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Exercice 1 : Description des espaces de probabilit´ e

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(1)

Probabilit´ es M54 Ann´ ee 2016–2017

Fiche 1: Tribus, loi uniforme, d´ enombrement et ind´ ependance

Tribus

Exercice 1 : Description des espaces de probabilit´ e

D´ ecrire des espaces de probabilit´ e (Ω, F , P ) permettant de r´ epondre aux questions suivantes : 1) Votre enseignante a trois enfants, quelle est la probabilit´ e que ce soit une fille et deux gar¸ cons ? 2) Au poker, on tire 5 cartes au hasard d’un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilit´ e d’obtenir

une quinte flush, un carr´ e, un full ?

3) Une secr´ etaire un peu distraite r´ epartit au hasard n lettres dans n enveloppes portant les adresses des n destinataires, quelle est la probabilit´ e que la lettre n

o

1 se trouve dans la bonne enveloppe ?

4) La secr´ etaire r´ epartit les 75 ´ etudiants de la licence de maths dans trois groupes (sans tenir compte du choix des ´ etudiants) :

— Elle r´ epartit les ´ etudiants compl` etement au hasard : quelle est la probabilit´ e que les trois groupes soient ´ equilibr´ es ?

— Elle r´ epartit les ´ etudiants en imposant des groupes de mˆ eme taille : quelle est la probabilit´ e que Marie et Axel se retrouvent dans le mˆ eme groupe ?

Vous pourrez ´ egalement calculer les probabilit´ es demand´ ees (en d´ ecrivant au passage les ´ ev´ enements dont vous calculez la probabilit´ e comme sous-ensemble de Ω).

Exercice 2 : Pile ou face

On lance deux fois une pi` ece de monnaie.

1) Donner un ensemble Ω qui mod´ elise l’´ ev´ enement al´ eatoire

lancer deux fois une pi` ece de monnaie

.

2) Donner la tribu F = P(Ω).

Exercice 3.

Nathalie et Paul viennent de se marier. Ils rˆ event d’avoir 3 enfants. Paul voudrait avoir au moins une fille, et Nathalie pr´ ef´ ererait que son premier enfant soit une fille.

1) Donner un ensemble Ω qui mod´ elise l’´ ev´ enement al´ eatoire

avoir 3 enfants

.

2) Donner la plus petite tribu F

1

sur Ω qui contient l’information relative au souhait de Paul.

3) Donner la plus petite tribu F

2

sur Ω qui contient l’information relative ` a celui de Nathalie.

4) Donner la plus petite tribu F

3

qui contienne les deux souhaits.

(2)

5) Donner la plus grosse tribu F

4

sur Ω.

Exercice 4 : Union et intersection de tribus Soit Ω = {1, 2, 3, 4}.

1) Identifier la tribu F

1

, engendr´ ee par le singleton {1} et la tribu F

2

engendr´ ee par {2}.

2) Identifier F

1

∩ F

2

et F

1

∪ F

2

. Est-ce que ce sont des tribus ?

Soit Ω un ensemble quelconque et C

1

et C

2

des collections d’ensembles de Ω. Donc C

i

⊂ P(Ω).

1) Montrer que F

C1∩C2

⊂ F

C1

∩ F

C2

.

2) Montrer qu’il n’est pas toujours vrai que F

C1

∩ F

C2

⊂ F

C1∩C2

.

D´ enombrement

Exercice 5 : Un double temps d’attente

On dispose d’un d´ e bleu et d’un d´ e rouge ´ equilibr´ es et on effectue une suite infinie de lancers de cette paire de d´ es. Pour un lancer nous pouvons mod´ eliser cette exp´ erience par l’ensemble E :=

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

2

des couples ` a composantes dans {1, . . . , 6}, la premi` ere composante repr´ esentant le chiffre indiqu´ e par le d´ e bleu et la deuxi` eme celui indiqu´ e par le d´ e rouge. Pour repr´ esenter la suite infinie de lancers, nous utiliserons l’ensemble

Ω := E

N

=

n

)

n≥1

; ∀n ∈ N

, ω

n

= (ω

n,1

, ω

n,2

) ∈ E

des suites infinies de couples ´ el´ ements de E. D´ efinissons les ensembles (´ ev` enements) suivants.

