1 Espaces de probabilit´ es finis

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre VI

Probabilit´ es

Table des mati` eres

1 Espaces de probabilit´es finis 2

2 Des exemples d’exp´eriences al´eatoires 3

3 Espaces de probabilit´es d´enombrables 4

4 Espaces de probabilités généraux 7

5 Les th´eor`emes fondamentaux 10

(2)

1 Espaces de probabilit´ es finis

Définition (probabilité sur un ensemble fini) :Soit Ω ={ω1, ω2, . . . , ωn}un ensemble fini. Une probabilité P sur Ω est une application

P: Ω→[0,1]

qui v´erifie la condition :

C(P) :

n

X

i=1

P(ωi) = 1.

Définition (probabilité uniforme sur un ensemble fini) :Soit Ω ={ω1, . . . , ωn}un ensemble fini à n≥1

´

el´ements. La probabilit´e uniforme sur Ω est l’application :

P: Ω→[0,1], ωi7→ 1 n.

C’est l’unique probabilité sur Ω qui est une application constante, i.e. telle que tous les éléments de Ω ont la même image.

Exemple 1 Sur Ω =J1,6K, la probabilit´e uniforme est donn´ee par : P:J1,6K→[0,1], i7→ 1

6.

Définition (espace de probabilités fini) : Un espace de probabilités fini est un couple (Ω, P) où Ω est un ensemble fini etP est une probabilité sur Ω.

Définition (événement et probabilité d’un événement) : Soit (Ω = {ω1, ω₂, . . . , ω_n}, P) un espace de probabilités fini.

1. Un ´ev´enement Aest une partie de Ω.

2. SiAest l’´ev´enement ∅, alors on posePe(A) = 0.

3. SoitAun événement non vide. Alors si on posea= Card(A), il existeaentiers 1≤i1< i2< . . . < ia≤n tels que A={ω_i₁, ω_i₂, . . . , . . . , ω_i_a}. On définit la probabilité de l’événementA, notéePe(A), par :

Pe(A) =

a

X

j=1

P(ω_i_j).

Remarque 1 :Soit (Ω ={ω1, ω2, . . . , ωn}, P) un espace de probabilités fini. L’ensemble des événements, noté T est, par définition même, l’ensembleP(Ω) des parties de Ω.

Théorème 1 (probabilité d’un événement dans le cas uniforme) :Soit (Ω ={ω1, . . . , ωn}, P) un espace de probabilités fini, oùPest la probabilité uniforme. La probabilité d’un événementAest donnée par la formule :

P(A) =e Card(A) Card(Ω).

Théorème 2 (applicationPe et propriétés d’icelle) :Soit (Ω ={ω1, ω2, . . . , ωn}, P) un espace de probabi- lités fini.

1. Pour tout ´ev´enementA, on a : 0≤Pe(A)≤1.L’applicationP: Ω→[0,1] induit ainsi une application : Pe:T =P(Ω)→[0,1] ; A7→Pe(A).

2. L’applicationPe v´erifie les deux conditions suivantes : C1(Pe) : Pe(Ω) = 1

C2(Pe) : SiA etB sont deux ´ev´enements incompatibles (A∩B =∅), alorsP(Ae ∪B) =P(A) +e Pe(B).

(3)

Remarque 2 :La propriétéC₂(P) porte le nom d’additivité e.

Preuve du th´eor`eme 2

Remarque 3 :Soit Ω ={ω1, ω2, . . . , ωn} un ensemble fini. Si P: Ω →[0,1] est une application vérifiant la conditionC(P) (i.e. siP est une probabilité sur Ω), alors on lui a associé une applicationPe:T =P(Ω)→[0,1]

v´erifiant les conditionsC₁(Pe) etC₂(Pe). On note

P ;Pe

cette construction.

Théorème 3 (construction Pe;P réciproque deP ;Pe) :Soit Ω ={ω1, ω2, . . . , ωn} un ensemble fini.

1. SoitPe: T =P(Ω)→[0,1] une application v´erifiant les conditionsC₁(Pe) etC₂(Pe). Alors l’application P: Ω→[0,1] ; ωi7→Pe({ωi})

v´erifie la conditionC(P), i.e. est une probabilit´e sur Ω. On notePe;P cette construction.

2. Les constructions de P ;Peet Pe;P sont r´eciproques l’une de l’autre, i.e. :

(a) SiP: Ω→[0,1] est une application v´erifiantC(P), alors l’enchaˆınement de constructions P ;Pe;P

redonne l’applicationP.

(b) Si Pe:T = P(Ω) → [0,1] est une application v´erifiant les conditions C₁(P) ete C₂(Pe), alors l’en- chaˆınement de constructions

Pe;P ;Pe redonne l’applicationPe.

