2 - Montrer qu’il existe un sous-ensemble compact deEqui n’est pas ferm´e

2LMAT1 - Topologie et Analyse - Ecrit du 19 janvier 2004 - Dur´ee 3 heures

Enonc´e et corrig´e

Question de cours. Rappeler la d´efinition d’un espace connexe. Montrer que l’image continue d’un connexe est connexe.

Exercice 1. SoitEun espace topologique tel qu’il existea∈E satisfaisant {a} 6={a}. 1 - Montrer queE n’est pas s´epar´e.

2 - Montrer qu’il existe un sous-ensemble compact deEqui n’est pas ferm´e.

Exercice 2. Soient E un espace m´etrique et (xn)n une suite de points de E telle que les trois suites extraites (x2n)n, (x2n+1)n et (x3n)n convergent. Montrer que la suite (xn)n converge.

Probl`eme 1. On note`2l’espace vectoriel r´eel des suites (xn)n∈Nde nombres r´eels telles que la s´erie de terme g´en´eral|x_n|²converge. On rappelle que la formule

kxk=

+∞

X

n=0

|x_n|²

!^1/2

d´efinit une norme sur`2.

1 - Montrer que`2, muni de cette norme, est complet.

2 - On noteC la partie de`2 d´efinie par C=

(xn)n∈N∈`2;∀n∈N,|xn| ≤ 1 n

. Montrer queC est un ferm´e d’int´erieur vide de`₂.

Probl`eme 2. On va consid´erer deux topologies surR: la topologie usuelle, que nous noteronsT, et la topologieTd, ditedroite, d´efinie par

Td={]a,+∞[ ;a∈R}, o`u, par convention, ]− ∞,+∞[=Ret ] +∞,+∞[=∅.

1 - ´Etude des propri´et´es ´el´ementaires de la topologie droite.

a) Montrer queTd est bien une topologie sur R. Quels sont ses ferm´es?

b) Laquelle des topologiesT ouTd est plus fine que l’autre?

c) La topologie droite est-elle s´epar´ee? M´etrisable?

d) SoitAune partie non vide major´ee deR. Montrer que l’adh´erence deApour la topologie droite, que nous noterons iciAd, est ´egale `a ]− ∞,supA]. Pourriez-vous caract´eriser l’int´erieur d’une partie pour la topologie droite ?

2 - Soit (X,U) un espace topologique. Une fonctionf :X −→Rest dite semi-continue inf´erieurement, ce que nous ´ecrirons en abr´eger sci, si pour toutx∈X, et tout r´eel >0, il existe un voisinageV dex dansX tel que

t∈V impliquef(t)> f(x)−. a) Montrer que sif : (X,U)−→(R,T) est continue, alors elle est sci.

b) Donner un exemple d’une fonction sci d´efinie sur (R,T) qui n’est pas continue. Dessiner le graphe d’une fonction sci “typique”.

c) Montrer quef :X−→Rest sci si, et seulement si, elle est continue de (X,U) dans (R,Td).

3 - On dit qu’un espace topologique (X,U) est quasi-compact s’il v´erifie l’axiome de recouvrement des espaces compacts mais n’est pas n´ecessairement s´epar´e. Ces espaces poss`edent des propri´et´es analogues

`

a celles des espaces compacts.

a) Expliciter la d´efinition d’un espace quasi-compact. Montrer que l’image d’un espace quasi-compact par une application continue est quasi-compacte.

b) Montrer que pour touta∈R,[a,+∞[ est quasi-compact pour la topologieTd.Montrer, plus g´en´era- lement, queA⊂Rest quasi-compact pour la topologie droite si, et seulement si,Aest minor´e et contient sa borne inf´erieure.

c) Montrer qu’une fonction sci f d´efinie sur un espace quasi-compact (X,U) est minor´ee et atteint sa borne inf´erieure.

