ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 3 - durée : 1 h 4 janvier 2017 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Barème approximatif sur 20 : Ex I : 7 ou 8 pts
Ex II : 12 ou 13 pts
Exercice I.
Les 3 questions suivantes sont indépendantes.
1. Calculer A=
12
4
.
2. En utilisant la formule du binôme, calculer et simplier B = (1−√ 2)3.
3. 20 personnes participent à une tombola où il y a3 lots de valeurs diérentes à gagner.
Une répartition des lots consiste en un tirage avec remise de 3 boules numérotées. (Elles sont numérotées de 1à 20.)
En justiant clairement les réponses :
a. Combien y a-t-il de répartitions des lots possibles ?
b. Combien y a-t-il de répartitions où plusieurs lots sont gagnés par une même personne ? Exercice II.
Rappels : ∀α >0, ∀x >0, (xα)0=αxα−1, lim
x→0+(xαln(x)) = 0, et √
x=x12. Soit la fonctionf dénie sur R∗+ parf(x) = 2√
x−√
xln(x)−3. 1. Calculer f(1).
2. Justier brièvement la continuité def surR∗+. 3. a. Calculer lim
x→0+f(x).
b. f est-elle prolongeable par continuité en0? Préciser.
4. Calculer lim
x→+∞f(x).
5. a. Montrer que ∀x >0, f0(x) =−ln(x) 2√
x. b. En déduire le tableau de variations def.
6. Suivant la valeur du réelβ, déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x) =β.
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