Remarque 4 : Soit Ω un ensemble fini. Il y a donc deux points de vues possibles pour d´efinir un espace de probabilit´es fini, d’univers Ω :

1. soit via une application P: Ω→[0,1] v´erifiant la conditionC(P) ;

2. soit via une application Pe:T =P(Ω)→[0,1] v´erifiant les conditionsC1(Pe) etC2(P).e

C’est ce deuxième point de vue que nous allons généraliser dans ce chapitre, pour définir une théorie des probabilités sur des espaces non nécessairement finis.

2 Des exemples d’exp´ eriences al´ eatoires

Définition (expérience aléatoire − cas où le nombre de résultats est fini) : Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat. Si le nombre d’issues possibles est fini, on associe à l’expérience aléatoire un espace de probabilités fini (Ω, P), où :

1. Ω ={ω1, . . . , ωn} est l’ensemble de toutes les issues possibles ;

2. P: Ω→[0,1] est l’application telle que pour touti∈J1, nK, P(ωi) est la probabilit´e d’obtenir le r´esultat ωi.

Comme Ω contient tous les r´esultats possibles, on a bien :

P(ω1) +. . .+P(ωn) = 1.

Exemple 2 : On jette successivement 3 fois un dé équilibré. On obtient ainsi une suite de 3 chiffres compris entre 1 et 6. Quelle est la probabilité d’avoir une suite strictement croissante ?

Remarque 5 : Les probabilités peuvent être utilisées pour modéliser des expériences aléatoires. Nous avons considéré, jusqu’ici, des expériences aléatoires dont les ensembles de résultats étaient finis. Or il existe des expériences aléatoires dont les ensembles de résultats sont infinis et que l’on souhaite modéliser. C’est une des motivations pour étendre la théorie des probabilités vue en première année.

(4)

Exemple 3 :Quelques expériences aléatoires dont les ensembles de résultats sont infinis.

1. Si on lance une pièce équilibrée jusqu’à l’obtention de PILE et que l’on s’intéresse au nombre de lancers effectués, alors l’ensemble des résultats est : Ω =N^∗∪ {∞}.

2. Si l’on compte le nombre de clients passant à une caisse donnée d’un supermarché pendant une journée, alors l’ensemble des résultats est : Ω =N.

3. On considère le temps d’attente d’un voyageur à un arrêt de bus. Dans ce cas l’ensemble des résultats possibles est Ω =R⁺.

4. On tire au hasard un nombre r´eel entre 0 et 1. Dans ce cas l’ensemble des r´esultats possibles est [0,1].

Dans cet exemple, on verra qu’il n’est pas aisé de définir une probabilitésur Ω. Notons simplement qu’il semble légitime de dire par exemple que :

• la probabilit´e que le nombre soit dans l’intervalle

0,1 2

est 1 2;

• la probabilit´e que le nombre soit dans l’intervalle

0,1 3

est 1 3;

• la probabilit´e que le nombre soit dans l’intervalle 1

4,3 4

est 1 2. Que vaut la probabilit´e que le nombre soit exactement 1

2?

3 Espaces de probabilit´ es d´ enombrables

Définition (ensemble dénombrable) :Un ensemble Ω est dit dénombrable si et seulement si il existe une bijection

f:N→Ω, i7→ω_i i.e. si l’on peut écrire la liste (sans répétition)

ω₀, ω₁, ω₂, . . . , ω_n, . . .

des éléments de Ω en les numérotant à l’aide des entiers naturels.

Remarque 6 :Un espace d´enombrable est donc infini, mais il existe des ensembles infinis non d´enombrables.

Exemple 4 :Les ensemblesN,N^∗,Z,Qet N×Nsont d´enombrables. En revanche, les ensemblesR, [0,1],C etP(N) (ensemble des parties deN) ne sont pas d´enombrables.

Définition (probabilité sur un ensemble dénombrable) :Soit Ω ={ω0, ω1, ω2, . . . , ωn, . . .}un ensemble dénombrable. Une probabilitéP sur Ω est une application

P: Ω→[0,1]

qui v´erifie la condition :

C(P) : la série de terme généralP(ωn) (n≥0) converge et

+∞

X

n=0

P(ωn) = 1.

Définition (espace de probabilités dénombrable) :Un espace de probabilités dénombrable est un couple (Ω, P) où Ω est un ensemble dénombrable etP est une probabilité sur Ω.

Définition (événement et probabilité d’un événement) :Soit (Ω ={ω0, ω₁, ω₂, . . . , ω_n, . . .}, P) un espace de probabilités dénombrable.

1. Un ´ev´enement Aest une partie de Ω.

2. SiAest l’´ev´enement ∅, alors on posePe(A) = 0.

3. SoitA un ´ev´enement fini, non vide. Alors si on posea= Card(A), il existeaentiers 1≤i₁ < i₂< . . . <

ia≤ntels queA={ωi₁, ωi₂, . . . , . . . , ωi_a}. On définit la probabilité de l’événementA, notée P(A), par :e

Pe(A) =

a

X

j=1

P(ωi_j).