4 -[Question retir´ee au moment de l’´epreuve]

a) Montrer que f :R−→Rest croissante si, et seulement si, pour touta∈R, f atteint son minimum sur [a,+∞[ ena.

b) En d´eduire qu’une applicationf : (R,Td)−→(R,Td) est continue si, et seulement si, elle est croissante.

5 - a) Montrer que toute partie deRest connexe pour la topologie droite.

b) En d´eduire que f : (R,Td)−→(R,T) est continue si, et seulement si, elle est constante. Comparer avec la question 2 - c).

Corrig´e de l’exercice 1

1 - Puisque{a} 6={a}il existeb∈ {a} qui v´erifieb6=a.SoitU un voisinage quelconque deb,il est clair queU∩ {a} 6=∅donca∈U.Tout voisinage de bcontienta,l’espace n’est donc pas s´epar´e.

2 -{a}est un espace compact et il n’est pas ferm´e dansE.

Corrig´e de l’exercice 2 Notonsa= lim

n→+∞x2n, b= lim

n→+∞x2n+1et c= lim

n→+∞x3n.Montrons tout d’abord quea=b=c.

Rappelons que si (un)n est une suite qui converge versualors toute suite extraite de (un)n converge elle aussi vers u. La suite (x6n)n est une suite extraite des suites convergentes (x2n)n et (x3n)n on a donc a=c.La suite (x6n+3)nest une suite extraite des suites convergentes (x2n+1)n et (x3n)n on a doncb=c.

Notonsl la valeur communea=b=c et montrons que la suite (xn)n converge versl.Donnons-nous un r´eelε >0.Il existe un entierN1tel que pour tout entiern≥N1on ad(x2n, l)≤ε.Autrement dit : tout terme d’indice pair≥2N1de la suite (xn)nest `a une distance delinf´erieure `aε.Il existe un entierN2tel que pour tout entiern≥N2on ad(x2n+1, l)≤ε.Autrement dit : tout terme d’indice impair≥2N2+ 1 de la suite (xn)n est `a une distance delinf´erieure `aε.Pourn≥max(2N1,2N2+ 1) on a d(xn, l)≤ε.

Corrig´e du probl`eme 1

1 - Rappelons qu’un espace m´etrique est dit complet lorsque toute suite de Cauchy d’´el´ements de cet espace est convergente. Soit donc (Xk)k≥1une suite de Cauchy de `2.Ecrivons, pour chaque entierk,

X_k= (x^k₁, x^k₂, . . . , x^k_n, . . .).

Fixons un entiern≥1.Nous observons que pour ketl entiers quelconques on a

|x^k_n−x^l_n| ≤

+∞

X

i=1

|x^k_i −x^l_i|²

!¹2

=kXk−Xlk. La suite de r´eels (x^k_n)k est donc de Cauchy. Notons an = lim

k→+∞x^k_n. Nous allons montrer que la suite A= (an)n ∈`2 et que lim

k→+∞kXk−Ak= 0. La difficult´e provient du fait que la norme d’un ´el´ement de

`2 est donn´ee par la somme d’une s´erie c’est-`a-dire qu’elle est obtenue par passage `a la limite et que l’on ne peut pas toujours intervertir deux passages successifs. Donnons-nous un r´eel ε >0.Il existe un entier Ktel que pourk, l≥Kon akX_k−X_lk ≤ε.Fixonsk≥K,nous allons montrer quekX_k−Ak ≤ε.Soit N un entier≥1 arbitraire. Pour chaque entierl≥K nous avons

N

X

i=1

|x^k_i −x^l_i|²≤ kXk−Xlk²≤ε². Nous retenons de la formule pr´ec´edente que, pour chaque entierl≥K,

N

X

i=1

|x^k_i −x^l_i|²≤ε².

Le premier membre de l’expression pr´ec´edente est une somme finie de termes qui d´ependent tous de l’entier l et qui ont tous une limite ; nous avons donc, en faisant tendrel vers +∞ et en utilisant la conservation des in´egalit´es larges par passage la limite

N

X

i=1

|x^k_i −x_i|²≤ε².

