Probabilit´ es M54 Ann´ ee 2016–2017
Fiche 1: Tribus, loi uniforme, d´ enombrement et ind´ ependance
Tribus
Exercice 1 : Description des espaces de probabilit´ e
D´ ecrire des espaces de probabilit´ e (Ω, F , P ) permettant de r´ epondre aux questions suivantes : 1) Votre enseignante a trois enfants, quelle est la probabilit´ e que ce soit une fille et deux gar¸ cons ? 2) Au poker, on tire 5 cartes au hasard d’un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilit´ e d’obtenir
une quinte flush, un carr´ e, un full ?
3) Une secr´ etaire un peu distraite r´ epartit au hasard n lettres dans n enveloppes portant les adresses des n destinataires, quelle est la probabilit´ e que la lettre n
o1 se trouve dans la bonne enveloppe ?
4) La secr´ etaire r´ epartit les 75 ´ etudiants de la licence de maths dans trois groupes (sans tenir compte du choix des ´ etudiants) :
— Elle r´ epartit les ´ etudiants compl` etement au hasard : quelle est la probabilit´ e que les trois groupes soient ´ equilibr´ es ?
— Elle r´ epartit les ´ etudiants en imposant des groupes de mˆ eme taille : quelle est la probabilit´ e que Marie et Axel se retrouvent dans le mˆ eme groupe ?
Vous pourrez ´ egalement calculer les probabilit´ es demand´ ees (en d´ ecrivant au passage les ´ ev´ enements dont vous calculez la probabilit´ e comme sous-ensemble de Ω).
Exercice 2 : Pile ou face
On lance deux fois une pi` ece de monnaie.
1) Donner un ensemble Ω qui mod´ elise l’´ ev´ enement al´ eatoire
lancer deux fois une pi` ece de monnaie
.
2) Donner la tribu F = P(Ω).
Exercice 3.
Nathalie et Paul viennent de se marier. Ils rˆ event d’avoir 3 enfants. Paul voudrait avoir au moins une fille, et Nathalie pr´ ef´ ererait que son premier enfant soit une fille.
1) Donner un ensemble Ω qui mod´ elise l’´ ev´ enement al´ eatoire
avoir 3 enfants
.
2) Donner la plus petite tribu F
1sur Ω qui contient l’information relative au souhait de Paul.
3) Donner la plus petite tribu F
2sur Ω qui contient l’information relative ` a celui de Nathalie.
4) Donner la plus petite tribu F
3qui contienne les deux souhaits.
5) Donner la plus grosse tribu F
4sur Ω.
Exercice 4 : Union et intersection de tribus Soit Ω = {1, 2, 3, 4}.
1) Identifier la tribu F
1, engendr´ ee par le singleton {1} et la tribu F
2engendr´ ee par {2}.
2) Identifier F
1∩ F
2et F
1∪ F
2. Est-ce que ce sont des tribus ?
Soit Ω un ensemble quelconque et C
1et C
2des collections d’ensembles de Ω. Donc C
i⊂ P(Ω).
1) Montrer que F
C1∩C2⊂ F
C1∩ F
C2.
2) Montrer qu’il n’est pas toujours vrai que F
C1∩ F
C2⊂ F
C1∩C2.
D´ enombrement
Exercice 5 : Un double temps d’attente
On dispose d’un d´ e bleu et d’un d´ e rouge ´ equilibr´ es et on effectue une suite infinie de lancers de cette paire de d´ es. Pour un lancer nous pouvons mod´ eliser cette exp´ erience par l’ensemble E :=
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
2des couples ` a composantes dans {1, . . . , 6}, la premi` ere composante repr´ esentant le chiffre indiqu´ e par le d´ e bleu et la deuxi` eme celui indiqu´ e par le d´ e rouge. Pour repr´ esenter la suite infinie de lancers, nous utiliserons l’ensemble
Ω := E
N∗=
(ω
n)
n≥1; ∀n ∈ N
∗, ω
n= (ω
n,1, ω
n,2) ∈ E
des suites infinies de couples ´ el´ ements de E. D´ efinissons les ensembles (´ ev` enements) suivants.
– Pour k ∈ N
∗, A
kest l’´ ev` enement
la premi` ere obtention du chiffre 2 avec le d´ e bleu a lieu lors du k
elancer
.
– A
0est l’´ ev` enement
le d´ e bleu ne donne jamais le chiffre 2
.
– Pour ` ∈ N
∗, B
`est l’´ ev` enement
la premi` ere obtention du chiffre 3 ou du chiffre 6 avec le d´ e rouge a lieu lors du `
elancer
.
– B
0est l’´ ev` enement
le d´ e rouge ne donne jamais le chiffre 3 ni le 6
.
