Les matrices pour elles mêmes

Les matrices pour elles mêmes

Rédaction incomplète. Version 0.5

le 19 mars 2020

Plan

I. Dénitions . . . . 1

II. Structure d'espace vectoriel. . . . . 3

1. Base et dimension.. . . . 3

2. Applications linéaires. . . . . 3

III. Produit matriciel . . . . 3

1. Ligne par colonne . . . . 3

2. Généralisation . . . . 4

3. Propriétés. . . . . 5

4. Algèbre de matrices carrées . . . . 5

5. Produit par blocs . . . . 6

IV. Matrices colonnes . . . . 6

1. Base canonique . . . . 6

2. Noyau et image d'une matrice . . . . 6

3. Inversibilité . . . . 6

Index

associativité du produit matriciel, 4

base canonique de l'espace des matrices co- lonnes, 6

caractérisation des matrices inversibles, 7 matrice colonne, 2

matrice diagonale, 2 matrice extraite, 2 matrice ligne, 2

matrice nilpotente, 6 matrice triangulaire, 2 matrices élémentaires, 2 matricette, 2

noyau et image d'une matrice, 6 produit par blocs, 6

trace d'une matrice, 3 transposition, 3

L'objet de cette section est d'introduire les matrices et les opérations matricielles pour elles mêmes. Les es- paces vectoriels de matrices fournissent en eet des exemples concrets d'espaces vectoriels et les multiplications matricielles des exemples concrets d'applications linéaires.

La caractérisation des matrices inversibles est un bon exemple de mise en ÷uvre des résultats relatifs à la dimension nie dans le cadre des espaces de matrices.

I. Dénitions

Dénition. L'ensemble M

_p,q

(K) des matrices à p lignes q colonnes et coecients dans le corps K est l'ensemble des fonctions dénies dans {1, · · · , p} × {1, · · · , q} et à valeurs dans K .

On utilisera terme, valeur ou coecient pour désigner les valeurs de la fonction associée.

Notation matricielle :

A = (a

ij

)

_(i,j)∈

J1,pK×J1,qK

. Dénition. La diagonale d'une matrice A ∈ M

p,q

(K) est la famille

(a

11

, · · · , a

mm

) avec m = min(p, q)

Quand on présente une matrice avec tous ses termes, on utilise des parenthèses ou des crochets et rien (un espace) entre les termes

a

₁₁

a

₁₂

a

₁₃

a

₂₁

a

₂₂

a

₂₃

a

₁₁

a

₁₂

a

₁₃

a

₂₁

a

₂₂

a

₂₃

On dénit des types particuliers de matrices.

Matrices nulles 0

p,q

tous les termes sont nuls.

Matrices carrées M

p

(K) = M

p,p

(K) . Matrices lignes p = 1

x

1

x

2

· · · x

q

∈ M

_1,q

(K)

Il vaut mieux ne pas identier les matrices lignes (à q colonnes) et les q -uplets (x

1

, x

2

, · · · , x

q

) ∈ K

^q

Matrices colonnes q = 1









 x

1

x

2

...

x

_p











∈ M

p,1

(K)

Matricettes p = q = 1 . La diérence est mince entre une matricette et un élément de K . En général on peut les identier sans problème.

a

∈ M

1,1

(K) = a ∈ K Matrices diagonales A est diagonale si et seulement si

i 6= j ⇒ a

ij

= 0

Matrices identités notées I

_p

: matrice carrée ( p lignes, p colonnes) diagonale avec seulement des 1 sur la diago- nale.

Matrices triangulaires (carrées) supérieures ou inférieures strictes ou non. On présente dans un tableau la condition sur i et j qui entraîne que a

ij

= 0 pour les matrices triangulaires de chaque type.

type supérieure supérieure stricte inférieure inférieure stricte condition assurant nullité terme i, j i > j i ≥ j i < j i ≤ j

Tab. 1: Matrices triangulaires Présentation d'une matrice triangulaire supérieure :











a

₁₁

a

₁₂

· · · a

_1q

0 a

₂₂

· · · a

_2q

... ... ... ...

0 · · · 0 a

pp











Matrices élémentaires Pour tout (i, j) ∈ {1, . . . , p} × J 1, q K, la matrice E

p,q

(i, j) ∈ M

p

(K) est dénie par :

∀(k, l) ∈ {1, . . . , p} × J 1, q K : terme k, l de E

p,q

(i, j) = δ

ki

δ

lj

Le seul terme non nul de cette matrice est celui en position i, j et ce terme vaut 1 .

