Feuille d’exercices n˚6 Probabilit´ es

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚6 Probabilit´ es

Exercice 77 : On pipe un d´e ordinaire `a 6 faces de sorte qu’il ait les propri´et´es suivantes :

• la probabilit´e de sortir un nombre pair est ´egale `a celle de sortir un nombre impair ;

• les nombres impairs sont ´equiprobables ;

• pour k∈ {2,4,6}, la probabilit´e de sortir la facekest proportionnelle `ak.

1. D´eterminer la probabilit´e d’apparition de chaque face.

2. D´eterminer la probabilit´e de sortir un nombre premier.

Exercice 78 : Un homme (mal intentionn´e) vient de trouver une carte bancaire dans un distributeur automa- tique de billets et dispose de trois essais pour trouver le code (`a quatre chiffres).

1. Quelle est la probabilt´e qu’il r´eussisse `a le trouver avant de bloquer la carte ?

2. Il a vu que deux (et deux seulement) des quatre chiffres sont indentiques, quelle est alors la probabilit´e qu’il r´eussisse ?

Exercice 79 : Un fumeur veut arrˆeter de fumer. Il est tiraill´e entre le manque de volont´e et la mauvaise conscience : s’il a r´eussi `a ne pas fumer un jour il fume le lendemain avec la probabilit´e 1

2, mais s’il a fum´e un jour, alors il ne fume le lendemain qu’avec la probabilit´e 1

4. On notepn la probabilit´e qu’il fume len-i`eme jour (n∈N^∗).

1. Calculerpn+1 en fonction depn pour toutn∈N^∗.

2. En d´eduire une expression depn en fonction dep1 et denpour toutn∈N^∗. 3. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (p_n)_n∈N^∗.

F Exercice 80 : On effectue une suite de parties de PILE ou FACE avec une pi`ece ´equilibr´ee. Soitunla probabilit´e de ne pas avoir trois FACE `a la suite au cours desnpremi`eres parties (n∈N^∗). On a doncu1=u2= 1.

1. Calculeru3.

2. En conditionnant par le r´esultat des trois derniers lancers, montrer qu’on a la relation de r´ecurrence suivante :

un=1

8u_n−1+1

4u_n−2+1 2u_n−3 pour toutn∈N^≥3.

3. ´Ecrire un algorithme de calcul qui calcule un (n∈N^≥3) de fa¸con it´erative.

Exercice 81 : Une exp´erience est conduite pour ´etudier la m´emoire des rats. Un rat est mis devant trois couloirs. Au bout de l’un d’eux se trouve la nourriture qu’il aime, au bout des deux autres, il re¸coit une d´echarge ´electrique. Cette exp´erience ´el´ementaire est r´ep´et´ee jusqu’`a ce que le rat trouve le bon couloir.

1. On suppose tout d’abord que le rat n’a aucun souvenir des exp´eriences ant´erieures. Avec quelle probabilit´e pk la premi`ere tentative r´eussie est-elle lak-i`eme (k∈N^∗) ?

2. On suppose maintenant que le rat se souvient de l’exp´erience imm´ediatement pr´ec´edente. Avec quelle probabilit´eqk la premi`ere tentative r´eussie est-elle lak-i`eme (k∈N^∗) ?

3. On suppose enfin que le rat se souvient des deux exp´eriences pr´ec´edentes. Avec quelle probabilit´er_k la premi`ere tentative r´eussie est-elle lak-i`eme (k∈N^∗) ?

1

F Exercice 82 : Soitn∈N^∗. Une personne ´ecrit des lettres personnelles `ancorrespondants, mais quelque peu distraite, elle colle les ´etiquettes d’adresses au hasard.

1. Quelle est la probabilit´e que chaque lettre parvienne `a son destinataire ?

2. Quelle est la probabilit´ep_n qu’une lettre au moins parvienne `a son destinataire ? 3. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (p_n)_n∈N^∗.

