Lycée Hoche MPSI B Feuille Approximations

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Approximations

1.

^(Eap01)

Étudier les limites des suites suivantes à l'aide de sommes de Riemann.

( 1 n ²

n

X

k=0

p k ² − k) n∈ N

^∗

, (

2n−1

X

k=n

1 2k + 1 ) n∈ N

^∗

2.

(Eap02)

Formule de Stirling.

Pour n dans N ^∗ , on pose S _n = ln(n!) et

x _n = S _n − n ln(n) + n, y _n = x _n − 1 2 ln(n) a. Montrer que 0 ≤ x n .

b. Calculer un développement de x n+1 − x n dont le reste est o( _n ¹

2

) .

c. Calculer un développement de y n+1 − y n dont le reste est o( _n ¹

2

) .

d. Montrer que la suite est monotone à partir d'un cer- tain rang, montrer ensuite qu'elle est convergente.

En déduire l'existence d'un réel K tel que n! ∼ n ⁿ e ⁻ⁿ √

nK

(voir exercice ip03 pour une expression de K .) 3.

^(Eap03)

Déterminer les limites des suites

2n

X

k=n

π k

!

n∈N

^∗

2n

X

k=n

π k

³

!

n∈N

^∗

En déduire la limite de

2n

X

k=n

sin π k

!

n∈ N

^∗

4.

^(Eap04)

En remarquant que

k ² ≤ k ² + k + 1 ≤ k ² + 2k + 1 Calculer la limite de (S n ) _n∈

N

^∗

avec S n =

n−1

X

k=0

k ² + k + 1 n ³ 5.

(Eap05)

Calculer la limite de (I _n ) _n∈

N

^∗

avec

I n = 1 n ⁴

2n

Y

k=1

(n ² + k ² )

ⁿ¹

6.

^(Eap06)

Calculer la limite de

n−1

X

k=0

k ² + n k ³ + n ³

!

n∈ N

^∗

On pourra encadrer par des sommes de Riemann qui convergent vers

Z 1

0

x ² dx 1 + x ³

7.

^(Eap07)

Vers la formule de Cauchy.

L'objet de cet exercice est de calculer I(z) = 1

2π Z 2π

0

dt z − e ^it

pour z complexe avec |z| 6= 1 . Pour cela on utilisera l'approximation tirée de

1 1 − u = 1 + u + · · · + u ⁿ + u ⁿ⁺¹ 1 − u lorsque |u| < 1 .

a. Soit z tel que |z| > 1 . Montrer que

∀n ∈ N ^∗ , |I(z) − 1

z | ≤ 1

|z| ⁿ⁺¹ (|z| − 1) b. Soit z tel que |z| < 1 . Montrer que

∀n ∈ N ^∗ , |I(z) − 1

z | ≤ |z| ⁿ⁺¹ (|z| − 1) c. Conclure.

8.

^(Eap08)

Fonction génératrice. L'objet de cet exercice est de donner une formule explicite pour le nombre s n de couples d'entiers naturels (p, q) vériant

p + 2q = n

avec n ∈ N. On note a _n le coecient de x ⁿ dans un développement limité en 0 à un ordre strictement plus grand que n de

F (x) = 1

(1 − x ² )(1 − x) a. Montrer que a n = s n .

b. Trouver une formule explicite de s n en utilisant une décomposition en éléments simples et la formule de Taylor avec reste de Young.

Voir sur ce thème un problème sur le théorème de Po- poviciu.

9.

^(Eap09)

Soit f une fonction C ⁵ [−a, a] . On dénit ϕ sur [0, a] par :

ϕ(x) = f (x) − f (−x) − x

3 (f ⁰ (−x) + 4f ⁰ (0) + f ⁰ (x)) a. Calculer ϕ ⁽³⁾ (x) . Le majorer par l'inégalité des ac-

croissements nis.

b. Montrer qu'il existe c ∈ [−a, a] tel que f (a) − f (−a) = a

3 (f ⁰ (−a) + 4f ⁰ (0) + f ⁰ (a))

− 1

90 a ⁵ f ⁽⁵⁾ (c) On pourra s'inspirer de la méthode de majoration de l'erreur pour la méthode des rectangles présen- tée dans Approximations d'intégrales.

10.

^(Eap10)

Étudier le comportement à l'inni et préciser une suite équivalente à la suite dont le terme d'indice n est

((n + 1)(n + 2) · · · (n + n))

¹ⁿ

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai _fex_appdf du 28 février 2020

(2)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Approximations

11.