(5)

4. Si A est un ´ev`enement infini, alors il existe une unique suite strictement croissante d’entiers naturels i₀< i₁< . . . < i_n < . . .telle que :

A={ω_i₀, ω_i₁, . . . , ω_i_n, . . .}.

Alors, d’après le théorème 6 du cours sur les séries, la série de terme généralP(ωi_n) (n∈N) converge et on définit la probabilité de l’événementA, notéePe(A), par :

Pe(A) =

+∞

X

n=0

P(ωi_n).

Remarque 7 : Soit (Ω = {ω1, ω2, . . . , ωn, . . .}, P) un espace de probabilit´es d´enombrable. L’ensemble des

´

evénements, notéT, est par définition même, l’ensembleP(Ω) des parties de Ω.

Exemple 5 :Soitp∈]0,1[. On poseq= 1−p.

1. L’application

P:N^∗→Ω ; n7→pqⁿ⁻¹ est une probabilit´e surN^∗.

2. La probabilité de l’événementA={n∈N^∗ : nest multiple de 3} estPe(A) = pq² 1−q³.

Définition (suite d’événements deux à deux incompatibles) : Soit (Ω = {ω1, ω₂, . . . , ω_n, . . .}, P) un espace de probabilités dénombrable. On dit qu’une suite (A_n)_n∈_N d’événements est une suite d’événements deux à deux incompatibles si et seulement si :

∀n1∈N ∀n2∈N n16=n2=⇒An₁∩An₂ =∅.

Théorème 4 (application Pe et propriétés d’icelle) : Soit (Ω = {ω1, ω₂, . . . , ω_n, . . .}, P) un espace de probabilités dénombrable.

1. Pour tout ´ev´enementA, on a : 0≤Pe(A)≤1.L’applicationP: Ω→[0,1] induit ainsi une application : Pe:T =P(Ω)→[0,1] ; A7→Pe(A).

2. L’applicationPe v´erifie les deux conditions suivantes : C₁(Pe) : Pe(Ω) = 1

C₂(Pe) : Si (A_n)_n∈_Nest une suite d’événements deux à deux incompatibles, alors la série de terme général Pe(A_n) (n∈N) converge et on a :

Pe [

n∈N

A_n

!

=

+∞

X

n=0

P(Ae _n).

Remarque 8 :La propriétéC2(P) porte le nom dee σ-additivité.

A propos de la preuve du th´` eor`eme 4

1. Il faut essentiellement montrer que siAest un événement infini, alorsP(A)e ≤1. ÉcrivonsAsous la forme : A={ωi₀, ωi₁, . . . , ωi_n, . . .}

où i₀ < i₁ < . . . < i_n < . . . est l’unique suite strictement croissante d’entiers naturels qui permet d’énumérer les éléments deA. Alors, par définition, on a :

Pe(A) =

+∞

X

n=0

P(ωi_n).

D’après le théorème 6 du cours sur les séries, on sait que :

+∞

X

n=0

P(ωi_n)≤

+∞

X

n=0

P(ωn).

On conclut alors en appliquant la propri´et´eC(P) qui nous assure que

+∞

X

n=0

P(ω_n) = 1.

(6)

2. Le fait quePe(Ω) soit égale à 1 est conséquence de la définition dePe(Ω) :

Pe(Ω) =P({ωe 1, ω₂, . . . , ω_n, . . .}) =

+∞

X

n=0

P(ω_n) et de la propri´et´eC(P).

La propriétéC2(Pe) est admise. Sa démonstration n’est pas immédiate et requiert des résultats supplémentaires sur les séries à termes positifs, résultats que nous ne discutons pas ici.

Exemple 6 : Soitp∈]0,1[. On poseq= 1−p. Marc et Bob jouent à PILE ou FACE avec une pièce truquée dont la probabilité d’apparition de PILE estp. Si la pièce tombe sur PILE, alors Marc marque un point, sinon Bob marque un point. On lance la pièce jusqu’à temps que les deux joueurs aient au moins marqué deux points.

On regarde alors le nombre de points marqu´es par chaque joueur. En cas d’exæquo chacun remporte son nombre de points en euros, sinon celui qui a le plus haut score gagne son nombre de points en euros et l’autre rien.

1. On note Ak l’événement Marc gagne k euros (k ∈ N^≥2). Calculer la probabilité de Ak pour tout k∈N^≥2.

2. Calculer la probabilit´e que Marc gagne.

Remarque 9 :Soit Ω ={ω1, ω2, . . . , ωn} un ensemble fini. Si P: Ω →[0,1] est une application vérifiant la conditionC(P) (i.e. siP est une probabilité sur Ω), alors on lui a associé une applicationPe:T =P(Ω)→[0,1]

v´erifiant les conditionsC₁(Pe) etC₂(Pe). On note

P ;Pe cette construction.

Théorème 5 (construction Pe ;P réciproque de P ;Pe) : Soit Ω = {ω1, ω₂, . . . , ω_n, . . .} un ensemble dénombrable.

