Th´ eorie des Nombres - DM2 Corps finis

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2010-2011 Module MM020

Th´ eorie des Nombres - DM2 Corps finis

L’objectif de l’exercice est de d´emontrer le r´esultat suivant : soit Fqun corps fini,a₁, . . . , a_n∈Fq tous non nuls,d1, . . . , dn∈N\ {0}, on consid`ere l’´equation polynˆomiale

a₁x^d₁¹ +· · ·+a_nx^d_nⁿ = 1

et on noteN le cardinal de l’ensemble des solutions (x₁, . . . , x_n)∈Fⁿq. Alors

|N −qⁿ⁻¹| ≤d1. . . dnqⁿ⁻¹²

1−1 q

−ⁿ

2

. (1)

a) Montrer qu’il suffit de traiter le cas o`ud_i diviseq−1, pour tout 1≤i≤n.

On supposera donc dans la suite que cette condition est v´erifi´ee.

b) D´efinissonsN(a₀, . . . , a_n) comme le nombre de solutions de l’´equation a₁x^d₁¹+· · ·+a_nx^d_nⁿ =a₀

dans Fⁿq.

i) Montrer que

X

a∈Fⁿ⁺¹q

N(a) =q²ⁿ.

ii) Montrer que

X

a∈Fⁿ⁺¹q

N(a)²= X

x,y∈Fⁿq

qⁿ⁻¹+ X

x,y∈Fⁿq t.q. rg(x,y)=1

(qⁿ−qⁿ⁻¹),

o`u la seconde somme porte sur les vecteursx, y dansFⁿ_q tels que la matrice x^d₁¹ . . . x^d_nⁿ 1

y₁^d1 . . . y_n^dn 1

soit de rang 1.

iii) En d´eduire que

X

a∈Fⁿ⁺¹q

N(a)²≤q³ⁿ⁻¹+d1. . . dnqⁿ(qⁿ−qⁿ⁻¹).

iv) En d´eduire que

X

a∈Fⁿ⁺¹q

(N(a)−qⁿ⁻¹)²≤d₁. . . d_nq²ⁿ⁻¹(q−1). (2)

c) i) Montrer que siai6= 0, bi6= 0, t6= 0, alors N(1, a1, . . . , an) =N(t, a1b^d₁¹t, . . . , anb^d_nⁿt).

ii) En d´eduire que dans la formule (2), au moins ^(q−1)_d ⁿ⁺¹

1...dn termes de la somme sont ´egaux `a (N−qⁿ⁻¹)².

iii) En d´eduire le r´esultat souhait´e, `a savoir la formule (1).

d) On consid`ere cette fois l’´equation

a1x^d₁¹+· · ·+anx^d_nⁿ = 0,

et on poseδ:= PPCM(d₁, . . . , d_n). En raisonnant comme dans les questions pr´ec´edentes, montrer que le nombre de solutions N⁰ de cette ´equation dans Fⁿ_q v´erifie

|N⁰−qⁿ⁻¹| ≤ d1. . . dn

√δ qⁿ²

1−1 q

−ⁿ⁻¹

2

.

1