ECS 1Dupuy de Lˆome 30 septembre 2004
Feuille d’Exercices : Espaces probabilis´ es finis
Propri´et´es des probabilit´es
Exercice 1: Soient A, B, C trois ´ev´enements d’un mˆeme espace probabilis´e fini Ω,P(Ω), P . 1. Exprimez en fonction deA, B, C les ´ev´enements :
– l’un au moins des trois ´ev´enements se r´ealise – un et un seul des trois ´ev´enements se r´ealise – deux au moins des trois ´ev´enements se r´ealisent – deux exactement des trois ´ev´enements se r´ealisent.
2. Montrez que si les ´ev´enements A et ¯B ∪C sont incompatibles, alors la r´ealisation de A entraˆıne celles deB et de ¯C.
Exercice 2: Une urne contient 15 boules : une noire, 5 blanches et 9 rouges.
1. On tire simultan´ement et au hasard trois boules de cette urne. Quelle est la probabilit´e des
´
ev´enements :
(a) A “ le tirage est tricolore”
(b) B “parmi les boules tir´ees figurent la noire et au moins une rouge”
(c) C “les trois boules tir´ees sont de la mˆeme couleur”
2. On suppose que le tirage s’effectue successivement, avec remise. D´eterminez les probabilit´es des ´ev´enementsA, B etC d´efinis ci-dessus.
3. On effectue `a pr´esentntirages successifs (n∈N?). Apr`es chaque tirage, on note la couleur de la boule obtenue puis on la replace dans l’urne. NotonsNn l’´ev´enement “obtenir au moins une fois la boule noire au cours de ntirages. Calculez la probabilit´e deNn.
Exercice 3 : Au loto, on tire 6 num´eros parmi 49 nombres. On appelletiragela donn´ee de ces 6 num´eros, not´e {a1, . . . , a6}, avecai< ai+1 pourivariant de 1 `a 5.
1. Quel est le nombre de tirages tels que :∀k∈[[1,5]],ak+1≥ak+ 2 ?
2. Quelle est la probabilit´e pour que dans un tirage il y ait au moins deux entiers cons´ecutifs ? Exercice 4: Une urne contient 5 boules blanches et 10 boules noires.
1. On tire au hasard 2 fois une boule de l’urne en remettant la boule apr`es le tirage. Quelle est la probabilit´e d’obtenir 1 boule blanche et 1 boule noire ,
(a) dans cet ordre ?
(b) dans une ordre quelconque ?
2. Mˆemes questions si les tirages se font cette fois sans remise.
3. On tire simultan´ement 5 boules de l’urne. Quelle est la probabilit´e d’obtenir 2 boules blanches et trois boules noires ?
Exercice 5 : Une urne contient N boules num´erot´ees de 1 `a N. On retire en une fois de cette urne unepoign´ee al´eatoire depboules (1≤p≤N).
1. Soit k ∈ [[p, N]]. Calculez la probabilit´e de l’´ev´enement Bk : “ le plus grand num´ero de la poign´ee est k” ?
2. En d´eduire la formule :
N
X
k=p
k−1 p−1
= N
p
.
Exercice 6: Paul poss`ede cinq boules num´erot´ees de 1 `a 5 et quatre boˆıtes num´erot´ees de 1 `a 4.
Il range au hasard ses boules dans les boˆıtes.
1. Quel est le nombre de rangements possibles ? 2. Quelle est la probabilit´e pour que :
(a) une et une seule boˆıte soit occup´ee ? (b) exactement deux boˆıtes sont occup´ees ? (c) exactement trois boˆıtes sont occup´ees ?
3. En d´eduire la probabilit´e pour qu’aucune boˆıte ne soit laiss´ee vide.
4. Retrouvezdirectement ce r´esultat en utilisant la formule de Poincar´e.
Exercice 7: Ce matin la secr´etaire a pr´epar´e son courrier (les fiches de salaire des profs)... Elle a pr´epar´e 50 enveloppes timbr´ees adress´ees `a chacun des professeurs. Au moment d´ecisif, elle met les fiches de salaires au hasard dans les enveloppes !
