Lycée Hoche MPSI B Feuille Les matrices pour elles mêmes

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Les matrices pour elles mêmes

1.

^(Emm01)

Soit n un entier pair, une matrice M de M

n

(K) est dite en damier si et seulement si il existe α et β dans K tels que

m

_ij

=

α si i + j pair β si i + j impair

On note D l'ensemble des matrices en damier. Étudier les stabilités de D . L'ensemble D est il une sous-algèbre de M

n

(K) ?

Si M est une matrice en damier, montrer qu'il existe λ et µ dans K tels que M

³

= λM

²

+ µM .

2.

^(Emm02)

Soit δ application de M

2

(K) dans K dénie par :

δ(

a b c d

) = ad − bc

a. Montrer que

∀(A, B) ∈ M

2

(K)

²

: δ(AB) = δ(A)δ(B ) b. Montrer que A ∈ M

2

(K) est inversible si et seule-

ment si δ(A) 6= 0 et que dans ce cas

A

⁻¹

= 1 δ(A)

d −b

−c a

3.

(Emm03)

Corps des quaternions.

Soit

H =

u −v v u

, (u, v) ∈ C

²

Montrer que H est une sous R-algèbre de M

₂

( C ) . Mon- trer que tout élément non nul q de H est inversible.

4.

^(Emm04)

On considère la matrice

A =





1 1 1 1 0 0 1 0 0





Montrer l'existence de (α

n

)

_n∈N^∗

et (β

n

)

_n∈N^∗

telles que

∀n ∈ N

^∗

: A

ⁿ

= α

n

A + β

n

A

²

.

Exprimer α

n

et β

n

en fonction de n . En déduire A

ⁿ

. (voir l'exercice Emf14)

5.

^(Emm05)

Soit ϕ une forme linéaire sur M

n

(K) telle que

∀(X, Y ) ∈ M

n

(K)

²

: ϕ(XY ) = ϕ(Y X ) Montrer qu'il existe α tel que ϕ = α tr .

6.

^(Emm06)

Soit A non nulle et B donnés dans M

n

( R ) . Dé- terminer les X de M

n

( R ) tels que X + (tr X )A = B . 7.

^(Emm07)

Montrer que le produit de deux matrices carrées

symétriques est symétrique si et seulement si les deux matrices commutent.

8.

^(Emm08)

Produit par blocs (Cours).

Soit M ∈ M

m,n

(K) , M

⁰

∈ M

n,p

(K) telles que

M =

A B C D

, M

⁰

=

A

⁰

B

⁰

C

⁰

D

⁰

A ∈ M

s,t

(K) , B ∈ M

s,n−t

(K) , C ∈ M

m−s,t

(K) , D ∈ M

m−s,n−t

(K) , A

⁰

∈ M

t,r

(K) , B

⁰

∈ M

t,p−r

(K) , C

⁰

∈

M

_n−t,r

(K) , D

⁰

∈ M

_n−t,p−r

(K) . Montrer que

M M

⁰

=

AA

⁰

+ BC

⁰

AB

⁰

+ BD

⁰

CA

⁰

+ DC

⁰

CB

⁰

+ DD

⁰

Retenir que le produit par blocs est exact lorsque les dimensions des blocs le permettent. Ceci se généralise à des décompositions en davantage de blocs.

9.

^(Emm09)

Soit B une matrice carrée. Quel est le terme i, i de la matrice B

^t

B ?

Soit A ∈ M

_p,q

( R ) et X ∈ M

_q,r

( R ) , montrer que AX

^t

X = 0

_M_p,q(R)

⇒ AX = 0

_M_p,r(R)

On pourra considérer les termes de la diagonale de AX

^t

X

^t

A .

10.

^(Emm10)

Soit n un entier naturel non nul. On désigne par C la partie de M

n

( C ) formée par les matrices M telles que m

_i,j

= 0 si j ne divise pas i .

Une matrice diagonale est-elle dans C ? Montrer que C est une sous-algèbre de l'algèbre des matrices triangu- laires inférieures. (voir l`exercice sur le déterminant de Smith)

11.

