Tout d’abord12et 22 forment trivialement une telle progression de longueur 2

A513. Puissances parfaites en progression arithmétique

Montrons par récurrence qu’il est possible de construire une progression arith- métique dek>2puissances parfaites distinctes toutes positives.

Tout d’abord1²et 2² forment trivialement une telle progression de longueur 2.

A présent, supposons l’existence d’une telle progression de longueur k > 2, c’est-à-dire que pour06n6k−1,il existean=a0+nr=b^c_nⁿ aveccn>2.

Soitak =a0+nketck=ppmc(c0, . . . , ck−1)et pour06n6k−1,considérons dn =_c^ck

n etAn =a^c_k^kan=A0+nRoùA0=a^c_k^ka0 et R=a^c_k^kr.

Pour 0 6n6k−1, alors An = (

a^d_kⁿbn

)cn

. Enfin Ak =a^c_k^k+1 et nous avons bien défini une telle progression de longueurk+ 1.

L’application de cet algorithme à 1² et 2², permet d’obtenir la progression 49,196 et 343 (7²,14² et 7³) de longueur 3, et ainsi de suite mais les nom- bres en jeu croissent trop vite. En effet rien ne garantit avec cette méthode d’obtenir la plus “petite” progression (dans le sens plus petit premier terme ou plus petite raison).

Remarque : une des conséquences du puissant “théorème de la progression arith- métique” de Dirichlet, est qu’il n’existe aucune telle progression infinie.

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