1. SoitPe: T =P(Ω)→[0,1] une application v´erifiant les conditionsC₁(Pe) etC₂(Pe). Alors l’application P: Ω→[0,1] ; ω_i7→Pe({ωi})

v´erifie la conditionC(P), i.e. est une probabilit´e sur Ω. On notePe;P cette construction.

2. Les constructions de P ;Peet Pe;P sont r´eciproques l’une de l’autre, i.e. :

(a) SiP: Ω→[0,1] est une application v´erifiantC(P), alors l’enchaˆınement de constructions P ;Pe;P

redonne l’applicationP.

(b) Si Pe:T = P(Ω) → [0,1] est une application v´erifiant les conditions C₁(P) ete C₂(Pe), alors l’en- chaˆınement de constructions

Pe;P ;Pe redonne l’applicationPe.

Remarque 10

1. Soit Ω un ensemble dénombable. Comme dans le cas fini, il y a deux points de vues possibles pour définir un espace de probabilités dénombrable, d’univers Ω :

(a) soit via une applicationP: Ω→[0,1] v´erifiant la conditionC(P) ;

(b) soit via une applicationPe:T =P(Ω)→[0,1] v´erifiants les conditionsC1(Pe) etC2(Pe).

2. Si l’on compare les cas fini et d´enombrable, on remarque que :

(a) dans le cas fini, on a uniquement utilis´e des symboles de sommation

n

X

k=0

, alors que dans le cas

d´enombrable, on a vu apparaˆıtre des s´eries et le symbole de sommation

+∞

X

n=0

;

(b) dans le cas fini la condition C2(Pe) est une condition portant sur une réunion de deux événements incompatibles, alors que dans le cas dénombrable est apparue une condition, certes analogue, mais portant sur une réunion de suite d’événements deux à deux incompatibles.

(7)

4 Espaces de probabilit´ es g´ en´ eraux

Soit Ω un ensemble quelconque, appel´e univers.

Contrairement aux deux cas précédemment considérés (Ω fini, Ω dénombrable), un événement ne sera pas nécessairement une sous-partie quelconque de Ω dans le cas général. Sans parler des problèmes théoriques sous- jacents, on ne sera pas forcément intéressé, dans le cas général, par connaˆıtre la probabilité de toutes les parties de Ω.

Pour indiquer quelles sont les parties intéressantes de Ω (i.e. quelles sont les parties dont les probabilités nous intéressent), on va ajouter à la donnée de Ω un sous-ensembleT deP(Ω), appelé ensemble des événements ou tribu, possédantcertaines propriétés.

Définition (tribu surΩ) :Une tribuT sur Ω est un ensemble de parties de Ω vérifiant les propriétés suivantes.

1. Ω∈ T.

2. T est stable par passage au compl´ementaire, i.e. :

∀A∈ T A∈ T.

3. T est stable par réunion dénombrable, i.e. pour tout suite (An)n∈Nd’éléments deT, on a : [

n∈N

A_n ∈ T.

Exemple 7

1. L’ensembleP(Ω) tout entier est bien sˆur une tribu sur Ω.

2. Si Ω est fini ou dénombrable, on choisira en général la tribuP(Ω) comme tribu sur Ω.

3. Si Ω n’est ni fini, ni dénombrable (par exemple si Ω =Rou si Ω = [0,1]), on ne prendra pas en général la tribuP(Ω) comme tribu sur Ω.

4. Si Ω =R, alors on peut démontrer qu’il existe une tribu BsurR, appelée tribu borélienne surR, qui est telle que :

(a) tout intervalle deRappartient `aB;

(b) siT est une tribu surRcontenant tous les intervalles deR, alorsB ⊂ T.

En d’autres termes, la tribu borélienne surRest la plus petite tribu surRqui contient tous les intervalles deR. C’est en général cette tribu que l’on choisira surR. Puisque la tribu borélienne est une tribu surR qui contient tous les intervalles, alors on a :

(a) pour toutt∈R, ]− ∞, t]∈ B;

(b) pour touta, b∈Rtels quea < b, ]a, b[∈ B;

(c) si (In)_n∈Nest une suite d’intervalles de R, alors [

n∈N

In∈ Bet \

n∈N

In∈ B.

5. Si Ω = [0,1], alors on peut, comme dans le cas deR, définir la tribu borélienneBsur [0,1] ; c’est la plus petite tribu qui contient tous les intervalles de [0,1]. En pratique, cette tribu sera celle que l’on considérera surR.

D´efinition (espace probabilisable)

1. Un espace probabilisable est un couple (Ω,T) o`u Ω est un ensemble etT est une tribu sur Ω.

2. Un événement d’un espace probabilisable (Ω,T) est une sous-partie de Ω qui appartient à la tribuT. Exemple 8

1. Sin∈N, alors (J0, nK,P(J0, nK)) est un espace probabilisable.

2. (N,P(N)) est un espace probabilisable.