^(Emm11)

Matrice circulante. Soit a

1

, · · · , a

n

dans C et w = e

^2iπⁿ

. Le polynôme P est déni par

P = a

1

+ a

2

X + · · · + a

n

X

ⁿ⁻¹

On dénit les matrices D , A , M ( n × n ). La matrice D diagonale avec des P(w

ⁱ⁻¹

) sur la diagonale et :

A =







a

1

a

2

a

3

· · · a

n

a

_n

a

₁

a

₂

· · · a

_n−1

a

_n−1

a

_n

a

₁

· · · a

_n−2

... ...

a

₂

a

₃

a

₄

· · · a

₁







M =







1 1 1 · · · 1

1 w w

²

· · · w

ⁿ⁻¹

1 w

²

w

^2.2

· · · w

²⁽ⁿ⁻¹⁾

... ...

1 w

ⁿ⁻¹

w

²⁽ⁿ⁻¹⁾

· · · w

^{(n−1)(n−1)}







Exprimer AM à l'aide de M et D . 12.

^(Emm12)

Centre de M

p

(K) .

Soit A ∈ M

_p

(K) . Montrer que A commute avec toutes les matrices élémentaires si et seulement si A ∈ Vect(I

_p

) . 13.

^(Emm13)

Calculer les puissances n ∈ N des matrices :

a b 0 a

,





1 1 1 0 1 1 0 0 1



 ,





1 −1 −1

−1 1 −1

−1 −1 1



 .

14.

^(Emm14)

Soit A et B dans M

n

(K) telles que A + B = AB

Montrer que A −I

_n

est inversible et préciser son inverse.

15.

^(Emm15)

Soit (X

1

, · · · , X

n

) la base canonique de M

n,1

(K) . Pour i et j entre 1 et n , que vaut X

it

X

j

? Soit (Y

1

, · · · , Y

n

) une base de M

n,1

(K) , montrer que les Y

_i^t

Y

_j

pour i et j entre 1 et n forment une base de M

n

(K) .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai _fex_mmpdf du 9 avril 2020

(2)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Les matrices pour elles mêmes

16.

^(Emm16)

Matrices de diagonale nulle.

a. Soit D ∈ M

p

(K) diagonale dont les termes de la diagonale sont deux à deux distincts. Soit A ∈ M

p

(K) , calculer AD − DA .

b. Soit M ∈ M

p

(K) une matrice dont tous les termes diagonaux sont nuls. Montrer qu'il existe A ∈ M

p

(K) tel que M = AD − DA .

17.

^(Emm17)

a. Soient A et B dans M

n

(K) telles que,

∀C ∈ M

n

(K), tr(AC) = tr(BC) Montrer que A = B .

b. Soit A ∈ M

_n

(K) telle que :

∀(B, C ) ∈ M

n

(K)

²

, tr(ABC) = tr(ACB) Montrer que A est de la forme λI

_n

.

18.

(Emm18)

Soit ϕ une forme linéaire sur M

_p

(K) . Montrer qu'il existe une unique matrice A ∈ M

_p

(K) telle que

∀M ∈ M

p

(K), ϕ(M ) = tr(AM ).

Ce résultat est utilisé dans l'exercice mm20.

19.

^(Emm19)

La famille suivante est-elle libre dans M

3,2

( R ) ?

A =





−1 −1

2 1

−1 0



 , B =





0 1

−1 3 0 −2



 ,

C =





2 3

0 0

1 −1



 , D =





5 −2 8 −3

−2 3



 ,

20.

^(Emm20)

Pour une matrice A ∈ M

2

(K) xée, on dénit l'application

Φ :

( M

2

(K) → M

2

(K) M 7→ AM − M A On note

A = a b

c d

, ∆ =

0 b

−c 0

, T

s

=

−c a − d

0 c

, T

i

=

b 0 d − a −b

a. Montrer que Vect(I

2

, A) ⊂ ker Φ . b. Montrer que Im Φ = Vect(∆, T

_s

, T

_i

) .

c. Montrer que A / ∈ Vect(I) entraîne (∆, T

s

, T

i

) liée et préciser une relation linéaire.

d. Montrer que

rg(Φ) =

( 0 si A ∈ Vect(I

₂

) 2 si A / ∈ Vect(I

2

)

En déduire que B commute avec A si et seulement si (I

2

, A, B) liée.