^(Eap11)

Soit (u n ) _n∈

N une suite de nombres réels pour la- quelle il existe K > 0 et α > 1 tels que

u n+1 − u n ∼ K n ^α

a. Soit β tel que 1 < β < α . Montrer qu'il existe un entier N , tel que

∀n ≥ N, 0 ≤ u _n+1 − u _n ≤ K n ^β b. Montrer que la suite (u n ) _n∈

N est convergente.

12.

^(Eap12)

a. Soit (w n ) _n∈

N une suite de nombres réels.

Montrer que ( P n

k=0 |w k |) _n∈N convergente entraîne ( P n

k=0 w _k ) _n∈

N convergente.

b. Soit β > 0 et (w n ) _n∈N une suite dominée par _n

1+β

¹ . Montrer que ( P n

k=0 w k ) _n∈

N est convergente.

c. Soit α ∈ R, β > 0 et (u n ) _n∈N une suite de nombres réels strictement positifs telle que

u n+1

u n

= 1 − α

n + O( 1 n ^1+β )

On pose v n = n ^α u n . Montrer que (ln v n ) _n∈

converge. En déduire qu'il existe un réel A tel que N

(u n ) _n∈N ∼ A n ^α

2

(3)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Approximations : corrigés

1. pas de correction pour Eap01.tex 2. pas de correction pour Eap02.tex 3. pas de correction pour Eap03.tex 4. pas de correction pour Eap04.tex 5. pas de correction pour Eap05.tex 6. pas de correction pour Eap06.tex 7. pas de correction pour Eap07.tex 8. pas de correction pour Eap08.tex 9.

^(Cap09)

a. On peut remarquer que ϕ est impaire. En dérivant, on trouve

ϕ ⁽⁴⁾ (x) = − 1 3

−f ⁽⁴⁾ (−x) + f ⁽⁴⁾ (x)

− x 3

f ⁽⁵⁾ (−x) + f ⁽⁵⁾ (x) b. Avec les notations usuelles m ₅ et M ₅ , on obtient

pour x > 0 : 4m 5

3 x ≤ −ϕ ⁽⁴⁾ (x) ≤ 4M 5

3 x

En intégrant ces inégalités plusieurs fois, on obtient m ₅

90 x ⁵ ≤ −ϕ(x) ≤ M ₅ 90 x ⁵

qui conduit à l'existence du c par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction conti- nue f ⁽⁵⁾ .

10.

^(Cap10)

Comme tous les facteurs sont plus grands que n + 1 , la suite est minorée par n + 1 . Elle diverge donc vers +∞ . En factorisant n dans chaque facteur, on exprime le terme d'indice n comme

n

(1 + 1 n )(1 + 2

n ) + · · · + (1 + n n )

¹_n

Le logarithme du terme entre parenthèse est une somme de Riemann de ln(1 + x) entre 0 et 1 . Il y a donc conver- gence vers la valeur de l'intégrale. Par changement de variable, on se ramène à ln dans [1, 2] . On connait une primitive x ln x − x , on calcule donc facilement l'inté- grale. Après composition par l'exponentielle, on obtient la limite puis l'équivalent

4n e 11. pas de correction pour Eap11.tex 12.

^(Cap12)

a. Il s'agit d'un résultat du cours de deuxième année qui peut se traiter à l'aide du concept de suite de Cauchy ou de la manière suivante.

Notons

a n = w _n ⁺ = max(w n , 0) b n = w _n ⁻ = max(−w n , 0)

Il est important de remarquer que w ⁺ _n et w ⁻ _n sont à valeurs positives. On vérie de plus, en considérant tous les cas possibles, que

w n = a n − b n , |w n | = a n + b n

Formons les sommes de termes consécutifs W n =

n

X

k=0

w k , N n =

n

X

k=0

|w k |,

A n =

n

X

k=0

a k , B n =

n

X

k=0

b k

Les trois dernières suites sont croissantes car elles sont formées avec des sommes de termes positifs.

De plus, par linéarité, A n + B n = N n ⇒

( A _n ≤ N _n B n ≤ N n

Si la suite (N _n ) _n∈

N converge, elle est majorée donc (A _n ) _n∈

N et (B _n ) _n∈

N le sont aussi. Elles convergent car elles sont croissantes ce qui assure la conver- gence de (W n ) _n∈

Lycée Hoche MPSI B Feuille Approximations

Lycée Hoche MPSI B Feuille Approximations

1.

Étudier les limites des suites suivantes à l'aide de sommes de Riemann.

( 1 n 2

n

X

k=0

p k 2 − k) n∈ N

, (

2n−1

X

k=n

1

2k + 1 ) n∈ N

2.

Formule de Stirling.