Quelle est la probabilit´e que l’un au moins des profs re¸coivesafiche de paie ? Probabilit´es conditionnelles
Exercice 8: On dispose de quatre urnes :
– l’urne U1 contient 3 boules rouges, 2 boules blanches et 3 boules noires, – l’urne U2 contient 4 boules rouges, 3 boules blanches et 1 boule noire, – l’urne U3 contient 2 boules rouges,1 boule blanche et 1 boule noire, – l’urne U4 contient 1 boule rouge, 6 boules blanches et 2 boules noires.
On choisit une urne au hasard et on y pr´el`eve une boule au hasard.
1. Faites un arbre qui mod´elise l’exp´erience.
2. Calculez la probabilit´e que la boule pr´elev´ee ne soit pas blanche.
3. La boule pioch´ee est rouge. Quelle est la probabilit´e qu’elle ait ´et´e pr´elev´ee dans l’urne 3 ? Exercice 9 : Dans une usine, on fabrique des composants ´electroniques sur trois machines. Les machinesM1, M2et M3 produisent respectivement 50%, 30% et 20% des composants.
Le qualiticien de l’usine estime que
– 2% des composants fabriqu´es par la machineM1 sont d´efectueux, – 3% des composants fabriqu´es par la machineM2 sont d´efectueux, – 5% des composants fabriqu´es par la machineM3 sont d´efectueux.
1. Faites un arbre qui mod´elise l’exp´erience.
2. Quelle est la probabilit´e qu’un composant pris au hasard `a la sortie de l’usine soit d´efectueux ? 3. Quelle est la probabilit´e d’obtenir une pi`ece d´efectueuse provenant deM1? Les ´ev´enements
“la pi`ece est d´efectueuse” et “la pi`ece provient deM1” sont-ils ind´ependants ? 4. Un composant est d´efectueux. Quelle est la probabilit´e pour qu’il provienne deM1? Exercice 10: On consid`ere 3 bassinsA1,A2etA3contenant des petits canards de couleurs jaune ou orange.La composition des bassins est la suivante :
A1contient
2jaunes
3oranges A2contient
1jaune
4oranges A3contient
3jaunes 4oranges
On pˆeche un canard dans le bassinA1, un autre dansA2 et on les met dans le troisi`eme bassin.
On tire au hasard un canard du troisi`eme bassin.
1. Faites un arbre qui mod´elise l’exp´erience.
2. Quelle est la probabilit´e pour que les canards p´ech´es soient tous de couleur jaune ?
3. On suppose que le canard p´ech´e dans le troii`eme bassin est jaune. Quelle est la probabilit´e que le canard pˆech´e dansA1 soit orange ?
Exercice 11 : Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : 4 sont vertes et 2 sont jaunes. On tire au hasard, deux fois de suite, deux boules simultan´ement, les boules n’´etant pas remises dans l’urne. On d´efinit les ´ev´enements :
– A: “aucune boule verte n’est tir´ee au cours du premier tirage de 2 boules”
– B : “une boule verte et une boule jaune sont tir´ees au cours du premier tirage de 2 boules” – C : “deux boules vertes sont tir´ees au cours du premier tirage de 2 boules ”
– D : “une boule verte et une boule jaune sont tir´ees au cours du deuxi`eme tirage de 2 boules”
1. CalculezpA(D), pB(D), pC(D).
2. En d´eduire la probabilit´e deD.
Exercice 12 : Une galette des rois est d´ecoup´ee en 12 parts. Une seule contient la pr´ecieuse f`eve.
Chacun des 12 convives prend une part au hasard.
1. Quelle est la probabilit´e pour que le premier servi ait la f`eve ?
2. Mˆeme question pour le deuxi`eme, puis pour leki`eme (pour 1≤k≤12).
Exercice 13 : Soitn∈N?. Une urne contientnboules num´erot´ees de 1 `a n.
1. On tire successivement deux boules de l’urne. D´eterminez la probabilit´e que la deuxi`eme boule tir´ee porte un num´ero sup´erieur ou ´egal au num´ero de la premi`ere boule sortie lorsque
(a) le tirage se fait avec remise.
(b) le tirage se fait sans remise.
2. On tire successivementpboules de l’urne. D´eterminez la probabilit´e pour que lapi`emeboule tir´ee ait un num´ero sup´erieur au p−1 num´eros pr´ec´edents lorsque :
(a) le tirage se fait avec remise.
(b) le tirage se fait sans remise.