21.

^(Emm21)

Condition de Hadamard.

Soit A ∈ M

p

( R ) pour laquelle il existe une matrice co- lonne X ∈ M

p,1

telle que

AX =





 0 ...

0 



 et X =





 x

₁

...

x

p





 6=





 0 ...

0 





Soit m ∈ J 1, p K tel que

|x

m

| = max(x

1

, · · · , x

p

) Montrer que

|a

mm

| ≤ X

j6=m

|a

mj

|

22.

^(Emm22)

Soit A ∈ M

n

( R ) telle qu'il existe B ∈ M

n

( C ) vériant AB = I

n

. Montrer que B ∈ M

n

( R ) .

2

(3)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Les matrices pour elles mêmes : corrigés

1. pas de correction pour Emm01.tex 2. pas de correction pour Emm02.tex 3. pas de correction pour Emm03.tex

4.

^(Cmm04)

Par un simple calcul matriciel, il vient A

³

= A

²

+ 2A

On peut poser A

ⁿ

= α

n

A + β

n

A

²

avec α

1

= 1 β

1

= 0 α

₂

= 0 β

₂

= 1

On forme des relations de récurrence

A

ⁿ

= α

n

A + β

n

A

²

⇒ A

ⁿ⁺¹

= α

_n

A

²

+ β

_n

A

³

= (α

_n

+ β

_n

)A

²

+ 2β

_n

A

³

⇒

( α

_n+1

= 2β

_n

β

n+1

= α

n

+ β

n

On en déduit que la suite (β

_n

)

_n∈

N

vérie la relation de récurrence linéaire d'ordre 2

β

_n+2

= β

_n+1

+ 2β

_n

Les racines de l'équation caractéristiques sont 2 et −1 . La valeur β

₀

=

¹₂

est cohérente avec la relation et les valeurs de β

₂

et β

₁

. On en déduit après calcul



 

  α

n

= 1

3 2

ⁿ⁻¹

+ 2

3 (−1)

ⁿ⁻¹

β

n

= 1

6 2

ⁿ

+ 1 3 (−1)

ⁿ

5. pas de correction pour Emm05.tex 6. pas de correction pour Emm06.tex 7. pas de correction pour Emm07.tex 8. pas de correction pour Emm08.tex

9.

^(Cmm09)

le terme i, i de la matrice B

^t

B est P

j

b

²_i,j

. Comme AX

^t

X est une matrice à q colonnes, on peut la multiplier par

^t

A qui a q lignes. On exploite ensuite l'associativité du produit matriciel.

0

_M_p,q₍_R₎

= AX

^t

X

^t

A = (AX)

^t

(AX)

Prenns AX dans le rôle de B . Dans R, une somme de carrés n'est nulle que si tous les termes sont nuls. Le calcul du début montre alors que AX = 0

_M_p,r₍_R₎

. 10. pas de correction pour Emm10.tex

11. On trouve AM = M D .

12. pas de correction pour Emm12.tex 13.

(Cmm13)

Calcul des puissances :

a

ⁿ

na

ⁿ⁻¹

b 0 a

ⁿ

,





1 n

ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂

0 1 n

0 0 1



 ,





(−1)

ⁿ

(−1)

ⁿ

− 2

ⁿ

(−1)

ⁿ

− 2

ⁿ

(−1)

ⁿ

− 2

ⁿ

(−1)

ⁿ

(−1)

ⁿ

− 2

ⁿ

(−1)

ⁿ

− 2

ⁿ

(−1)

ⁿ

− 2

ⁿ

(−1)

ⁿ



 .

14.

^(Cmm14)

Par un simple calcul dans l'algèbre des matrices carrées, A − I

n

est inversible d'inverse B − I

n

.

A+B = AB ⇒ (A−I)B = A ⇒ (A−I)B −I = A−I

⇒ (A − I)(B − I) = I On ne pourra pas obtenir directement par le calcul le produit dans l'autre sens mais on peut le déduire du résultat général : pour une matrice carrée, inversible à droite est équivalent à inversible à gauche.

15.