– Pour k ∈ N

, A

k

est l’´ ev` enement

la premi` ere obtention du chiffre 2 avec le d´ e bleu a lieu lors du k

e

lancer

.

– A

0

est l’´ ev` enement

le d´ e bleu ne donne jamais le chiffre 2

.

– Pour ` ∈ N

, B

`

est l’´ ev` enement

la premi` ere obtention du chiffre 3 ou du chiffre 6 avec le d´ e rouge a lieu lors du `

e

lancer

.

– B

0

est l’´ ev` enement

le d´ e rouge ne donne jamais le chiffre 3 ni le 6

.

– E est l’´ ev´ enement

le d´ e bleu finit par sortir un 2 et le d´ e rouge finit par sortir un multiple de 3

,

– C est l’´ ev` enement

le d´ e bleu donne 2 pour la premi` ere fois avant que le rouge donne un 3 ou un 6

1) D´ ecrire en une phrase les compl´ ementaires de A

0

et de B

0

. 2) Pour n ∈ N

, notons

F

n

:= {au n

e

lancer, le d´ e bleu donne le chiffre 2}

G

n

:= {au n

e

lancer, le d´ e rouge donne un chiffre multiple de 3}.

Exprimer les ´ ev` enements A

k

et B

l

pour k, l ∈ N

en fonction des ´ ev` enements (F

n

)

n∈N

et (G

n

)

n∈N

.

3) Exprimer les ´ ev` enements A

0

et B

0

en fonction des ´ ev` enements (A

k

)

k∈N

et (B

k

)

k∈N

.

4) Exprimer l’´ ev` enement E :

le d´ e bleu finit par sortir un 2 et le d´ e rouge finit par sortir un

multiple de 3

en fonction des ´ ev` enements A

0

et B

0

.

(3)

5) Exprimer l’´ ev` enement C :

le d´ e bleu donne 2 pour la premi` ere fois avant que le rouge donne un 3 ou un 6

en fonction des ´ ev` enements (A

k

)

k∈N

et (B

k

)

k∈N

. Comparer l’´ ev` enement C aux ´ ev` enements A

0

et B

0

.

6) ´ Etudier la d´ enombrabilit´ e des trois ensembles A

0

, B

0

et C.

Exercice 6 : Un double temps d’attente (deuxi` eme partie)

On dispose d’un d´ e bleu et d’un d´ e rouge ´ equilibr´ es et on effectue une suite infinie de lancers de cette paire de d´ es. On reprend les notations de l’exercice pr´ ec´ edent. Dans tout cet exercice, on n’essaiera pas d’expliciter la tribu F et la mesure de probabilit´ e P telles que le triplet (Ω, F, P ) soit une mod´ elisation

correcte

de la suite infinie des lancers. On admettra l’existence d’un tel triplet et on se contentera de s’appuyer sur des hypoth` eses naturelles d’ind´ ependance des lancers pour effectuer les calculs.

1) Calculez P (A

k

), P (B

`

) et P (A

k

∩ B

`

), pour k, ` ∈ N

.

2) Calculez P (∪

k∈N

A

k

) et en d´ eduire que P (A

0

) = 0. Que vaut P (B

0

) ? 3) Calculez P (A

0

∪ B

0

) et en d´ eduire P (E).

4) Calculez P (C).

5) Expliquez pourquoi la famille {A

1

, A

c1

∩B

1

, A

c1

∩B

c1

} constitue une partition de Ω et donnez sans calcul mais en expliquant votre choix les valeurs de P (C | A

1

), P (C | A

c1

∩ B

1

), P (C | A

c1

∩ B

1c

).

