

t | La somme des résidus est nulle car la fraction est de degré ≤ 2 . On le montre en multipliant par t et en faisant tendre t vers 0 . On en déduit la conver- gence des primitives car les autres termes de la dé- composition en éléments simples conduisent à des fractions de degré négatifs.

b.

c.

30.

^(Cip30)

Dénissons la fonction G dans [a, b] par : G(x) =

Z

x a

g(t) dt

C'est la primitive de g nulle en a . On peut intégrer par parties :

Z

b a

f (t)g(t) dt = [f G]

^b_a

− Z

b

a

f

⁰

(t)G(t) dt Comme f

⁰

(t) ≥ 0 ,

(f(b) − f (a)) min

[a,b]

G ≤ Z

b

a

f

⁰

(t)G(t) dt

≤ (f (b) − f (a)) max

[a,b]

G D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à G , il existe x ∈ [a, b] tel que

Z

b a

f

⁰

(t)G(t) dt = (f (b) − f (a))G(x) Comme G(a) = 0 , on en déduit :

Z

b a

f (t)g(t) dt = f (b)(G(b) − G(x)) + f (a)G(x)

= f (b) Z

b

x

g(t) dt + f (a) Z

x

a

g(t) dt 31.

^(Cip31)

La fonction (b − x)(x − a) s'annule en a et en b , sa

dérivée s'écrit

¹₂

(x −

^a+b₂

) . On en déduit les intégrations par parties :

Z

b a

(b − x)(x − a)f

⁰⁰

(tx) dx = 2 Z

b

a

(x − a + b

2 )f

⁰

(x) dx

= 2[(x − a + b

2 )f (x)]

^b_a

] − Z

b

a

f (x) dx

= (b − a)[f

⁰

(a) + f

⁰

(b)] − 2 Z

b

a

f (x) dx La formule demandée en découle immédiatement.

32.

^(Cip32)

La fonction F est croissante (primitive d'une fonc- tion positive). De plus, pour x > 1 ,

F(x) = F(1) + Z

x

1

2t

²

1 + t

⁴

dt ≤ F(1) + Z

x

1

2t

²

t

⁴

dt

≤ F (1) + 2 − 2

x ≤ F(1) + 2 La fonction est donc majorée ce qui assure sa conver- gence en +∞ . On note L le limite

Le calcul se fait à l'aide d'une décomposition en éléments simples. Notons a = e

ⁱ^π⁴

. Il existe un λ ∈ C tel que, en tenant compte des symétries,

2X

²

1 + X

⁴

= λ

X − a + λ

X − a − λ

X + a − λ

X + a

Le calcul de λ s'eectue comme d'habitude (avec la dé-

rivée du dénominateur) mais il vaut mieux le reporter à

la n et évaluer la primitive avec un λ formel.

(8)