Lignes ou colonnes d'une matrice Pour A ∈ M

_p,q

(K) , on dénit la matrice i -eme ligne L

_i

(A) et la matrice j -eme colonne C

j

(A) .

L

_i

(A) = a

_i1

a

_i2

· · · a

_iq

C

_j

(A) =









 a

_1j

a

_2j

...

a

_pj











Matrice extraite Plus généralement, si I ⊂ J 1, p K, J ⊂ J 1, q K, la matrice extraite A

_I,J

ne contient que les a

_ij

avec i ∈ I et j ∈ J .

Exemple :

I = {2, 4} ⊂ J 1, 5 K , J = {1, 3} ⊂ J 1, a K , A

_I,J

=

a

21

a

23

a

41

a

43

∈ M

₂

(K).

II. Structure d'espace vectoriel.

1. Base et dimension.

L'ensemble M

p,q

(K) hérite de la structure de K -espace vectoriel fonctionnel. On vérie la proposition suivante.

Les pq matrices E

p,q

(i, j) pour (i, j) ∈ J 1, p K × J 1, q K forment une base de M

p,q

(K) . dim M

p,q

(K) = pq

L'ensemble M

p,q

( C ) est à la fois un C-espace vectoriel et un R-espace vectoriel. On peut conjuguer une matrice complexe ou prendre sapartie réelle ou sa partie imaginaire.

Z = (z

_ij

)

_(i,j)∈

J1,pK×J1,qK

∈ M

_p,q

( C ),



 



 



Z = (z

ij

)

_{(i,j)∈J1,pK×J1,q}

K

∈ M

p,q

( C ) A = Re(Z) = (Re(z

_ij

))

_(i,j)∈

J1,pK×J1,qK

∈ M

_p,q

( C ) B = Im(Z) = (Im(z

_ij

))

_(i,j)∈

J1,pK×J1,qK

∈ M

p,q

( C ) .

Les formules sont semblables à celles dans C :

Z = A + iB, Z = A − iB, A = 1

2 (Z + Z), B = 1

2i (Z − Z).

2. Applications linéaires.

Les K -espaces vectoriels M

p,1

(K) (colonnes) et M

1,p

(K) (lignes) sont isomorphes à K

^p

( p -uplets). De même M

p,q

(K) est isomorphe à K

^pq

.

Remarque. Il est déconseillé d'identier les matrices p -colonnes ou p -lignes avec K

^p

. En revanche, on peut identier les matricettes 1 × 1 avec des éléments du corps.

Dénition (Transposition). La transposition de A ∈ M

_pq

(K) est A

^t

M

_qp

(K) dénie par :

∀(i, j) ∈ J 1, p K × J 1, q K , terme j, i de A

^t

= a

ij

.

Pour chaque couple (p, q) , l'application transposition est un isomorphisme de M

pq

(K) vers M

qp

(K) .

Dénition (matrices carrées symétriques ou antisymétriques). Une matrice A ∈ M

p

(K) est dite symétrique si et seulement si A

^t

= A . Elle est dite antisymétrique si et seulement si A

^t

= −A .

Dénition (Trace). La trace d'une matrice carrée A ∈ M

p

(K) est dénie par : tr(A) = P

p

i=1

a

ii

. L'application tr est une forme linéaire de M

p

(K) .

Les applications i -ème ligne L

_i

(avec i ∈ J 1, p K) de M

pq

(K) dans M

1q

(K) et j -ème colonne C

_j

(avec j ∈ J 1, q K) M

pq

(K) dans M

p1

(K) sont linéaires et surjectives.

III. Produit matriciel

1. Ligne par colonne

Le produit d'une matrice ligne (à gauche) par une matrice colonne (à droite) est une matrice 1 × 1 déni par :

x

₁

x

₂

· · · x

_p







 y

₁

y

₂

· · · y

p









= x

₁

y

₁

+ x

₂

y

₂

+ · · · + x

_p

y

_p

(matricette)

= x

1

y

1

+ x

2

y

2

+ · · · + x

p

y

p

identié à un élément de K

2. Généralisation

Le produit AB avec A ∈ M

_p,q

(K) , B ∈ M

_q,r

(K) est la matrice de M

_p,r

(K) dont chaque terme est obtenu en faisant le produit d'une ligne de la matrice de gauche et d'une colonne de la matrice de droite. Précisément :

∀(i, k) ∈ J 1, p K × J 1, r K , terme i, j de AB = L

_i

(A)C

_k

(B) =

q

X

j=1

a

_ij

b

_jk

. Remarque. Le produit matriciel n'est pas commutatif.