Retrouvez ainsi, sans calcul de s´ erie double, la valeur de P (C).

Probabilit´ e uniforme

Exercice 7.

Soit p ≥ 4. On construit un mot de p lettres en choisissant au hasard des lettres dans un alphabet constitu´ e de 4 lettres diff´ erentes {A, T, C, G}.

1) D´ ecrire l’espace de probabilit´ e associ´ e ` a cette exp´ erience.

2) Quelle est la probabilit´ e que dans le mot obtenu les 4 lettres de l’alphabet soient pr´ esentes ? Exercice 8 : En attendant le bus

Un arrˆ et de bus est desservi tous les quart d’heures ` a partir de 7h du matin (inclus). Un passager arrive ` a l’arrˆ et ` a un instant al´ eatoire de loi uniforme sur [7h ; 7h30].

Quelle est la probabilit´ e qu’il attende moins de 5 mn pour un bus ? Plus de 10 mn ? Exercice 9 : Temps d’attente de Pierre et Paul

Pierre et Paul ont rendez-vous entre 12h et 12h30. Dans un premier temps, on distr´ etise le temps et on mod´ elise cette situation par

Ω = {1, 2, 3, . . . , 30}

2

,

le tirage ω = (ω

1

, ω

2

) repr´ esentant la situation o` u Pierre arrive ω

1

minutes apr` es 12h et o` u Paul arrive ω

2

minutes apr` es 12h. On munit Ω de la tribu P (Ω) et on fait l’hypoth` ese d’´ equiprobabilit´ e.

1) Quelle est la probabilit´ e de l’´ ev´ enement

Pierre et Paul arrivent en mˆ eme temps

? 2) Calculer la probabilit´ e de l’´ ev´ enement

Pierre attend plus de 5 minutes

:

{ (ω

1

, ω

2

) ∈ Ω ; ω

2

> ω

1

+ 5 }.

Quelle est celle de l’´ ev´ enement

Pierre attend entre 5 et 15 minutes

(ces deux valeurs extrˆ emes

´ etant exclues) ?

(4)

3) Quelle est la probabilit´ e que Pierre et Paul arrivent avec k minutes de diff´ erence (pour k ∈ {0, . . . , 29}) ?

4) Quelle autre mod´ elisation aurait-on pu choisir ? Est-ce que cela aurait chang´ e les probabilit´ es des ´ ev´ enements consid´ er´ es ?

Nous consid´ erons maintenant que le temps est continu. Nous choisissons la mod´ elisation Ω = [0, 30]

2

, avec probabilit´ e uniforme. Le tirage ω = (ω

1

, ω

2

) repr´ esente la situation o` u Pierre arrive ω

1

minutes apr` es 12h et Paul ω

2

minutes apr` es 12h.

5) Calculer la probabilit´ e de l’´ ev` enement : “Pierre et Paul arrivent en mˆ eme temps”.

6) Faire un dessin repr´ esentant les ´ ev` enements : “Pierre arrive avant Paul”, “Pierre attend plus de 5 minutes”.

7) Calculer la probabilit´ e de l’´ ev` enement : “Pierre attend plus de 5 minutes”, “Pierre attend entre 5 et 15 minutes”.

Exercice 10 : D´ ecoupe de spaghetti

On d´ ecoupe

au hasard

un segment de longueur l en trois morceaux. On veut savoir si on peut tracer un triangle avec les trois morceaux.

1) D´ ecrire d’espace de probabilit´ e Ω associ´ e, ainsi que la tribu et la probabilit´ e.

2) On mod´ elise le spaghetti par le segment [0, l]. Le point o` u l’on coupe le spaghetti pour la premi` ere fois est not´ e x, le point o` u l’on coupe le spaghetti pour la deuxi` eme fois y. On peut avoir x > y.

3) Quand peut-on faire un triangle avec les trois morceaux ?