Exercice 14 : Une urne contient b boules blanches et r boules rouges. On tire n boules en remettant la boule dans l’urne apr`es le tirage si elle est rouge et en ne la remettant pas si elle est blanche.
Quelle est la probabilit´e de tirer exactement une boule blanche au cours de cesntirages ? Exercice 15 : Soitn∈N? un entier naturel non nul. On effectuen lancers ind´ependants d’une pi`ece pour laquelle la probabilit´e d’obtenir “face” estp, avecp∈]0,1[. On poseq= 1−p. Quelle est la probabilit´e qu’au cours de cesnlancers, ”face” ne soit jamais suivi de “pile” ?
Exercices suppl´ ementaires
Propri´et´es des probabilit´es
Exercice 16 : Une urne contient 32 boules sur lesquelles sont inscrits des num´eros de 1 `a 8 (4 portent le num´ero 1, 4 portent le num´ero 2, etc ...)
On tire au hasard, sans remise une poign´ee de 5 boules. Quelle est la probabilit´e d’obtenir : 1. 4 boules portant le mˆeme num´ero, et la 5`eme un autre num´ero ?
2. 3 boules portant le mˆeme num´ero et deux boules portant le mˆeme num´ero, diff´erent du premier ?
3. 3 boules portant le mˆeme num´ero et deux boules portant des num´eros diff´erents entre eux ainsi que du premier ?
4. Deux boules portant le mˆeme num´ero, deux boules portant le mˆeme num´ero diff´erent du pr´ec´edent et une derini`ere boule portant encore un autre num´ero ?
5. Deux boules portant le mˆeme num´ero et trois boules portant des num´eros diff´erents entre eux mais aussi du premier ?
6. 5 boules portant des num´eros diff´erents ?
Exercice 17 : Soitnun entier strictment sup´erieur `a 1. Une urne contient nboules num´erot´ees de 1 `a n. On tire deux boules sans remise.
1. Calculez la probabilit´e pour que les deux boules num´erot´ees sortent dans l’ordre de leurs num´eros.
2. Calculez la probabilit´e pour que les deux num´eros soient cons´ecutifs.
Exercice 18 : On compose au hasard un num´ero de t´el´ephone `a 10 chiffres commen¸cant par 02.
D´eterminez la probabilit´e des ´ev´enements suivants : A “les 8 derniers chiffres sont tous distincts”
B “le produit des 8 derniers chiffres est divisible par 3”
C “les 8 derniers chiffres forment une suite strictement croissante”
D “les 8 derniers chiffres forment une suite monotone au sens large”
Exercice 19 : SoitE un ensemble fini de cardinaln∈N?. On choisit au hasard deux partiesA etB.
1. Quelle est la probabilit´e pour que ces parties soient disjointes ? 2. Quelle est la probabilit´e pour que ces parties recouvrentE
Exercice 20 : Cette semaine nous ´elisons le d´el´egu´e de classe. Il y a deux candidats A et B. A obtient a voix et c’est B qui est ´elu avec b voix. Le d´epouillement se fait bulletin par bulletin.
Quelle est la probabilit´e pour que B soit toujours en tˆete lors du d´epouillement ?
Exercice 21: Une urne contient 10 boules num´erot´ees. On tire 3 fois de suite : on note le num´ero obtenu et on remet la boule apr`es chaque tirage.
1. Quelle est la probabilit´e d’obtenir 3 nombres rang´es en ordre strictement croissant ? 2. Quelle est la probabilit´e d’obtenir 3 nombres rang´es en ordre croissant au sens large ? Exercice 22 : Soit n ∈ N?. Un tournoi de foot r´eunit 2n ´equipes regroup´ees en n ´equipes de division 1 etn´equipes en division 2. On organisenmatches.
1. Quel est le nombre de fa¸cons d’organiser ce tournoi ?
2. Quelle est la probabilit´epn de n’avoir que des matches opposant les ´equipes de la division 1 aux ´equipes de la division 2 ?
3. Quelle est la probabilit´eqn de n’avoir que des matches entre ´equipes de mˆeme division ? 4. Montrez que ∀n∈N?, 22n−1
n ≤
2n n
≤22n et en d´eduire les limites de pn et qn quand n tend vers l’infini.