3. (R,B) est un espace probabilisable, où Bdésigne la tribu borélienne surR. 4. ([0,1],B) est un espace probabilisable, oùBdésigne la tribu borélienne sur [0,1].

(8)

Définition (espace de probabilités) :Un espace de probabilités est un triplet (Ω,T, P) où : 1. (Ω,T) est un espace probabilisable ;

2. P:T →[0,1] est une application, appel´ee probabilit´e surT, telle que : (a) P(Ω) = 1 ;

(b) Pour toute suite d’événements (An)_n∈Ndeux à deux incompatibles, i.e.

∀n∈N ∀m∈N n6=m=⇒An∩Am=∅, la série de terme généralP(A_n) converge et :

+∞

X

n=0

P(An) =P [

n∈N

An

! .

On remarque que d’après la propriété 3 de la définition d’une tribu, [

n∈N

An ∈ T. On peut donc considérer la probabilité de l’événement [

n∈N

An.

Remarque 11 :Auparavant, on a introduit, dans le cas o`u Ω est fini, une notion d’espace de probabilit´es (cf.

partie 2) et, dans le cas où Ω est dénombrable, une notion d’espace de probabilités (cf. partie 4). On peut lier ces notions d’espaces de probabilitésanciennes et celle énoncée précédemment comme suit.

Si Ω est un ensemble fini (resp. dénombrable), et siP est une probabilité sur Ω au sens de la partie 2 (resp. de la partie 4) alors (Ω,P(Ω),Pe) est une probabilité au sens de la définition précédente.

Exemple 9 :Considérons la tribu borélienneB sur [0,1]. On peut démontrer que l’application pdéfinie sur l’ensemble des intervalles de [0,1] par :

p(]a, b[) =p([a, b[) =p([a, b]) =p(]a, b]) =b−a

pour touta, b∈[0,1] tels quea < bs’´etend de fa¸con unique en une application P:B →[0,1]

qui vérifie les axiomes d’une probabilité surB. Cette probabilitéP sur Best appelée probabilité uniforme sur [0,1]. L’espace de probabilités ([0,1],B, P) est un exemple d’espace de probabilités infini non dénombrable.

Théorème 6 (propriétés élémentaires des espaces de probabilités) : Soit (Ω,T, P) un espace de pro- babilités. On a les propriétés suivantes.

1. P(∅) = 0.

2. SiAetB sont deux ´ev´enements incompatibles, alorsP(A∪B) =P(A) +P(B).

3. SiA1, . . . , An sont des événements deux à deux incompatibles, i.e. :

∀i∈J1, nK ∀j∈J1, nK i6=j=⇒Ai∩Aj=∅, alorsP(A₁∪. . .∪A_n) =P(A₁) +. . .+P(A_n).

4. SoitAun ´ev´enement. AlorsP(A) = 1−P(A).

5. Soient AetB deux ´ev´enements tels queA⊂B. AlorsP(A)≤P(B).

6. Soient AetB deux ´ev´enements. AlorsP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).

Preuve du th´eor`eme 6

1. Pour tout n ∈ N, on pose A_n = ∅. Alors la suite (A_n)_n∈_N est une suite d’événements deux à deux incompatibles. La convergence de la série de terme généralP(An) =P(∅) force l’égalitéP(∅) = 0.

2. Soient A et B deux événements incompatibles. On pose A0 = A, A1 =B et An =∅ pour tout entier n ≥2. La suite (An)_n∈N est alors une suite d’événements deux à deux incompatibles. Alors la série de terme généralP(An) converge et :

(∗)

+∞

X

n=0

P(A_n) =P [

n∈N

A_n

! .

(9)

Or (∗∗)

+∞

X

n=0

P(A_n) = P(A₀) +P(A₁) +P(A₂) +P(A₃) +P(A₄) +P(A₅) +. . .

= P(A) +P(B) +P(∅) +P(∅) +P(∅) +P(∅) +. . .

= P(A) +P(B) (carP(∅) = 0)

De plus on a :

(∗ ∗ ∗) [

n∈N

An = A0∪A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪. . .

= A∪B∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪. . .

= A∪B

De (∗), (∗∗) et (∗ ∗ ∗), on d´eduit queP(A∪B) =P(A) +P(B).

3. On peut prouver la propriété 3. en généralisant la démonstration donnée pour la propriété 2. Les détails sont laissés en exercice.

4. SoitAun événement. AlorsA etAsont deux événements incompatibles. On a donc, d’après 2. : (∗) P(A∪A) =P(A) +P(A).

Or A∪A= Ω etP(Ω) = 1. De (∗), on d´eduit doncP(A) +P(A) = 1 et par suiteP(A) = 1−P(A).