4) On peut repr´ esenter le couple (x, y) par un point de R

2

. Repr´ esenter sur un dessin les couples qui permettent de faire un triangle.

5) Calculer la probabilit´ e de pouvoir faire un triangle avec les trois morceaux du spaghetti.

Ind´ ependance et conditionnement

Exercice 11.

Pour chacune des assertions suivantes, donner soit une preuve, soit un contre-exemple.

1) Si A et B sont deux ´ ev´ enements ind´ ependants et incompatibles alors l’un des deux ´ ev´ enements au moins est de probabilit´ e nulle.

2) Si l’un des ´ ev´ enements A ou B est de probabilit´ e nulle alors A et B sont ind´ ependants et incompatibles.

3) Si un ´ ev´ enement A est ind´ ependant d’un ´ ev´ enement B et d’un ´ ev´ enement C, alors il est ind´ ependant de B ∪ C.

4) Si un ´ ev´ enement A est ind´ ependant d’un ´ ev´ enement B et si C est un ´ ev´ enement tel que C ⊂ B alors A est ind´ ependant de C.

Exercice 12 : Une in´ egalit´ e injustement m´ econnue

Sur l’espace probabilis´ e (Ω, F, P ), on note A un ´ ev´ enement quelconque et B un ´ ev´ enement tel que

0 < P (B) < 1.

(5)

1) Montrez que

| P (A ∩ B) − P (A) P (B) | ≤ 1

4 | P (A | B) − P (A | B

c

) |. (7) Indication : commencez par exprimer P (A | B) − P (A | B

c

) en fonction des seules probabilit´ es P (A ∩ B), P (A), P (B).

2) Que donne l’in´ egalit´ e (??) lorsque A ⊂ B ? 3) Dans quels cas (??) est-elle une ´ egalit´ e ? Exercice 13 : Ind´ ependance

Peut-il exister n ´ ev´ enements ind´ ependants de mˆ eme probabilit´ e p dont la r´ eunion soit l’espace Ω tout entier ?

Entraˆınement suppl´ ementaire

Loi uniforme

Exercice 14 : Jeu de franc carreau

Sur une table plane un damier est peint. Il est carr´ e, constitu´ e de 100 cases, et chaque case est un carr´ e de cˆ ot´ e de longueur 2 cm. On jette sur ce damier un pion rond, de 1 cm de diam` etre. On pourra mod´ eliser cette ´ epreuve al´ eatoire en consid´ erant que le centre du pion suit une loi uniforme sur le damier.

1) Quelle est la probabilit´ e que le pion recouvre l’un des

noeuds

du quadrillage ? On appelle noeud l’intersection de deux lignes du quadrillage.

2) Quelle est la probabilit´ e que le pion tombe enti` erement dans une case ? On pourra faire un dessin avec 4 cases et regarder ce qui se passe.

Tribus

Exercice 15 : Poker

Au poker, on tire 5 cartes au hasard parmi 52. On s’int´ eresse aux deux ´ ev` enements :

avoir une quinte (5 cartes de la mˆ eme couleur)

et

avoir un carr´ e (4 cartes de mˆ eme valeur)

.

1) Donner un ensemble Ω qui mod´ elise l’´ ev´ enement al´ eatoire

tirer 5 cartes parmi 52

. 2) Donner la plus petite tribu G

1

sur Ω qui contienne l’´ ev` enement

avoir une quinte

. 3) Donner la plus petite tribu G

2

sur Ω qui contienne l’´ ev` enement

avoir un carr´ e

.

4) Donner la plus petite tribu G

3

sur Ω qui contienne les deux ´ ev` enements (on pourra faire un dessin).

Exercice 16 : Tribu engendr´ ee

1) Soit (F)

i∈I

une famille de tribu sur Ω. Montrer que F = ∩

i∈I

F

i

est une tribu.

2) Soit C une partie de P(Ω). Montrer qu’il existe une unique tribu F sur Ω telle que a) C ⊂ F ,

b) si F

0

est une tribu contenant C alors F ⊂ F

0

.