L’entierN ´etant arbitraire, la s´erie de r´eels≥0 dont le terme g´en´eral est|x^k_i −xi|² `a toutes ses sommes partielles major´ees parε²,elle est donc convergente et

+∞

X

i=1

|x^k_i −xi|²≤ε².

Il s’ensuit que Xk−A ∈`2 et que kXk−Ak ≤ε. `2 ´etant un espace vectoriel il est ´evident alors que A∈`2.

2 - On donne deux d´emonstrations de cette question.

Premi`ere d´emonstration : pour chaque entier n notons πn l’application de `2 dans R qui, `a chaque X = (xi)i≥1 ∈ `2, associe πn(X) = xn. On observe que πn est lin´eaire et que, pour X, Y ∈ `2, on a

|πn(X)−πn(Y)| ≤ kX−Yk.De l’´egalit´e Cn=

X = (xi)i≥1∈`2;|xn| ≤ 1 n

=π⁻_n¹

−1 n,1

n

r´esulte queC_n est un ferm´e de `₂ comme image r´eciproque d’un ferm´e par une application continue, il s’ensuit queC=

+∞

\

n=1

Cn est ferm´e comme intersection d’une famille de ferm´es.

Deuxi`eme d´emonstration : soitX = (xi)i≥1∈C,il existe alors une suite (Xk)kdeCtelle que lim

k→+∞kX− Xkk= 0.NotonsXk= (x^k_n)n≥1.On a, pour chaque entier n≥1, lim

k→+∞x^k_n =xn donc, par conservation des in´egalit´es par passage `a la limite,|x_n|= lim

k→+∞|x^k_n| ≤ 1

n d’o`uX ∈C.

3 - Montrons que C^◦ =∅. Supposons le contraire, il existe alors A = (a_i)_i≥1 ∈ C et un r´eel r > 0 tel que, pour chaqueX = (xi)i≥1∈`2v´erifiantkA−Xk ≤r, on aX ∈C.SoitN un entier tel que 2

N < r.

Consid´erons la suite de r´eels X = (xi)i≥1 telle que, pour chaque n 6=N, xn =an et xN =aN +r. Il est clair que X ∈`2 et quekA−Xk=r. D’apr`es le choix der on a d’une partX ∈C et d’autre part xN > 1

N ce qui contredit le fait queX∈C.

Corrig´e du probl`eme 2 1 - a) Par convention∅,R∈ Td.

Montrons queTd est stable par r´eunion quelconque. Soit (]a_i,+∞[)_i∈I une famille d’´el´ements deTd.On va montrer qu’il existea∈Rtel que

]a,+∞[=[

i∈I

]ai,+∞[.

On examine trois cas. Si, pour chaque i ∈ I, ai = +∞ alors a = +∞ convient. Nous supposons dor´enavant qu’il existe un indice i ∈ I tel que a_i ∈ [−∞,+∞[. Deux possibilit´es peuvent avoir lieu.

Premi`ere possibilit´e : on peut trouver un r´eelm tel quem≤a_i pour chaquei, on peut alors consid´erer le r´eela= inf

i∈Ia_i,on v´erifie facilement que ]a,+∞[=[

i∈I

]a_i,+∞[.Lorqu’on ne peut pas trouver un r´eelm qui minore{ai;i∈I} alorsa=−∞convient.

Montrons que Td est stable par intersection finie. Soientnun entier ≥1 eta1, . . . , an ∈R.Notonsc = max{a1, . . . , an} dansR,on a

n

\

i=1

]ai,+∞[=]c,+∞[ ce qui nous assure la stabilit´e deTd par intersection finie.