Si le produit AB est déni, le produit BA ne l'est pas forcément. Si la matrice BA est dénie, elle n'est pas forcément de même taille que AB . Si les matrices AB et BA sont de même taille, elles ne sont pas forcément égales.

L = x

1

· · · x

p

, C =





 y

1

...

y

p





 , LC matricette 1 × 1, CL =











y

1

x

1

y

1

x

2

· · · y

1

x

p

y

2

x

1

y

2

x

2

· · · y

2

x

p

... ... · · · ...

y

p

x

1

y

p

x

2

· · · y

p

x

p











∈ M

p

(K).

Introduisons des conventions de nommage usuelles pour les indices des diérents intervalles.

intervalles entre 1 et p entre 1 et q entre 1 et r entre 1 et s noms i, i

₀

, i

⁰

, · · · j, j

₀

, j

⁰

, · · · k, k

₀

, k

⁰

, · · · l, l

₀

, l

⁰

, · · ·

Tab. 2: Conventions de nommage

Proposition (propriétés du produit matriciel). Dans les propositions suivantes, on utilise les conventions de nommage de la table 2.

Bilinéarité. Soit (A, A

⁰

) ∈ M

pq

(K)

²

, (B, B

⁰

) ∈ M

qr

(K)

²

, λ ∈ K .

( (A + A

⁰

)B = AB + A

⁰

B, (λA)B = (λAB) A(B + B

⁰

) = Ab + AB

⁰

, A(λB) = λ(AB) . Colonne et ligne d'un produit.

∀k ∈ J 1, r K , C

k

(AB) = AC

k

(B). ∀i ∈ J 1, p K , L

i

(AB) = L

i

(A)B.

Terme i, k de AB = L

_i

(A)C

_k

(B) . Colonne d'un produit.

∀k ∈ J 1, r K , C

k

(AB) = AC

k

(B).

Ligne d'un produit.

∀i ∈ J 1, p K , L

_i

(AB) = L

_i

(A)B.

Le produit d'une matrice quelconque par une matrice nulle est une matrice nulle.

Produits par une matrice identité.

∀A ∈ M

_p,q

(K), I

_p

A = A = AI

_q

. Transposée d'un produit.

∀A ∈ M

p,q

(K), ∀B ∈ M

q,r

(K),

^t

(AB) =

^t

B

^t

A . Associativité :

∀A ∈ M

p,q

(K), ∀B ∈ M

q,r

(K), ∀C ∈ M

r,s

(K) : (AB)C = A(BC)

Combinaison de colonnes comme produit matriciel. AC où C est une matrice colonne comme combinaison linéaire des colonnes de A .

∀A ∈ M

_p,q

(K), ∀(λ

₁

, · · · , λ

_q

) ∈ K

^q

, A





 λ

₁

...

λ

q





 = λ

₁

C

₁

(A) + · · · + λ

_q

C

_q

(A) ∈ Vect (C

₁

(A), · · · , C

_p

(A))

Remarque. La bilinéarité traduit la linéarité des fonctions multiplication à gauche par A et multiplication à droitee par A . à compléter

Preuve de l'associativité.

terme i

0

, l

0

de (AB)C =

r

X

k=1

( terme i

0

, k de AB)c

kl₀

=

r

X

k=1





q

X

j=1

a

i₀j

b

jk



 c

kl₀

= X

(j,k)∈J1,qK×{1,···,r}

a

i₀j

b

jk

c

kl₀

=

q

X

j=1

a

_i0j

r

X

k=1

b

_jk

c

_kl0

!

=

q

X

j=1

a

_i0j

terme j, l

₀

de BC = terme i

₀

, l

₀

de A(BC)

Exemple (produits de matrices élémentaires).