On note alors F = σ(C).

(6)

Exercice 17 : Vous reprendrez bien un peu de d´ enombrabilit´ e ?

Soit Ω un ensemble infini non d´ enombrable et A l’ensemble des parties de Ω qui sont au plus d´ enombrables ou de compl´ ementaire au plus d´ enombrable.

1) Montrer que A est une tribu.

2) On d´ efinit l’application P

0

de A dans [0, 1] par P

0

(A) = 0 si A est au plus d´ enombrable et P

0

(A) = 1 sinon. Montrer que P

0

est une probabilit´ e sur (Ω, A).

Ind´ ependance et conditionnement

Exercice 18 : Les menteurs

On consid` ere n personnes. Chacune a probabilit´ e p de mentir. On donne ` a la premi` ere personne une information sous la forme “oui ou non”. La premi` ere personne transmet l’information ` a la seconde, qui la transmet ` a la troisi` eme, etc, jusqu’` a la n-i` eme qui l’annonce au monde.

1) Pour 1 ≤ k ≤ n, on note V

k

l’´ ev` enement “l’information que re¸ coit la k-i` eme personne est vraie”, et on pose p

k

= P (V

k

). Calculer p

1

, p

2

, et montrer que pour k ≥ 1

p

k+1

= p + p

k

(1 − 2p).

2) Calculer la probabilit´ e pour que l’information annonc´ ee au monde soit vraie.

(Indication : trouver une constante c telle que les u

k

= p

k

− c forment une suite g´ eom´ etrique).

3) Quelle est la limite de cette probabilit´ e lorsque le nombre n de personnes tend vers l’infini ? ( ´ Etudier en fonction de p)

Exercice 19 : Le gardien ivre

Un voleur se cache pour observer un veilleur de nuit ouvrir une porte. Il sait que le gardien est ivre un jour sur trois. Celui-ci a un trousseau de 10 cl´ es. Les soirs d’ivresse, il essaie une cl´ e au hasard, la remet si elle n’ouvre pas la porte, et recommence, en essayant ´ eventuellement plusieurs fois la mˆ eme. . .Lorsqu’il est ` a jeun au contraire, il prend soin de s´ eparer les cl´ es d´ ej` a essay´ ees.

La porte ayant ´ et´ e ouverte au huiti` eme essai, le voleur en d´ eduit que le veilleur de nuit est ivre et d´ ecide de tenter son coup. Quelle probabilit´ e a-t-il de se tromper ? Que penser de la strat´ egie du voleur ?

Exercice 20 : Derri` ere la porte

Dans un jeu de t´ el´ evision am´ ericain, un candidat a le choix entre trois portes ferm´ ees. Il sait que derri` ere une seule de ces portes se trouve une voiture. Le candidat commence par d´ esigner une porte, puis l’animateur en ouvre une - pas celle que le candidat a choisie, mais une autre, qui ne donne pas sur la voiture. On demande alors au candidat s’il veut refaire son choix ou non. Quelle serait votre d´ ecision ?

D´ enombrement

Exercice 21.

Soit (a

i,j

)

(i,j)∈N2

la famille de r´ eels d´ efinie par

a

i,j

= p

i

j! pour |p| < 1.

(7)

1) La s´ erie double P

(i,j)∈N2

a

i,j

est-elle convergente ? Si oui, calculer sa somme.

2) On note A =

(i, j) ∈ N

2

, i ≥ j .

— Repr´ esenter l’ensemble A.

— Montrer que la s´ erie double P

(i,j)∈A

a

i,j

est convergente, puis calculer sa somme.

Exercice 22 : Loi de succession de Laplace

On dispose de (N + 1) boˆıtes num´ erot´ ees de 0 ` a N . La k

i`eme

boˆıte contient k boules rouges et (N − k) boules blanches. On choisit une boˆıte au hasard et on fait, dans cette boˆıte, n tirages avec remise.