Exercice 83 : Soienta, b∈N^≥2. On dispose de deux urnesU etV. L’urneU contientaboules blanches et 2a boules rouges, alors que l’urneV contientb boules blanches etbboules rouges.

On jette deux fois un d´e non pip´e. Si la somme des deux chiffres obtenus est au moins ´egale `a 6, alors on tire simultan´ement 2 boules de l’urne U, sinon on tire simultan´ement deux boules de l’urneV.

1. Calculer la probabilit´e d’obtenir deux boules blanches.

2. Calculer la probabilit´e d’avoir tir´e les deux boules dans l’urne U sachant que les deux boules tir´ees sont blanches.

Exercice 84 : Soient n1, n2 ∈N^∗ et soit r∈N. Une urne contient n1 tickets GAGN ´E, n2 tickets PERDU,r tickets REJOUER. On tire successivement, sans remise, des tickets jusqu’`a tirer un ticket GAGN ´E ou un ticket PERDU. Si le dernier ticket tir´e est un ticket GAGN ´E, on dit que l’on a gagn´e, sinon que l’on a perdu. On note :

• G₁ l’´ev´enementtirer un ticket GAGN ´E au 1er tirage ;

• P₁ l’´ev´enementtirer un ticket PERDU au 1er tirage ;

• R₁l’´ev´enement tirer un ticket REJOUER au 1er tirage.

Soitpr la probabilit´e de gagner pour une urne contenant initialementrtickets REJOUER.

1. Calculerp₀ etp₁.

2. Que dire de (G₁, P₁, R₁) ?

3. Donner une relation de r´ecurrence entre p_r+1 etp_rpour toutr∈N. 4. D´emontrer par r´ecurrence que la valeur dep_rest ind´ependante de r.

Exercice 85 : Soient a, b∈N^∗. On dispose de deux urnesU et V. L’urne U contient a boules blanches etb boules noires, alors que l’urneV contientbboules blanches etaboules noires.

1. On effectue une suite de tirages de boules avec remise en proc´edant comme suit. Le premier tirage a lieu dans l’urneU. Ensuite, `a chaque tirage, si la boule tir´ee est blanche, alors le tirage suivant a lieu dansU, sinon il a lieu dansV.

Pour toutk∈N^∗, on noteBk l’´ev´enementlak-i`eme boule tir´ee est blanche. (a) Donner une relation de r´ecurrence liantP(Bk+1) et P(Bk) pour toutk∈N^∗. (b) ExprimerP(Bk) en fonction dek, pour toutk∈N^∗.

(c) ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (P(B_k))_k∈N^∗.

2. On effectue maintenant une suite de tirages de boules avec remise en proc´edant comme suit. Le premier tirage a lieu dans l’urne U. Ensuite, `a chaque tirage, si la boule tir´ee est blanche, le tirage suivant a lieu dans la mˆeme urne, sinon il a lieu dans l’autre urne.

Pour toutk∈N^∗, on note :

• Uk l’´ev´enementlek-i`eme tirage a lieu dans l’urne U ;

• Bk l’´ev´enementlak-i`eme boule tir´ee est blanche. (a) Calculer la valeur deP(U_k) pour toutk∈N^∗. (b) ExprimerP(B_k) pour toutk∈N^∗.

3. `A long terme quelle est la meilleure strat´egie pour obtenir des boules blanches ?

Exercice 86 : Soit p∈]0,1[. On pose q = 1−p. On dispose d’une pi`ece dont la probabilit´e d’apparition de PILE estp. On la lance jusqu’`a l’obtention d’un PILE.

1. Soitk∈N^∗. On note A_k l’´ev´enementon a effectu´eklancers. CalculerP(A_k).

2. Quelle est la probabilit´e que le nombre de lancers effectu´es soit pair ? 3. Quelle est la probabilit´e que le nombre de lancers effectu´es soit impair ?

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