^(Cmm15)

Par dénition du produit matriciel, X

it

Xj est la matrice élémentaire E

i,j

. Ces matrices forment une base de M

n

(K) .

Notons M la matrice dont les colonnes sont les Y

i

de sorte que C

i

(M ) = Y

i

. Comme M = M I

n

, on a aussi

Y

i

= C

i

(M ) = C

i

(M I

n

) = M C

i

(I

n

) = M X

i

En remplaçant, on obtient

Y

_i^t

Y j = P X

_i^t

Xj

t

P On conclut en remarquant que l'application

( M

n

(K) →M

n

(K) X 7→ P X

^t

P

est un isomorphisme et transforme donc une base en une base.

16.

^(Cmm16)

Matrices de diagonale nulle.

a. Le terme d'indice i, j de AD − DA est (d

j

− d

i

)a

ij

. Tous les termes de la diagonale sont donc nuls. On peut remarquer aussi que, comme les termes de la diagonale de D sont deux à deux distincts, AD − DA = 0 entraine que A est diagonale.

b. Considérons l'application ϕ

ϕ :

( M

p

(K) → M

p

(K) A 7→ AD − DA

Cette fonction est un endomorphisme. D'après la question précdente, son image est inclus dans le sous-espace des matrices à diagonale nulle qui est de dimension p

²

− p . On en tire

rg ϕ ≤ p

²

− p

La question précédente montre aussi que le noyau est formé des matrices diagonales qui est un sous- espace de dimension p . Le théorème du rang donne

p

²

= dim(ker ϕ) + rg ϕ ⇒ dim(Im ϕ) = p

²

− p On en tire que Im ϕ est exactement formé des matrices à diagonale nulle ce qui répond à la question.

17. pas de correction pour Emm17.tex

18.

^(Cmm18)

Pour toute A ∈ M

p

(K) , considérerons

ϕ

_A

:

( M

p

(K) → K M 7→ tr(AM) .

3

(4)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Les matrices pour elles mêmes : corrigés

Il est clair que ϕ

A

est une forme linéaire. Il s'agit de montrer que toute forme linéaire sur les matrices est de la forme ϕ

A

pour une unique matrice A . Introduisons

Φ :

( M

_p

(K) → M

_p

(K)

^∗

A 7→ ϕ

A

.

Il s'agit de montrer que Φ est bijective. Comme elle est clairement linéaire entre deux espaces de même dimension p

²

, il sut de montrer qu'elle est injective.

Tout A ∈ ker Φ est nul car 0 = tr(AE

ij

) = a

ji

= 0 pour toutes les matrices élémentaires.

19. pas de correction pour Emm19.tex 20.

^(Cmm20)

a. Il est évident que I

₂

et A commutent avec A donc Vect(I

₂

, A) ⊂ ker Φ .

b. Par le calcul : M =

x y z t

⇒ Φ(M ) = (t − x)∆ + yT

_s

+ zT

_i

On en déduit Im Φ ⊂ Vect(∆, T

_i

, T

_s

) .

c. Si A / ∈ Vect(I

₂

) alors (A, I

₂

) libre et

Vect(I

₂

, A) ⊂ ker Φ ⇒ 2 ≤ dim(ker Φ) ⇒ rg(Φ) ≤ 2 On en déduit que la famille de trois vecteurs (∆, T

_i

, T

_s

) est liée. On forme une relation linéaire en écrivant que A ∈ ker Φ :

(d − a)∆ + bT

s

+ cT

i

= 0

_M₂_(K)

avec

(d − a, b, c) = (0, 0, 0) ⇔ A ∈ Vect(I

2

) d. Si A ∈ Vect(I

2

) tout le monde commute avec A

donc Φ est identiquement nulle.

Si A / ∈ Vect(I

2

) , on a vu que rg(Φ) ≤ 2 et (d − a, b, c) 6= (0, 0, 0) et

d − a 6= 0 ⇒ (T

_s

, T

_i

) libre b 6= 0 ⇒ (∆, T

i

) libre c 6= 0 ⇒ (∆, T

_s

) libre

Dans tous les cas le rang de la famille est supérieur ou égal à 2 donc le rang est 2. Supposons (I