Exercice 23 : Un joueur lance 5 d´es (`a six faces)non truqu´es. Quelle la probabilit´e d’obtenir : 1. un double : deux d´es portent le mˆeme num´ero, les trois autres des num´eros diff´erents, `a la
fois entre eux mais aussi diff´erents du premier.
2. deux doubles : deux d´es portent un mˆeme num´ero, deux autres portent un mˆeme autre num´ero, et le dernier encore un autre num´ero.
3. un triple : trois d´es portent le mˆeme num´ero, les deux autres portent des num´eros diff´erents
`
a la fois entre eux mais aussi diff´erents du premier.
4. un double et un triple de deux num´eros diff´erents.
5. un quintuplet : cinq num´eros identiques ! Exercice 24 : On consid`ere le syst`eme d’´equations
x−2y= 3 ax−by=c .
Pour d´eterminer les coefficients a, b, con lance trois fois un d´e `a 6 faces parfaitement ´equilibr´e : le premier num´ero sorti est a, le deuxi`eme estbet le troisi`eme donne la valeur dec.
1. Quelles sont les probabilit´esp0,p1,p2pour que le syst`eme ainsi obtenu poss`ede respective- ment : une infinit´e de solution, aucune solution, une unique solution ?
2. Quelle est la probabilit´ep3pour que le syst`eme admette pour unique solution le couple (3; 0) ? Exercice 25 : Soitn∈N?. On consid`eren2 boules num´erot´ees de 1 `an2. Calculez :
1. La probabilit´e d’avoir une et une seule boule dont le num´ero soit un carr´e en tirantpboules simultan´ement ?
2. La probabilit´e d’avoir au moins une boule dont le num´ero soit un carr´e en tirant pboules simultan´ement ?
3. La probabilit´e qu’en ayant tir´e deux boules boules simultan´ement, la diff´erence de leurs num´eros soit un carr´e ?
Indication : on pourra utiliser la formulePn k=0k2
Exercice 26 : Soit n ∈ N?. On effectue n lancers ind´ependants d’une pi`ece pour laquelle la probabilit´e d’obtenir “face” estp∈]0,1[ et on noteq= 1−p. Quelle est la probabilit´e pour qu’au cours de cesnlancers, “face” ne soit “jamais suivi de “pile”.
Exercice 27 : Ce matin la secr´etaire a pr´epar´e son courrier (les fiches de salaire des profs)... Elle a pr´epar´e 50 enveloppes timbr´ees adress´ees `a chacun des professeurs. Au moment d´ecisif, elle met les fiches de salaires au hasard dans les enveloppes !
Quelle est la probabilit´e que l’un au moins des profs re¸coivesafiche de paie ? Exercice 28 : Les danseurs de Chicago
1. Dans une boite de nuit, il y a ncouples mari-femme. Chaque femme choisit un cavalier au hasard. Quelle est la probabilit´e pour que chaque homme danse avec son ´epouse ?
2. Dans la salle, il y a 2n chaises group´ees deux par deux. De retour de la piste les amis retournent s’asseoir. Quelle est la probabilit´e que chaque homme soit assis `a cot´e de son
´ epouse ?
3. Une nouvelle danse est engag´ee. Quelle est la probabilit´e pour qu’aucun homme ne danse avec son ´epouse ?
Quelle est la limite de cette probabilit´e quandntend vers l’infini ?
Exercice 29: Une urne contientnboules num´erot´ees de 1 `an. On tire lesnboules les unes apr`es les autres. Calculez la probabilit´e pour qu’il n’y ait aucune coˆıncidence entre le num´ero des boules et leur ordre de tirage.
Exercice 30: Soitn∈N?. Deux personnes -l’une `a Toronto, l’autre `a Djibouti- lancent une pi`ece nfois chacun. Quelle est la probabilit´e qu’ils obtiennent exactement le mˆeme nombre de faces ?
Probabilit´es conditionnelles
Exercice 31: Une urne contient cinq boules rouges et une boule noire. D´eterminez la probabilit´e qu’il faille retirer trois boules successivement et sans remise afin d’obtenir la boule noire.
Exercice 32 : On consid`ere trois urnesU1, U2, U3. l’urneU1 contient 2 boules noires et 3 boules rouges.
l’urneU2 contient 1 boule noire et 4 boules rouges.
l’urneU3 contient 3 boules noires et 4 boules rouges.