– E est l’´ ev´ enement
le d´ e bleu finit par sortir un 2 et le d´ e rouge finit par sortir un multiple de 3
,
– C est l’´ ev` enement
le d´ e bleu donne 2 pour la premi` ere fois avant que le rouge donne un 3 ou un 6
1) D´ ecrire en une phrase les compl´ ementaires de A
0et de B
0. 2) Pour n ∈ N
∗, notons
F
n:= {au n
elancer, le d´ e bleu donne le chiffre 2}
G
n:= {au n
elancer, le d´ e rouge donne un chiffre multiple de 3}.
Exprimer les ´ ev` enements A
ket B
lpour k, l ∈ N
∗en fonction des ´ ev` enements (F
n)
n∈N∗et (G
n)
n∈N∗.
3) Exprimer les ´ ev` enements A
0et B
0en fonction des ´ ev` enements (A
k)
k∈N∗et (B
k)
k∈N∗.
4) Exprimer l’´ ev` enement E :
le d´ e bleu finit par sortir un 2 et le d´ e rouge finit par sortir un
multiple de 3
en fonction des ´ ev` enements A
0et B
0.
5) Exprimer l’´ ev` enement C :
le d´ e bleu donne 2 pour la premi` ere fois avant que le rouge donne un 3 ou un 6
en fonction des ´ ev` enements (A
k)
k∈N∗et (B
k)
k∈N∗. Comparer l’´ ev` enement C aux ´ ev` enements A
0et B
0.
6) ´ Etudier la d´ enombrabilit´ e des trois ensembles A
0, B
0et C.
Exercice 6 : Un double temps d’attente (deuxi` eme partie)
On dispose d’un d´ e bleu et d’un d´ e rouge ´ equilibr´ es et on effectue une suite infinie de lancers de cette paire de d´ es. On reprend les notations de l’exercice pr´ ec´ edent. Dans tout cet exercice, on n’essaiera pas d’expliciter la tribu F et la mesure de probabilit´ e P telles que le triplet (Ω, F, P ) soit une mod´ elisation
correcte
de la suite infinie des lancers. On admettra l’existence d’un tel triplet et on se contentera de s’appuyer sur des hypoth` eses naturelles d’ind´ ependance des lancers pour effectuer les calculs.
1) Calculez P (A
k), P (B
`) et P (A
k∩ B
`), pour k, ` ∈ N
∗.
2) Calculez P (∪
k∈N∗A
k) et en d´ eduire que P (A
0) = 0. Que vaut P (B
0) ? 3) Calculez P (A
0∪ B
0) et en d´ eduire P (E).
4) Calculez P (C).
5) Expliquez pourquoi la famille {A
1, A
c1∩B
1, A
c1∩B
c1} constitue une partition de Ω et donnez sans calcul mais en expliquant votre choix les valeurs de P (C | A
1), P (C | A
c1∩ B
1), P (C | A
c1∩ B
1c).
Retrouvez ainsi, sans calcul de s´ erie double, la valeur de P (C).
Probabilit´ e uniforme
Exercice 7.
Soit p ≥ 4. On construit un mot de p lettres en choisissant au hasard des lettres dans un alphabet constitu´ e de 4 lettres diff´ erentes {A, T, C, G}.
1) D´ ecrire l’espace de probabilit´ e associ´ e ` a cette exp´ erience.
2) Quelle est la probabilit´ e que dans le mot obtenu les 4 lettres de l’alphabet soient pr´ esentes ? Exercice 8 : En attendant le bus
Un arrˆ et de bus est desservi tous les quart d’heures ` a partir de 7h du matin (inclus). Un passager arrive ` a l’arrˆ et ` a un instant al´ eatoire de loi uniforme sur [7h ; 7h30].
Quelle est la probabilit´ e qu’il attende moins de 5 mn pour un bus ? Plus de 10 mn ? Exercice 9 : Temps d’attente de Pierre et Paul
Pierre et Paul ont rendez-vous entre 12h et 12h30. Dans un premier temps, on distr´ etise le temps et on mod´ elise cette situation par
Ω = {1, 2, 3, . . . , 30}
2,
le tirage ω = (ω
1, ω
2) repr´ esentant la situation o` u Pierre arrive ω
1minutes apr` es 12h et o` u Paul arrive ω
2minutes apr` es 12h. On munit Ω de la tribu P (Ω) et on fait l’hypoth` ese d’´ equiprobabilit´ e.
1) Quelle est la probabilit´ e de l’´ ev´ enement
Pierre et Paul arrivent en mˆ eme temps
? 2) Calculer la probabilit´ e de l’´ ev´ enement
Pierre attend plus de 5 minutes
:
{ (ω
1, ω
2) ∈ Ω ; ω
2> ω
1+ 5 }.