Td est bien une topologie surR.NotonsFd les ferm´es de Rrelativement `a Td.On a Fd={]− ∞, a] ;a∈R}

avec la convention ]− ∞,−∞] =∅et ]− ∞,+∞] =R.

b) Tout ´el´ement deTd est un ouvert deRpour la topologie usuelle doncTd ⊂ T,la topologie usuelle est plus fine que la topologie droite. En faitTd est un sous-ensemble propre de T donc cette derni`ere est strictement plus fine queTd.

c) Consid´erons deux r´eelsx6=y.Supposons par exemple x < y.SoitU ∈ Td quelconque tel que x∈U.

Il existe alorsa∈[−∞, x[ tel queU =]a,+∞[. Il est ´evident que y∈U,on ne peut donc s´eparerxety par des ´el´ements disjoints deTd. Une topologie m´etrisable ´etant s´epar´ee, la topologie Td n’est donc pas m´etrisable.

d) Il est ´evident d’apr`es le a) que ]− ∞,supA] est un ferm´e de Rpour Td qui contientA. On a donc A<sub>d</sub> ⊂]− ∞,supA]. Pour d´emontrer que A<sub>d</sub> =]− ∞,supA] il suffit de v´erifier que tout ´el´ement de ]− ∞,supA] est adh´erent `a A. Soient x ≤ supA et U un ouvert de Td contenant x. Il existe alors a∈[−∞, x[ tel queU =]a,+∞[. On a ´evidemmenta <supA,en utilisant la caract´erisation de la borne sup´erieure il existe b∈A tel quea < bdoncb∈U∩A.

Rappelons que l’int´erieur d’une partie est le plus grand ouvert contenu dans cette partie. Soit B un sous-ensemble non vide deR.Consid´erons alors

C={c∈R; ]c,+∞[⊂B}

Si C=∅ on aB^◦=∅; si C6=∅ on v´erifie queB^◦=] infC,+∞[ avec la convention infC=−∞lorsque C n’est pas minor´e.

2 - a) Soientx∈X et un r´eelε >0.L’intervalle ]f(x)−ε,+∞[ est un voisinage def(x),la fonctionf´etant continue au pointxil existe un voisinageV dextel que, pour chaquet∈V on af(t)∈]f(x)−ε,+∞[ c’est-`a-diref(t)> f(x)−ε.

b) Notonsgla fonction caract´eristique de ]0,+∞[.Il est clair quegn’est pas continue en 0 et qu’elle est continue en chaque pointx6= 0. gest donc sci en chaque pointx6= 0.Montrons quegest sci en 0. On a g(0) = 0, on observe que pour chaque r´eel ε >0 et pour chaque voisinage V de 0 et chaquet∈V on a g(t)>−ε,il s’ensuit la semi-continuit´e inf´erieure en 0.

c) Soitf :X →R une fonction sci. Montrons qu’elle est continue de (X,U) dans (R,Td).Soient x un point quelconque deXetU un voisinage quelconque def(x).Il existea∈[−∞, f(x) tel que ]a,+∞[⊂U.

Appliquons la semi-continuit´e au point xavec ε=f(x)−a. Pour chaquet appartenant au voisinageV dexassoci´e on af(t)> f(x)−ε=adoncf(t)∈U.

R´eciproquement, montrons qu’une fonction continue f de (X,U) dans (R,Td) est sci. Soit x ∈ X.

Pour chaque r´eel ε > 0, ]f(x)−ε,+∞[ est un voisinage de f(x) pour la topologie Td, il s’ensuit que V =f⁻¹(]f(x)−ε,+∞[) est un voisinage dex; pour chaquet∈V on a alorsf(t)> f(x)−ε.

3 - a) Un espace topologique (X,U) est quasi-compact si de tout recouvrement ouvert de X on peut extraire un recouvrement fini.