E

p,q

(i

0

, j

0

)E

q,r

(j

1

k

1

) = δ

j₀j₁

E

p,r

(i

0

, k

1

)

Application : une matrice Z ∈ M

p

(K) commute avec toutes les matrices élémentaires E

_p,p

(i, j) si et seulement si il existe λ ∈ K tel que Z = λI

_p

.

3. Propriétés.

Proposition. Le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) est une matrice triangulaire supérieure (resp inférieure).

Preuve. Soit A et B deux p × p matrices triangulaires supérieures. On veut montrer que C = AB est triangulaire supérieure. D'après la table 1, la condition assurant que C est triangulaire supérieure est u < v ⇒ c

uv

= 0 . Pour i et j dans J 1, p K tels que i < j , montrons que c

ij

est nul.

c

ij

=

p

X

k=1

a

ik

b

kj

=

j−1

X

k=1

a

ik

b

kj

|{z}

=0cark<j

+

p

X

k=j

a

ik

|{z}

=0cari<j≤k

b

kj

= 0.

La démonstration est analogue pour les matrices triangulaires inférieures.

Proposition. Pour des matrices carrées A , B dans M

p

(K) : tr(AB) = tr(BA) Preuve. Par dénition de la trace

tr(AB) =

p

X

i=1

terme ii de AB =

p

X

i=1





p

X

j=1

a

ij

b

ji



 = X

(i,j)∈J1,pK

2

a

ij

b

ji

= X

(i,j)∈J1,pK

2

b

ji

a

ij

=

p

X

j=1 p

X

i=1

b

ji

a

ij

!

=

p

X

j=1

terme jj de BA = tr(BA).

4. Algèbre de matrices carrées

Structure d'anneau, de K -algèbre sur M

p

(K) . Une K -algèbre est à la fois un anneau et un K -espace vectoriel pour lequel les multiplications à droite et à gauche par des éléments xés sont des endomorphismes.

Dénition. L'ensemble des matrices inversibles de M

p

(K) est noté GL

p

(K) . Proposition. Pour le produit matriciel, GL

p

(K) est un groupe.

Preuve. Il s'agit du groupe des inversibles de l'anneau M

p

(K) .

Remarque. Si A et B sont inversibles, AB aussi et (AB)

⁻¹

= B

⁻¹

A

⁻¹

.

Proposition. La transposée d'une matrice inversible est inversible. La transposée de l'inverse d'une matrice inversible est l'inverse de sa transposée.

∀P ∈ GL

p

(K)

^t

A

−1

=

^t

A

⁻¹

.

Preuve. Il sut de transposer la dénition de l'inverse : A A

⁻¹

= A

⁻¹

A = I

p

⇒

^t

A A

⁻¹

=

^t

A

⁻¹

A

=

^t

I

p

⇒

^t

A

⁻¹

_t

A =

^t

A

^t

A

⁻¹

= I

p

⇒

^t

A

−1

=

^t

A

⁻¹

.

Dans une matrice carrée, les règles de calculs usuelles sont valides. Il faut seulement tenir compte du fait que la multiplication n'est pas commutative.

Proposition (Formule du binôme et somme télescopique).

∀(A, B) ∈ M

p

(K), ∀n ∈ N

^∗

AB = BA ⇒



 

 



 

 



(A + B)

ⁿ

=

n

X

k=0

n k

A

^k

B

^n−k

A

ⁿ⁺¹

− B

ⁿ⁺¹

= (A − B)

n

X

k=0

A

^k

B

^n−k

.

Remarque. Ces formules sont valables en particulier lorsque l'une des deux matrices est I

_p

qui commute avec toutes les matrices.

Dénition (matrice nilpotente). Une matrice est dite nilpotente lorsqu'une de ses puissances est la matrice nulle.

Exemple.

A =





0 1 0 0 0 1 0 0 0



 , A

²

=





0 0 1 0 0 0 0 0 0



 , A

³

= 0

_M3(R)

.

5. Produit par blocs

Retenir que le produit par blocs est exact lorsqu'il est possible : à compléter

IV. Matrices colonnes

1. Base canonique

Dénition. La base canonique de M

p,1

(K) est

(













 1 0 0 ...

0













 ,













 0 1 0 ...

0













 , · · · ,













 0 0 ...

0 1















) ces colonnes sont notées (X

1

, · · · , X

p

).

2. Noyau et image d'une matrice

Cette section présente quelques résultats et notions relatifs aux matrices colonnes.