Quelle est celle de l’´ ev´ enement
Pierre attend entre 5 et 15 minutes
(ces deux valeurs extrˆ emes
´ etant exclues) ?
3) Quelle est la probabilit´ e que Pierre et Paul arrivent avec k minutes de diff´ erence (pour k ∈ {0, . . . , 29}) ?
4) Quelle autre mod´ elisation aurait-on pu choisir ? Est-ce que cela aurait chang´ e les probabilit´ es des ´ ev´ enements consid´ er´ es ?
Nous consid´ erons maintenant que le temps est continu. Nous choisissons la mod´ elisation Ω = [0, 30]
2, avec probabilit´ e uniforme. Le tirage ω = (ω
1, ω
2) repr´ esente la situation o` u Pierre arrive ω
1minutes apr` es 12h et Paul ω
2minutes apr` es 12h.
5) Calculer la probabilit´ e de l’´ ev` enement : “Pierre et Paul arrivent en mˆ eme temps”.
6) Faire un dessin repr´ esentant les ´ ev` enements : “Pierre arrive avant Paul”, “Pierre attend plus de 5 minutes”.
7) Calculer la probabilit´ e de l’´ ev` enement : “Pierre attend plus de 5 minutes”, “Pierre attend entre 5 et 15 minutes”.
Exercice 10 : D´ ecoupe de spaghetti
On d´ ecoupe
au hasard
un segment de longueur l en trois morceaux. On veut savoir si on peut tracer un triangle avec les trois morceaux.
1) D´ ecrire d’espace de probabilit´ e Ω associ´ e, ainsi que la tribu et la probabilit´ e.
2) On mod´ elise le spaghetti par le segment [0, l]. Le point o` u l’on coupe le spaghetti pour la premi` ere fois est not´ e x, le point o` u l’on coupe le spaghetti pour la deuxi` eme fois y. On peut avoir x > y.
3) Quand peut-on faire un triangle avec les trois morceaux ?
4) On peut repr´ esenter le couple (x, y) par un point de R
2. Repr´ esenter sur un dessin les couples qui permettent de faire un triangle.
5) Calculer la probabilit´ e de pouvoir faire un triangle avec les trois morceaux du spaghetti.
Ind´ ependance et conditionnement
Exercice 11.
Pour chacune des assertions suivantes, donner soit une preuve, soit un contre-exemple.
1) Si A et B sont deux ´ ev´ enements ind´ ependants et incompatibles alors l’un des deux ´ ev´ enements au moins est de probabilit´ e nulle.
2) Si l’un des ´ ev´ enements A ou B est de probabilit´ e nulle alors A et B sont ind´ ependants et incompatibles.
3) Si un ´ ev´ enement A est ind´ ependant d’un ´ ev´ enement B et d’un ´ ev´ enement C, alors il est ind´ ependant de B ∪ C.
4) Si un ´ ev´ enement A est ind´ ependant d’un ´ ev´ enement B et si C est un ´ ev´ enement tel que C ⊂ B alors A est ind´ ependant de C.
Exercice 12 : Une in´ egalit´ e injustement m´ econnue
Sur l’espace probabilis´ e (Ω, F, P ), on note A un ´ ev´ enement quelconque et B un ´ ev´ enement tel que
0 < P (B) < 1.
1) Montrez que
| P (A ∩ B) − P (A) P (B) | ≤ 1
4 | P (A | B) − P (A | B
c) |. (7) Indication : commencez par exprimer P (A | B) − P (A | B
c) en fonction des seules probabilit´ es P (A ∩ B), P (A), P (B).
2) Que donne l’in´ egalit´ e (??) lorsque A ⊂ B ? 3) Dans quels cas (??) est-elle une ´ egalit´ e ? Exercice 13 : Ind´ ependance
Peut-il exister n ´ ev´ enements ind´ ependants de mˆ eme probabilit´ e p dont la r´ eunion soit l’espace Ω tout entier ?
Entraˆınement suppl´ ementaire
Loi uniforme
Exercice 14 : Jeu de franc carreau
Sur une table plane un damier est peint. Il est carr´ e, constitu´ e de 100 cases, et chaque case est un carr´ e de cˆ ot´ e de longueur 2 cm. On jette sur ce damier un pion rond, de 1 cm de diam` etre. On pourra mod´ eliser cette ´ epreuve al´ eatoire en consid´ erant que le centre du pion suit une loi uniforme sur le damier.
1) Quelle est la probabilit´ e que le pion recouvre l’un des
noeuds
du quadrillage ? On appelle noeud l’intersection de deux lignes du quadrillage.