On tire au hasard une boule dansU1, une boule dansU2 et on le met dansU3. On tire une boule deU3 : elle est noire. Quelle est la probabilit´e que la boule tir´ee deU1 soit rouge ?
Exercice 33 : Superman - dont on connaˆıt le penchant pour le casino- a dans sa poche deux d´es. L’un est honnˆete, mais l’autre est truqu´e : il donne un 6 avec la probabilit´e 1/2. Pour ˆetre de nouveau accept´e au casino, il doit jeter le d´e truqu´e !
Supermanprend un d´e au hasard dans sa poche :
1. s lance ce d´e une fois. Quelle est la probabilit´e qu’il obtienne un 6 ? 2. s lance ce d´e deux fois. Quelle est la probabilit´e qu’il obtienne deux 6 ?
3. slance ce d´e 4 fois et il obtient quatre fois six. Quelle est la probabilit´e qu’il ait choisi le d´e truqu´e ?
4. s veut se d´ebarrasser du d´e truqu´e. Pour cela il choisit un d´e au hasard et le lance.
– s’il obtient un 6,sconsid`ere que c’est le d´e truqu´e et le jette.
– sinon, il consid`ere que c’est le d´e honnˆete et jette l’autre d´e.
Quelle est la probabilit´e ques ait conserv´e le d´e truqu´e ?
Exercice 34 : Deux bourses U et V contiennent des pi`eces d’or et des pi`eces d’argent. La com- position de chacune est la suivante :
Bourse U Bourse V 2po; 2pa 4po; 1pa
On tire de l’une des bourses, choisie au hasard une pi`ece et on la remet dans cette bourse.
si la pi`ece tir´ee est en or , on recommence dans la mˆeme bourse.
si la pi`ece tir´ee est en argent , on recommence, mais en piochant dans l’autre bourse.
D´eterminez les probabilit´es pour que
1. Les trois premiers tirages soient faits dans la bourse U.
2. le deuxi`eme tirage soit fait dans la bourse U.
3. au deuxi`eme tirage, on tire une pi`ece d’argent.
4. le premier ait ´et´e fait dans la bourse U, sachant que l’on a tir´e une pi`ece d’or au deuxi`elme tirage.
Exercice 35 : On dispose de deux d´es A et B. Le d´e A a quatre faces rouges et deux faces blanches. Le d´e B a deux faces rouges et quatre faces blanches. On lance une pi`ece de monnaie telle que la probabilit´e d’obtenir”pile” soit de 1/3.
– si on obtient “pile” on d´ecide de jouer uniquement avec le d´e A – si on obtient “face” on d´ecide de jouer uniquement avec le d´e B.
1. Calculez la probabilit´e d’obtenir “rouge” au premier coup.
2. On a obtenu “rouge” aux deux premiers coups. Calculez la probabilit´e d’obtenir “rouge” au troisi`eme coup.
3. On a obtenu “rouge” auxnpremiers coups (n∈N?). Calculez la probabilit´epnd’avoir utilis´e le d´e A..
Exercice 36: Une compagnie d’assurance automobile a class´e ses assur´es en trois classes d’ˆages : Classe 1 moins de 25 ans
Classe 2 de 25 ans a 50 ans Classe 3 plus de 50 ans
Le tableau ci-dessous fournit deux informations :
1. La proportion d’assur´es appartenant `a chaque classe
2. La probabilit´e qu’un assur´e, d’une classe donn´ee d´eclare au moins un accident au cours de l’ann´ee.
Classe proportion probabilit´e
1 0,25 0,12
2 0,53 0,06
3 0,22 0,09
1. Un assur´e est tir´e au hasard dans le fichier de la compagnie. Quelle est la probabilit´e qu’il ait d´eclar´e au moins un accident au cours de l’ann´ee ?
2. Quelle est la probabilit´e qu’un assur´e ayant d´ecklar´e au moins un accident au cours de l’ann´ee soit ag´e d’au plus 25 ans ?
3. Quelle est la probabilit´e pour qu’un assur´e ag´e de 25 ans ou plus ait au moins un accident au cours de l’ann´ee ?
4. Quelle est la probabilit´e qu’un assur´e n’ayant d´eclar´e aucun accident appartienne `a la classe 2 ?