5. Soient A etB deux ´ev´enements tels queA⊂B. AlorsB =A∪(B∩A) (faire un diagramme de Venn).

Comme les deux événementsAetB∩Asont incompatibles, on a d’après 2. : (∗) P(B) =P(A) +P(B∩A).

Or P(B∩A)≥0 (car l’ensemble d’arriv´ee deP est [0,1]). On a doncP(A)≤P(B).

6. SoientAetB deux ´ev´enements. AlorsA∪B = (A∩B)∪(A∩B)∪(A∩B) (faire un diagramme de Venn).

Les trois événementsA∩B,A∩B et A∩B étant deux à deux incompatibles, on a, d’après 3. : (∗) P(A∪B) =P((A∩B)∪(A∩B)∪(A∩B)) =P(A∩B) +P(A∩B) +P(A∩B).

Les événementsA∩B etA∩B sont incompatibles et leur réunion estA(faire un diagramme de Venn).

On a donc, d’apr`es 2.,P(A) =P(A∩B) +P(A∩B). On en d´eduit : (∗∗) P(A∩B) =P(A)−P(A∩B).

De mˆeme, on montre :

(∗ ∗ ∗) P(A∩B) =P(B)−P(A∩B).

De (∗), (∗∗) et (∗ ∗ ∗), on d´eduit :

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).

Remarque 12 :On considère à nouveau l’espace de probabilités (Ω = [0,1],B, P) introduit dans l’exemple 9.

On remarque, dans cet exemple, deux phénomènes que l’on n’a pas rencontrés dans le cas fini.

1. Sia∈[0,1], alorsP({a}) =P([a, a]) =a−a= 0. Il existe donc des événements différents de ∅ qui ont une probabilité nulle.

2. On a P(]0,1[) = 1−0 = 1, mais ]0,1[ 6= Ω. Il existe donc des événements différents de Ω qui ont une probabilité 1.

Ceci conduit `a introduire deux d´efinitions nouvelles.

(10)

Définition (événement négligeable et événement presque sûr) :Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités et soitAun événement.

1. A est un événement négligeable siP(A) = 0.

2. A est un événement presque sûr siP(A) = 1.

Remarque 13 :Si A et B sont deux événements d’un espace de probabilités fini, on sait que pour calculer P(A∩B), on peut utiliser l’indépendance deAetB(quand cette propriété est satisfaite, ce qui n’est pas toujours le cas) ou plus généralement la notion de probabilité conditionnelle. Ces deux notions s’étendent naturellement au cas d’un espace de probabilités général.

Définition (deux notions d’indépendance) : Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités.

1. Deux événementsA etB sont dits indépendants siP(A∩B) =P(A)×P(B).

2. Des événementsA1, A2, . . . , An sont ditsdeux à deux indépendants si :

∀i∈J1, nK ∀j∈J1, nK i6=j=⇒P(Ai∩Aj) =P(Ai)×P(Aj).

3. Des événementsA₁, A₂, . . . , A_nsont ditsmutuellement indépendantssi pour tout sous-ensembleIdeJ1, nK on a :

P \

i∈I

Ai

!

=Y

i∈I

P(Ai).

Exemple 10 : Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. On explicite la condition d’indépendance mutuelle dans le cas de 4 événementsA₁,A₂,A₃etA₄. Les événementsA₁,A₂,A₃etA₄sontmutuellement indépendants si les propriétés suivantes sont satisfaites :

P(A₁∩A₂) =P(A₁)×P(A₂) P(A₁∩A₃) =P(A₁)×P(A₃) P(A₁∩A₄) =P(A₁)×P(A₄) P(A₂∩A₃) =P(A₂)×P(A₃) P(A2∩A4) =P(A2)×P(A4) P(A3∩A4) =P(A3)×P(A4)

P(A1∩A2∩A3) =P(A1)×P(A2)×P(A3) P(A1∩A2∩A4) =P(A1)×P(A2)×P(A4) P(A1∩A3∩A4) =P(A1)×P(A3)×P(A4) P(A2∩A3∩A4) =P(A2)×P(A3)×P(A4) P(A1∩A2∩A3∩A4) =P(A1)×P(A2)×P(A3)×P(A4)

Notons que les événements A1, A2, A3 et A4 sont deux à deux indépendantssi seules les 6 propriétés mettant en jeu les intersections doubles sont vérifiées. L’indépendance deux à deux est donc une propriété moins forte que l’indépendance mutuelle.

Remarque 14 :Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. Si les événementsA₁, A₂, . . . , A_nsont mutuellement indépendants, alors ils sont deux à deux indépendants, mais la réciproque esten général fausse.

Définition (probabilité conditionnelle) : Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. Soient A et B deux

´

evénements. SiAn’est pas négligeable (i.e.P(A)6= 0), alors la probabilité de B sachantA, notée P(B / A) ou PA(B), est définie par :

P(B / A) =P(A∩B) P(A) . La conditionP(A)6= 0 est impos´ee pour pouvoir diviser parP(A).