2) Quelle est la probabilit´ e que le pion tombe enti` erement dans une case ? On pourra faire un dessin avec 4 cases et regarder ce qui se passe.
Tribus
Exercice 15 : Poker
Au poker, on tire 5 cartes au hasard parmi 52. On s’int´ eresse aux deux ´ ev` enements :
avoir une quinte (5 cartes de la mˆ eme couleur)
et
avoir un carr´ e (4 cartes de mˆ eme valeur)
.
1) Donner un ensemble Ω qui mod´ elise l’´ ev´ enement al´ eatoire
tirer 5 cartes parmi 52
. 2) Donner la plus petite tribu G
1sur Ω qui contienne l’´ ev` enement
avoir une quinte
. 3) Donner la plus petite tribu G
2sur Ω qui contienne l’´ ev` enement
avoir un carr´ e
.
4) Donner la plus petite tribu G
3sur Ω qui contienne les deux ´ ev` enements (on pourra faire un dessin).
Exercice 16 : Tribu engendr´ ee
1) Soit (F)
i∈Iune famille de tribu sur Ω. Montrer que F = ∩
i∈IF
iest une tribu.
2) Soit C une partie de P(Ω). Montrer qu’il existe une unique tribu F sur Ω telle que a) C ⊂ F ,
b) si F
0est une tribu contenant C alors F ⊂ F
0.
On note alors F = σ(C).
Exercice 17 : Vous reprendrez bien un peu de d´ enombrabilit´ e ?
Soit Ω un ensemble infini non d´ enombrable et A l’ensemble des parties de Ω qui sont au plus d´ enombrables ou de compl´ ementaire au plus d´ enombrable.
1) Montrer que A est une tribu.
2) On d´ efinit l’application P
0de A dans [0, 1] par P
0(A) = 0 si A est au plus d´ enombrable et P
0(A) = 1 sinon. Montrer que P
0est une probabilit´ e sur (Ω, A).
Ind´ ependance et conditionnement
Exercice 18 : Les menteurs
On consid` ere n personnes. Chacune a probabilit´ e p de mentir. On donne ` a la premi` ere personne une information sous la forme “oui ou non”. La premi` ere personne transmet l’information ` a la seconde, qui la transmet ` a la troisi` eme, etc, jusqu’` a la n-i` eme qui l’annonce au monde.
1) Pour 1 ≤ k ≤ n, on note V
kl’´ ev` enement “l’information que re¸ coit la k-i` eme personne est vraie”, et on pose p
k= P (V
k). Calculer p
1, p
2, et montrer que pour k ≥ 1
p
k+1= p + p
k(1 − 2p).
2) Calculer la probabilit´ e pour que l’information annonc´ ee au monde soit vraie.
(Indication : trouver une constante c telle que les u
k= p
k− c forment une suite g´ eom´ etrique).
3) Quelle est la limite de cette probabilit´ e lorsque le nombre n de personnes tend vers l’infini ? ( ´ Etudier en fonction de p)
Exercice 19 : Le gardien ivre
Un voleur se cache pour observer un veilleur de nuit ouvrir une porte. Il sait que le gardien est ivre un jour sur trois. Celui-ci a un trousseau de 10 cl´ es. Les soirs d’ivresse, il essaie une cl´ e au hasard, la remet si elle n’ouvre pas la porte, et recommence, en essayant ´ eventuellement plusieurs fois la mˆ eme. . .Lorsqu’il est ` a jeun au contraire, il prend soin de s´ eparer les cl´ es d´ ej` a essay´ ees.
La porte ayant ´ et´ e ouverte au huiti` eme essai, le voleur en d´ eduit que le veilleur de nuit est ivre et d´ ecide de tenter son coup. Quelle probabilit´ e a-t-il de se tromper ? Que penser de la strat´ egie du voleur ?
Exercice 20 : Derri` ere la porte
Dans un jeu de t´ el´ evision am´ ericain, un candidat a le choix entre trois portes ferm´ ees. Il sait que derri` ere une seule de ces portes se trouve une voiture. Le candidat commence par d´ esigner une porte, puis l’animateur en ouvre une - pas celle que le candidat a choisie, mais une autre, qui ne donne pas sur la voiture. On demande alors au candidat s’il veut refaire son choix ou non. Quelle serait votre d´ ecision ?
D´ enombrement
Exercice 21.
Soit (a
i,j)
(i,j)∈N2la famille de r´ eels d´ efinie par
a
i,j= p
ij! pour |p| < 1.
1) La s´ erie double P
(i,j)∈N2
a
i,jest-elle convergente ? Si oui, calculer sa somme.
2) On note A =
(i, j) ∈ N
2, i ≥ j .
— Repr´ esenter l’ensemble A.
— Montrer que la s´ erie double P
(i,j)∈A