1) Sachant que le tirage est effectu´ e dans la k

i`eme

boˆıte, quelle est la probabilit´ e de tirer n fois de suite une boule rouge ?

2) D´ emontrer que la probabilit´ e de tirer n fois de suite une boule rouge est : 1 + 2

n

+ 3

n

+ · · · + N

n

N

n

(N + 1) et calculer sa limite quand N tend vers l’infini.

3) Calculer la probabilit´ e p

N,n

de tirer une boule rouge la (n + 1)

i`eme

fois, sachant qu’on vient de tirer n boules rouges de suite. Quelle est sa limite quand N tend vers l’infini ?

Exercice 23 : Une probabilit´ e sur N

2

Soient a et b deux r´ eels strictement compris entre 0 et 1 et g la fonction ` a valeurs positives d´ efinies sur N

2

par : ∀(i, j) ∈ N

2

, g(i, j) = ab(1 − a)

i

(1 − b)

j

.

1) V´ erifier que g permet de d´ efinir une probabilit´ e not´ ee P sur l’espace probabilisable ( N

2

, P ( N

2

)).

Rappeler l’expression de P (A) pour tout A ∈ P( N

2

).

2) Pour n ∈ N , posons A

n

= {(i, j) ∈ N

2

, i + j = n}. Montrer que l’application f d´ efinie par f (n) = P (A

n

) pour tout n ∈ N caract´ erise une probabilit´ e sur ( N , P( N )) que l’on notera P

1

. Calculer P

1

({n}) pour tout n ∈ N .

3) Soient B = {(i, j) ∈ N

2

, i = j}, C = {(i, j) ∈ N

2

, i > j} et D = {(i, j) ∈ N

2

, i < j}. Calculer P (B), P (C) et P (D).

4) Soit h l’application d´ efinie sur ( N

2

, P( N

2

)) par :

h(i, j) =

1 si i et j sont pairs,

−1 si i et j sont impairs,

0 si i et j sont de parit´ e diff´ erente.

On note hg l’application d´ efinie sur N

2

par :

hg(i, j) = h(i, j)g(i, j) pour tout (i, j) ∈ N

2

.

D´ emontrer que la famille (hg(i, j))

(i,j)∈N2

est sommable, puis calculer sa somme.

Exercice 24 : Nombre de surjections

Soit n et k deux entiers strictement positifs. On r´ epartit au hasard n jetons num´ erot´ es de 1 ` a n sur

un tableau constitu´ e de k cases num´ erot´ ees de 1 ` a k. Chaque jeton est plac´ e sur une case et chaque

case peut recevoir plusieurs jetons.

(8)

1) D´ efinir un espace de probabilit´ e (Ω, P (Ω), P ) associ´ e ` a cette exp´ erience al´ eatoire.

2) Soit i ∈ {1, . . . , k}. D´ eterminer la probabilit´ e que la i-` eme case reste vide.

3) D´ eterminer la probabilit´ e qu’au moins une case du tableau reste vide.

4) On d´ esigne par Σ

n,k

l’ensemble des surjections de l’ensemble {1, . . . , n} dans l’ensemble {1, . . . , k}.

A quelle condition sur n et k, Σ

n,k

est-il non vide ? Sous cette condition, d´ eduire de la question pr´ ec´ edente une expression du cardinal de Σ

n,k

en fonction de n et k. On le note S

n,k

.

5) Montrer que S

n,1

= 1, S

n,k

= 0 si k > n et pour tout entiers n ≤ k, S

n,k

= kS

n−1k−1

+ kS

n−1k

,

cette formule s’´ etend alors pour tout entiers n et k.

6) Donner une expression (sous forme d’une somme) du nombre B

n

de partitions d’un ensemble

`

a n ´ el´ ements (B

n

est appel´ e nombre de Bell). Donner les valeurs de B

n

pour n = 1, . . . , 4.

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