5 Les th´ eor` emes fondamentaux

Les th´eor`emes fondamentaux :

• formule du crible ou de Poincar´e,

• formule des probabilit´es compos´ees,

• formule des probabilit´es totales,

• th´eor`eme de Bayes,

(11)

vus dans le cas d’un espace de probabilités fini, s’étendent au cas d’un espace de probabilités général. Les preuves ne sont pas rappelées, car elles sont analogues voire quasi identiques à celles données dans le cas fini.

La seule nouveauté réside dans une extension de la formule des probabilités totales, dont une démonstration est proposée.

Théorème 7 (formule de Poincaré) : Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. Soient A₁, A₂, . . . , A_n des

´

ev´enements. Alors on a :

P

n

[

i=1

Ai

!

=

n

X

k=1



(−1)^k−1 X

1≤i1<i2<...<ik≤n

P(Ai₁∩Ai₂∩. . .∩Ai_k)



.

Exemple 11 :On explicite la formule de Poincaré pour une réunion de 4 événements A₁,A₂,A₃ et A₄ d’un espace de probabilités (Ω,T, P).

P(A₁∪A₂∪A₃∪A₄) = P(A₁) +P(A₂) +P(A₃) +P(A₄)

− (P(A₁∩A₂) +P(A₁∩A₃) +P(A₁∩A₄) +P(A₂∩A₃) +P(A₂∩A₄) +P(A₃∩A₄)) + P(A1∩A2∩A3) +P(A1∩A2∩A4) +P(A1∩A3∩A4) +P(A2∩A3∩A4)

− P(A1∩A2∩A3∩A4)

On remarque la présentation du membre de droite en probabilités des événementsP(A_i), probabilités des intersections doubles, probabilités des intersections triples, et probabilité de l’intersection quadruple (correspondant aux différents termes d’indicesk de la somme

4

X

k=1

de la formule de Poincaré de l’encadré). On note également l’alternance des signes.

Théorème 8 (formule des probabilités composées) : Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. Soient A₁, A₂, . . . , A_ndes événements tels queA₁∩A₂∩. . .∩A_n−1n’est pas négligeable(i.e.P(A₁∩A₂∩. . .∩A_n−1)6= 0).

Alors on a :

P(A₁∩A₂∩. . .∩A_n) =P(A₁)×P(A₂/ A₁)×P(A₃/ A₁∩A₂)×. . .×P(A_n/ A₁∩A₂∩. . .∩A_n−1).

Remarque 15 :Dans le théorème précédent, toutes les probabilités conditionnelles sont bien définies. En effet, commeP(A1∩A2∩. . .∩A_n−1)6= 0, on a :

P(A1)6= 0 (A1∩A2∩. . .∩A_n−1⊂A1et propriété 5 du théorème 6)

P(A1∩A2)6= 0 (A1∩A2∩. . .∩A_n−1⊂A1∩A2et propriété 5 du théorème 6) ...

P(A1∩A2∩. . .∩A_n−2)6= 0 (A1∩A2∩. . .∩A_n−1⊂A1∩A2∩. . .∩A_n−2 et propriété 5 du théorème 6)

Exemple 12 :On explicite la formule des probabilités composées pour une intersection de 4 événements A1, A2,A3 etA4d’un espace de probabilités (Ω,T, P).

P(A1∩A2∩A3∩A4) =P(A1)×P(A2/ A1)×P(A3/ A1∩A2)×P(A4/ A1∩A2∩A3)

Remarque 16 :Cette formule des probabilités composées peut être appliquée pour rédiger soigneusement ce que l’onvoit sur un arbre de probabilités.

Définition (système complet d’événements) :Soit (Ω,T) un espace probabilisable.

1. Une système complet d’événements fini de (Ω,T) est une famille (A₁, . . . , A_n) d’événements telle que :

• les événementsA₁, . . . , A_n sont deux à deux incompatibles,

• la réunion des événements A₁, . . .,A_n est égale à Ω, i.e. :

n

[

i=1

A_i= Ω.

(12)

2. Une système complet d’événements dénombrables de (Ω,T) est une suite (A_n)_n∈_Nd’événements telle que :

• les événementsA1,. . .,An,. . .sont deux à deux incompatibles,

• la réunion des événements A1, . . .,An,. . .est égale à Ω, i.e. [

n∈N

An= Ω.

Remarque 17 :On peut penser à un système complet d’événements comme à un découpage de l’universen tranches.

Théorème 9 (formules des probabilités totales) :Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités.

1. Soit A un événement qui n’est ni négligeable, ni presque sûr (i.e. P(A) 6= 0 et P(A) 6= 1). (On a ainsi P(A) = 1−P(A)6= 0 ;An’est donc pas négligeable.) Alors pour tout événementB, on a :

P(B) =P(B / A)×P(A) +P(B / A)×P(A).

2. Soit (A₁, . . . , A_n) un système complet d’événements fini de (Ω,T) telle que :

∀i∈J1, nK P(A_i)6= 0.