Pour n dans N ∗ , on pose S n = ln(n!) et

x n = S n − n ln(n) + n, y n = x n − 1 2 ln(n) a. Montrer que 0 ≤ x n .

b. Calculer un développement de x n+1 − x n dont le reste est o( n 1

) .

c. Calculer un développement de y n+1 − y n dont le reste est o( n 1

) .

d. Montrer que la suite est monotone à partir d'un cer- tain rang, montrer ensuite qu'elle est convergente.

En déduire l'existence d'un réel K tel que n! ∼ n n e −n √

nK

(voir exercice ip03 pour une expression de K .) 3.

Déterminer les limites des suites

2n

X

k=n

π k

!

n∈N

2n

X

k=n

π k

3

!

n∈N

En déduire la limite de

2n

X

k=n

sin π k

!

n∈ N

4.

En remarquant que

k 2 ≤ k 2 + k + 1 ≤ k 2 + 2k + 1 Calculer la limite de (S n ) n∈

N

avec S n =

n−1

X

k=0

k 2 + k + 1 n 3 5.

Calculer la limite de (I n ) n∈

N

avec

I n = 1 n 4

2n

Y

k=1

(n 2 + k 2 )

6.

Calculer la limite de

n−1

X

k=0

k 2 + n k 3 + n 3

!

n∈ N

On pourra encadrer par des sommes de Riemann qui convergent vers

Z 1

0

x 2 dx 1 + x 3

7.

Vers la formule de Cauchy.

L'objet de cet exercice est de calculer I(z) = 1

( 1 n ²

p k ² − k) n∈ N

Pour n dans N ^∗ , on pose S _n = ln(n!) et

x _n = S _n − n ln(n) + n, y _n = x _n − 1 2 ln(n) a. Montrer que 0 ≤ x n .

b. Calculer un développement de x n+1 − x n dont le reste est o( _n ¹

c. Calculer un développement de y n+1 − y n dont le reste est o( _n ¹

En déduire l'existence d'un réel K tel que n! ∼ n ⁿ e ⁻ⁿ √

³

k ² ≤ k ² + k + 1 ≤ k ² + 2k + 1 Calculer la limite de (S n ) _n∈

k ² + k + 1 n ³ 5.

Calculer la limite de (I _n ) _n∈

I n = 1 n ⁴

(n ² + k ² )

k ² + n k ³ + n ³

x ² dx 1 + x ³

dt z − e ^it

1 − u = 1 + u + · · · + u ⁿ + u ⁿ⁺¹ 1 − u lorsque |u| < 1 .

∀n ∈ N ^∗ , |I(z) − 1

|z| ⁿ⁺¹ (|z| − 1) b. Soit z tel que |z| < 1 . Montrer que

∀n ∈ N ^∗ , |I(z) − 1

z | ≤ |z| ⁿ⁺¹ (|z| − 1) c. Conclure.

avec n ∈ N. On note a _n le coecient de x ⁿ dans un développement limité en 0 à un ordre strictement plus grand que n de

(1 − x ² )(1 − x) a. Montrer que a n = s n .

Soit f une fonction C ⁵ [−a, a] . On dénit ϕ sur [0, a] par :

3 (f ⁰ (−x) + 4f ⁰ (0) + f ⁰ (x)) a. Calculer ϕ ⁽³⁾ (x) . Le majorer par l'inégalité des ac-

3 (f ⁰ (−a) + 4f ⁰ (0) + f ⁰ (a))

90 a ⁵ f ⁽⁵⁾ (c) On pourra s'inspirer de la méthode de majoration de l'erreur pour la méthode des rectangles présen- tée dans Approximations d'intégrales.

Soit (u n ) _n∈

u n+1 − u n ∼ K n ^α

∀n ≥ N, 0 ≤ u _n+1 − u _n ≤ K n ^β b. Montrer que la suite (u n ) _n∈

a. Soit (w n ) _n∈

k=0 |w k |) _n∈N convergente entraîne ( P n

k=0 w _k ) _n∈

b. Soit β > 0 et (w n ) _n∈N une suite dominée par _n

¹ . Montrer que ( P n

k=0 w k ) _n∈

c. Soit α ∈ R, β > 0 et (u n ) _n∈N une suite de nombres réels strictement positifs telle que

n + O( 1 n ^1+β )

On pose v n = n ^α u n . Montrer que (ln v n ) _n∈

(u n ) _n∈N ∼ A n ^α

ϕ ⁽⁴⁾ (x) = − 1 3

−f ⁽⁴⁾ (−x) + f ⁽⁴⁾ (x)

f ⁽⁵⁾ (−x) + f ⁽⁵⁾ (x) b. Avec les notations usuelles m ₅ et M ₅ , on obtient