Dénition. Soit A ∈ M

p,q

(K) . Son noyau est le sous-espace de M

q,1

(K) formé par les colonnes X telles que AX = 0

_Mp,1(K)

, son image est le sous-espace de M

p,1

(K) formé par les colonnes AX avec X ∈ M

q,1

(K) .

Le noyau et l'image de A sont en fait le noyau et l'image de l'application linéaire de M

q,1

(K) dans M

p,1

(K) qui à une colonne X à q ligne associe AX (colonne à p lignes). L'image d'une matrice est aussi le sous-espace engendré par ses colonnes.

3. Inversibilité

À cause de la dénition du produit matriciel, on peut remarquer que, pour M matrice carrée à p lignes et colonnes :

il existe Q ∈ M

p

(

K

) telle que M Q = I

p

est équivalent à (C

1

(M ), C

2

(M ), · · · , C

p

(M )) génératrice,

il existe P ∈ M

p

(

K

) telle que P M = I

p

entraîne (C

1

(M ), C

2

(M ), · · · , C

p

(M )) libre.

Proposition (caractérisation des matrices inversibles). Une matrice A ∈ M

p

(K) est inversible si et seulement si la famille de ses colonnes

(C

₁

(A), · · · C

_p

(A)) est une base de M

p,1

(K)

Preuve. On commence par caractériser les matrices inversibles à droite. On dira qu'une matrice A ∈ M

_p

(K) est inversible à droite si et seulement si il existe B ∈ M

_p

(K) tel que AB = I

_p

. On va montrer que A est inversible à droite si et seulement si les colonnes (C

1

(A), · · · , C

p

(A)) forment une famille génératrice de M

p,1

(K) .

L'espace M

p,1

(K) est de dimension p , une base est formée par

X

₁

=









 1 0 ...

0









 , X

₂

=









 0 1 ...

0











, · · · , X

_p

=









 0 ...

0 1











Supposons qu'il existe une matrice B telle que AB = I

_p

et considérons la colonne j de ce produit : X

j

= C

j

(I

p

) = C

j

(AB) = AC

j

(B) = b

1j

C

1

(A) + · · · + b

pj

C

p

(A)

Ceci montre que les colonnes X

j

de la base sont combinaisons linéaires des C

i

(A) . La famille des colonnes de A est donc une famille génératrice de M

p,1

(K) . Réciproquement, si ces colonnes forment une base, chaque X

j

en est une combinaison linéaire. On peut ainsi constituer colonne après colonne une matrice B telle que AB = I

p

. Comme dans un espace de dimension p toute famille génératrice de p vecteurs est libre, ceci montre que A inversible à droite entraîne (C

1

(A), · · · , C

p

(A)) base de M

p,1

(K) .

Supposons (C

1

(A), · · · , C

p

(A)) base de M

p,1

(K) . On vient de voir qu'il existe une matrice B telle que AB = I

p

. Il s'agit maintenant de prouver que BA = I

p

.

Montrons que la famille des colonnes (C

₁

(B), · · · , C

_p

(B)) est libre.

En eet, soit (λ

₁

, · · · , λ

_p

) ∈ K

^p

tels que

λ

1

C

1

(B) + · · · + λ

p

C

p

(B ) =





 0 ...

0







On peut alors écrire matriciellement la relation et exploiter l'associativité :

B





 λ

₁

...

λ

_p





 =





 0

...

0





 ⇒ AB





 λ

₁

...

λ

_p





 = A





 0

...

0





 ⇒ I

p





 λ

₁

...

λ

_p





 =





 0

...

0





 ⇒





 λ

₁

...

λ

_p





 =





 0

...

0







Ce qui montre bien que cette famille est libre. Comme elle contient n vecteurs, elle est génératrice. Il existe donc une matrice A

₁

telle que BA

₁

= I

_p

. En composant cette relation à gauche par A , on obtient ABA

₁

= A ce qui entraine A

₁

= A car AB = I . On a donc bien BA = I

_p

.

Remarque. Évidemment, il faut aussi connaître d'autres argumentations pour ce résultat, avec une famille de vecteurs ou avec le déterminant.

Proposition. Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si les termes de sa diagonale sont non nuls.

Preuve. On peut appliquer la caractérisation précédente car les colonnes d'une telle matrice forment clairement

une famille libre. à compléter (détail direct + réciproque)