Soient (X,U),(Y,V) deux espaces topologiques etf :X →Y une application continue. On suppose que (X,U) est quasi-compact. Montrons quef(X) l’est aussi. Soit (Oi)i∈I une famille d’ouverts deY telle quef(X)⊂[

i∈I

Oi.(f⁻¹(Oi))i∈I´etant un recouvrement ouvert deX,il existe alors un sous-ensemble fini I₀ deI tel queX ⊂ [

i∈I₀

f⁻¹(Oi); il s’ensuit ´evidemment que

f(X)⊂ [

i∈I₀

f(f⁻¹(Oi))⊂ [

i∈I₀

Oi.

b) Soita∈ R, montrons que [a,+∞[ est quasi compact. Soit (Oi)_i∈I un recouvrement de [a,+∞[ par des ouverts de Td. Ecrivons Oi =]a_i,+∞[ avec a_i ∈ R. Il existe un indice i₀ tel que a ∈ Oi0 donc [a,+∞[⊂ Oi₀.

SoitAun sous-ensemble minor´e deRqui contient sa borne inf´erieure, montrons queAest quasi-compact.

Soit (Oi)i∈I un recouvrement de Apar des ouverts de Td. EcrivonsOi =]ai,+∞[ avecai ∈R.Il existe un indicei0tel que ai₀ <infA,on a alors A⊂[infA,+∞[⊂ Oi₀.

R´eciproquement soitAun sous-ensemble quasi-compact deR.Montrons tout d’abord queAest minor´e.

Nous avonsA⊂ [

x∈R

]x,+∞[.Puisque A est quasi-compact il existe un entierN et x1, . . . , xN ∈R tels

queA⊂

N

[

n=1

]xn,+∞[;Aest donc minor´e par min

1≤n≤Nxn.Montrons maintenant que infA∈A.Supposons que infA6∈A.Nous avons alorsA⊂ [

infA<x

]x,+∞[.Puisque Aest quasi-compact il existe un entier N

etx1, . . . , xN ∈Rtels queA⊂

N

[

n=1

]xn,+∞[;Aest donc minor´e par min

1≤n≤Nxn,or infA < min

1≤n≤Nxn cela est contradictoire avec la d´efinition de infA.(Le plus grand des minorants)

c) Soitf une fonction sci d´efinie sur un espace quasi-compact (X,U), f est alors continue de (X,U) dans (R,Td);f(X) est une partie quasi-compacte de (R,Td) donc minor´ee qui v´erifie inff(X)∈f(X),il existe doncx0∈X tel quef(x0) = inff(X).

4 - Cette question a ´et´e retir´ee du sujet au moment de l’´epreuve. La partie a) de la question est ´evidente.

En ce qui concerne la partie b) Montrons que toute fonction continue f de (R,Td) dans (R,Td) est croissante. Soient deux r´eels a < b.Soit un r´eelε >0.Il existe un r´eel c < atel que, pour chaquex > c on af(x)> f(a)−ε,en particulierf(b)> f(a)−ε.Puisque le r´eelε >0 est arbitraire on af(b)≥f(a).

La r´eciproque est fausse. La fonctiong= 1_[0,+∞[ est ´evidemment croissante, par contre g⁻¹

1 2,+∞

= [0,+∞[ qui n’est pas un ouvert deTd.

5 - a) SoientAun sous-ensemble deRet U, V deux ouverts disjoints deAtels que A=U∪V.Il existe

−∞ ≤a, btels queU =]a,+∞[∩A, V =]b,+∞[∩A. On peut toujours supposera≤b on a doncV ⊂U d’o`uV =∅.

b) Soitf une fonction continue de (R,Td) dans (R,T).Supposonsf non constante, il existe alorsa, b∈ R tel que f(a) 6= f(b). Le sous-ensemble {a, b} de (R,Td) est connexe tandis que le sous-ensemble {f(a), f(b)}de (R,T) ne l’est pas, on aboutit `a une contradiction car on sait que l’image continue d’un connexe est connexe. R´eciproquement, il est bien connu que toute fonction constante est continue.