Alors pour tout ´ev´enement B, on a : P(B) =

n

X

i=1

P(B / Ai)×P(Ai).

3. Soit (An)n∈Nun système complet d’événements dénombrable de (Ω,T) telle que :

∀n∈N P(An)6= 0.

Alors pour tout événement B, la série de terme généralP(B / An)×P(An) converge et on a : P(B) =

+∞

X

n=0

P(B / A_n)×P(A_n).

Démonstration du théorème 9

• La démonstration des propriétés 1. et 2. est analogue à celle connue dans le cas fini. Nous ne donnons de preuve que pour la troisième propriété.

• Soit (A_n)_n∈_N un système complet d’événements dénombrable de (Ω,T) telle que :∀n∈N P(A_n)6= 0.

Pour toutn∈N, soit B_n l’événement défini par :

B_n=B∩A_n.

Alors (B_n)_n∈_Nest une suite d’événements deux à deux incompatibles. En effet, sinetmsont deux entiers naturels distincts, alors :

Bn∩Bm= (B∩An)∩(B∩Am) =B∩(An∩Am

| {z } )

∅

=∅.

La propriété A_n∩A_m = ∅ vient du fait que les événements (A_n)_n∈_N sont deux à deux incompatibles, d’après la définition d’un système complet d’événements dénombrable.

D’après la définition d’un espace de probabilités, la série de terme généralP(Bn) converge et on a :

P [

n∈N

Bn

!

=

+∞

X

n=0

P(Bn).

Comme pour toutn∈N, P(Bn) =P(B∩An) = P(B / An)×P(An) (on peut introduire la probabilité conditionnelle P(B / An) carP(An)6= 0), on en déduit que la série de terme généralP(B / An)×P(An) converge et que :

(∗) P [

n∈N

Bn

!

=

+∞

X

n=0

P(B / An)×P(An).

Or on a :

(∗∗) [

n∈N

B_n= [

n∈N

(B∩A_n) =B∩ [

n∈N

A_n

!

| {z }

Ω

=B.

(13)

La propri´et´e [

n∈N

An = Ω est conséquence du fait que (An)_n∈_N est une système complet d’événements dénombrable de (Ω,T).

De (∗) et (∗∗), on d´eduit que :

P(B) =

+∞

X

n=0

P(B / An)×P(An).

Théorème 10 (théorème de Bayes) :Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. SoientAetBdeux événements non négligeables (i.e.P(A)6= 0 etP(B)6= 0). Alors on a :

P(A / B) = P(B / A)×P(A) P(B) .

Démonstration du théorème 10 :D’après la définition d’une probabilité conditionnelle on a les propriétés : P(A / B) =P(A∩B)

P(B) et P(B / A) =P(B∩A) P(A) desquelles on d´eduit :

P(A∩B) =P(A / B)×P(B) et P(B∩A) =P(B / A)×P(A).

CommeA∩B=B∩A, on a donc :

P(A / B)×P(B) =P(B / A)×P(A) et par suite :

P(A / B) = P(B / A)×P(A) P(B) . Remarque 18

1. Une application typique du th´eor`eme de Bayes est le renversement du conditionnement, i.e. le calcul deP(A / B) connaissant la valeur deP(B / A) (ainsi que les valeurs deP(A) etP(B)).

2. En appliquant une des trois formules des probabilités totales au dénominateurP(B) de la fraction appa- raissant dans le théorème de Bayes, on obtient de nouvelles versions de ce théorème. Ces trois nouvelles formules se déduisent très simplement des théorèmes 9 et 10.

Théorème 11 (théorème de Bayes et première formule des probabilités totales) :Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. SoitAun événement qui n’est ni négligeable, ni presque sûr (i.e.P(A)6= 0 etP(A)6= 1).

Alors pour tout événementB non négligeable (i.e.P(B)6= 0), on a : P(A / B) = P(B / A)×P(A)

P(B / A)×P(A) +P(B / A)×P(A).

Théorème 12 (théorème de Bayes et deuxième formule des probabilités totales) :Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. Soit (A1, . . . , An) un système complet d’événements fini de (Ω,T) telle que :

∀i∈J1, nK P(A_i)6= 0.

Alors pour tout événementB non négligeable (i.e.P(B)6= 0), on a :

∀i∈J1, nK P(Ai/ B) = P(B / Ai)×P(Ai)

n

X

j=1

P(B / Aj)×P(Aj) .

(14)

Théorème 13 (théorème de Bayes et troisième formule des probabilités totales) :Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. Soit (A_n)_n∈_N un système complet d’événements dénombrable de (Ω,T) telle que :

∀n∈N P(An)6= 0.

Alors pour tout événementB non négligeable (i.e.P(B)6= 0), on a :

∀n∈N P(An/ B) = P(B / A_n)×P(A_n)

+∞

X

k=0

P(B / Ak)×P(Ak) .