MAPES – Alg`ebre et G´eom´etrie, partiel du 14 mars 2008.
Les notes de cours et de TD sont autoris´ees.
Ce sujet comporte deux pages.
Exercice 1.
Soit (E, <·,·>) un espace vectoriel euclidien. Six, y∈E sont tels que< x, y >= 0, on dit qu’ils sont orthogonaux et on notex⊥y. Les similitudes deE sont les automorphismes de E qui conservent l’orthogonalit´e :
Sim(E) ={u∈GL(E)/∀x, y∈E, x ⊥y⇒u(x)⊥u(y)}.
Elles forment un sous-groupe deGL(E). On consid`ere par ailleurs l’ensemble suivant : G={u∈GL(E)/∀v∈O(E), uvu−1 ∈O(E)}.
1. Montrer que G est un sous-groupe deGL(E) pour la composition.
2. Montrer que Sim(E) est inclus dans G (on pourra utiliser, sans le red´emontrer, le fait que, pour toute similitude u, il existe un unique couple (λ, u0) ∈ R×+×O(E) tel queu=λIdE◦u0).
3. On souhaite montrer l’inclusion r´eciproque. Soit u∈ G et x, y deux vecteurs ortho- gonaux deE.
(a) Montrer qu’il existe une sym´etrie orthogonalestelle ques(x) =xets(y) =−y.
Soient F et Gles sous-espaces propres de sassoci´es `a 1 et−1 respectivement (doncx∈F et y∈G).
(b) (Re)d´emontrer queF ⊕G=E et que F ⊥G.
(c) Montrer ques0=usu−1 est d’une part une transformation orthogonale, d’autre part une sym´etrie. On noteraF0 et G0 les sous-espaces propres des0 associ´es `a 1 et−1 respectivement. En d´eduire queF0 et G0 sont en somme directe et sont orthogonaux.
(d) Montrer queu(F)⊂F0 et u(G) ⊂G0. (e) Conclure.
4. D’apr`es la question 3) d),ud´efinit par restriction une application lin´eaire deF dans F0 d’une part, une application lin´eaire de G dans G0 d’autre part. Montrer que ce sont des isomorphismes.
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Deuxi`eme page.
Exercice 2.
On consid`ereR4 = (x1, x2, x3, x4) avec sa structure affine canonique. SoientF ={x1 = 0} ∩ {x2= 0}et G={(1,1,1,1) +t(1,2,3,4)|t∈R}des sous-espaces affines.
1. D´eterminer l’intersection deF et G.
2. D´eterminer le sous-espace affineAf f(F ∪G) engendr´e parF et G.
Exercice 3.
Soient A, B, C trois points non align´es d’un plan affine. On se propose de d´eterminer, par trois m´ethodes diff´erentes, l’ensemble des points ayant mˆemes coordonn´ees dans le rep`ere R = (A,−−→
AB,−→
AC) et dans le rep`ere R0 = (B,−−→ BA,−−→
BC). Les trois questions sont donc ind´ependantes.
1. Exprimer les coordonn´ees (x0, y0) dansR0 d’un point quelconque du plan en fonction de ses coordonn´ees (x, y) dansR, puis r´esoudrex0=x, y0 =y et conclure.
2. Montrer qu’un pointM de coordonn´ees barycentriques (α, β, γ) dans (A, B, C) est solution du probl`eme si et seulement si α=β. Montrer que ceci ´equivaut `a “M est un barycentre deI et de C”, o`uI d´esigne le milieu de (A, B), puis conclure.
3. Soit s l’unique application affine qui fixe C et intervertit A et B. Montrer que M est solution du probl`eme si et seulement sis(M) =M. Montrer que l’ensemble des points fixes de s est un sous-espace affine. En donner une param´etrisation dans le rep`ere (C,−→
CA,−−→
CB). Conclure.
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